初中数学多边形边数问题的思考方法学法指导

初中数学多边形边数问题的思考方法
我们现在学多边形，主要了解多边形的边数、内角、外角及它们的相互关系。

解答这类问题用到的主要知识点是多边形的内角和公式，外角和为360°。

解题方法主要是利用公式列方程。

1. 多边形的内角和与边数的关系
例1 如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，求原来多边形的边数。

分析：本题考查多边形的内角和定理，解题关键是边数的变化。

根据多边形内角和定理及已知条件列出方程。

设原来多边形的边数为n ，那么边数增加1倍后的多边形边数为2n ，内角和为︒⨯-180)2n 2(。

解：设原来多边形的边数为n ，由题意，得
2160180)2n 2(=⨯-
解得n=7，故原多边形的边数是7。

例2 若一个多边形的每一个内角都是钝角，则这样的多边形最少是几边形？
分析：多边形的内角与和它相邻的一个外角为邻补角。

由题设知，多边形的每一个内角都是钝角，所以其每一个外角都是锐角。

多边形的外角和恒等于360°，4个锐角的和小于360°，至少5个或5个以上锐角的和才可能等于360°。

解：略
2. 多边形的外角与边数的关系
例3 如果一个多边形的每一个外角都等于36°，求这个多边形的边数。

分析：若设多边形的边数为n ，则这个多边形有n 个外角，由题设知每个外角都等于36°，从而求得多边形的外角和是36n °。

解：设多边形的边数为n ，由题意，得方程
36n=360
解得n=10。

故这个多边形的边数是10。

3. 多边形的外角和、内角和与边数的关系
例4 已知一个多边形的外角和等于内角和的31，求这个多边形的边数。

分析：根据多边形的内角和（与边数有关）与外角和（恒等于360°，与边数无关）的一种关系，利用已知条件列出关于n 的一元一次方程，求边数n 。

解：设多边形的边数为n ，则这个多边形的内角和是（n －2）×180°。

已知外角和是360° ∴360180)2n (3
1
=⨯-
解得n=8。

所以这个多边形的边数是8。