江西省宜春市上高二数学中高三数学上学期第四次月考试题 理(含解析)
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②等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
③集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
的图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f（x）的单调性，问题得以解决．
江西省宜春市上高二数学中2021届高三数学上学期第四次月考试题 理（含解析）
一、选择题
， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先解指数型不等式，得到集合 进而求其补集，然后与集合 取交集即可.
【详解】解:集合 ，
所以
故选：C
【点睛】本题考查交集与补集运算，考查不等式的解法，考查计算能力，属于常考题型.
xOy中，点 在单位圆O上，设 ，若 ，且 ，则 的值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可．
【详解】 ，
，
， ，
则
，
故选C．
【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．
是首项为正数的等比数列,公比为 则“ ”是“对任意的正整数 ”的
二、填空题
、 满足 ， ，且 ，则向量 与 夹角的余弦值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
设平面向量 与 的夹角为 ，计算出 ，然后利用平面向量数量积的定义和运算律可得出 的值.
【详解】设平面向量 与 的夹角为 ，由题意可得 ，
，解得 .
因此，向量 与 夹角的余弦值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，涉及平面向量数量积的定义和运算律，考查计算能力，属于基础题.
，则 _____．（不用化简）
【答案】
【解析】
，
，
，故答案为 .
为偶函数，若曲线 的一条切线的斜率为 ，则该切点的横坐标等于______．
【答案】
【解析】
【分析】
函数 为偶函数，利用 ， 可得： ，利用导数的几何意义即可得出．
【详解】 函数 为偶函数，
，即 ，
可得： ．
，
，
设该切点的横坐标等于 ，则 ，
20. 中， ， ， 为线段 上一点，且满足 .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 .
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知可得 ，利用面积公式求 的值；
（2）根据（1）可知 ，又因为 ，变形可求 ， ，设 ， 和 分别利用余弦定理求 的长度.
【详解】（1）由题： ，所以 ,
即 .
所以 .
又因为 是正三角形，故 ，
所以 为二面角 的平面角．
在 中， ，又 ，所以 ，
故 ,即二面角 为直二面角,
所以平面 平面 ．
（2）由题设及（1）知， ， ， 两两垂直，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长度，以 的方向为 轴正方向，以 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
【详解】 是奇函数，
设 ，
由 ，可知 ，
整理为： ，
是增函数，
当 时， ，
即
设 ，
，
是单调递减函数，
当 时，
，
即 ，
当 时， 恒成立，即 ，
又 ，
最新 对称，
又有 ，
，
，
是周期为 的函数，
综上可画出 和 的函数图象，
由图象可知不等式的解集是 .
故选：C
【点睛】本题考查函数的性质和解不等式，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，以及变形计算能力，旨在培养逻辑思维能力，本题的一个关键点是不等式转化为 ，确定函数 是增函数，另一个是判断 的单调性，这样当 时，不等式 转化为 的解集.
【详解】由三棱锥的三视图可知，三棱锥的直观图（如下图） ，可在边长为 的正方体中截取，
由图可知， ， ，
所以侧面 ，
侧面 ，
侧面
故侧面的面积最大值为
故选B
【点睛】本题考查三视图还原直观图，考查学生的空间想象能力，属于中档题．
满足约束条件 若目标函数 的最
小值为2，则 的最小值为
A. B. 5+2 C. D.
故选D
点睛：已知数列的 与 的等量关系，往往是再写一项，作差处理得出递推关系，一定要注意n的范围，有的时候要检验n=1的时候，本题就是检验n=1,不符合，通项是分段的.
与函数 的图象上存在最新y轴对称的点，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
通过两函数图象最新 轴对称，可知 在 上有解；将问题转化为 与 在 上有交点，找到 与 相切时 的取值，通过图象可得到 的取值范围.
(2)以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长度，以 的方向为 轴正方向，以 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，然后求出平面 的一个法向量和平面 的一个法向量,利用两个法向量的夹角即可求得答案.
【详解】（1）证明：由题设可得 ，从而 ．
又 是直角三角形，所以 .
取 的中点 ，连接 ， ，则 ， .
令 ，可得 ，化为： ，解得 ．
，解得 ．
则该切点的横坐标等于 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了利用导数研究切线的斜率、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
为锐角三角形，满足 ， 外接圆的圆心为 ，半径为1，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用正弦定理，将 转化为边，得到 ，将所求的 转化成 ，结合 ，全部转化为 的函数，再求出 的范围，从而得到答案.
的图象，只需将函数 的图象（ ）
A.向右平移 个单位长度B.向右平移 个单位长度
C.向左平移个 单位长度D.向左平移个 单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论.
【详解】因为 ，
所以将其图象向左平移 个单位长度，
可得 ，
故选C.
【点睛】该题考查的是有关图象的平移变换问题，涉及到的知识点有辅助角公式，诱导公式，图象的平移变换的原则，属于简单题目.
满足 ，数列 是等比数列且 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意可得： ，
，则： .
本题选择C选项.
8.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中最大的侧面的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
Hale Waihona Puke 【分析】根据三视图还原出三棱锥的直观图，求出三棱锥的各个侧面面积即可求出侧面面积的最大值．
【详解】因为x﹣ ＞0，解得x＞1或﹣1＜x＜0，
所以函数f（x）=ln（x﹣ ）的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．
所以选项A、D不正确．
当x∈（﹣1，0）时，g（x）=x﹣ 是增函数，
因为y=lnx是增函数，所以函数f（x）=ln（x- ）是增函数．
故选B．
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
A. 充要条件B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得， ，故 必要不充分条件，故选C.
【考点】充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：
①定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．
（2）由 ，所以 ，
所以 ，所以， .
设 ，在 中，由 .
中， .
又因为 ,所以 ，即 .
化简可得 ，即 ，则 或 .
又因为 为线段 上一点，所以 且 ，所以 .
【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形的综合运用，重点考查转化与变形和计算能力，属于中档题型，有多个三角形的解三角形时，一是可以先分析条件比较多的三角形，再求解其他三角形，二是任何一个三角形都不能求解时，可以先设共有变量，利用等量关系解三角形.
（2）先表示出 ，再根据绝对值特点和三角函数 最值特点，求出对应的 值即可
【详解】（1） ， ，
则 ，又 ，故 ， .
.
.
（2）
由题意可知
当 时， 取到最大值 .
当 取到最大值时， ，又 ，所以 .
【点睛】本题考查同角三角函数的基本求法，三角函数正切值的和角公式，复合三角函数最值的求法，难度相对简单
【答案】A
【解析】
【详解】由约束条件可得到可行域如图所示，
目标函数 ，即
当过点 时目标函数取得最小值 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时等号成立，
所以 的最小值为 ，故选A.
为数列 的前 项和， ， ，则数列 的前20项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
， 相减得 由 得出
， = =
则 ， ， ， .
由题设知，四面体 的体积为四面体 的体积的 ，从而 到平面 的距离为 到平面 的距离的 ，即 为 的中点，得 ，
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）当 时， ，则
当 时，由 得， ，解得 ；
当 时， 恒成立；
当 时，由 得， ，解得 ．
所以 的解集为 ．
（2）因为对任意 ，都存在 ，使得不等式 成立，
所以 ．
因为 ，所以 ，
且 ，①
当 时，①式等号成立，即 ．
又因为 ，②
当 时，②式等号成立，即 ．
所以 ，整理得 ， 解得 或 ，
R上的奇函数 满足 ，且对任意的 ，都有 ．又 ，则最新 的不等式 在区间 上的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知，函数 在 是增函数，故 恒成立，设 ，可判断函数是单调递减函数，所以当 时， ，可推出 ，又根据函数 的性质画出函数 和 的函数图象，根据图象解不等式.
故 的取值范围为 ．
.
（1）若 ， ， ，求 的值；
（2）若动直线 与函数 和函数 的图象分别交于P，Q两点，求线段PQ长度的最大值，并求出此时t的值.
【答案】（1） ；（2）最大值为 ，
【解析】
【分析】
（1）先对 进行化简，求出 ，再根据同角三角函数求出 ，再根据 特点，求出 ，利用和角公式求值即可
【详解】根据正弦定理 ，
将 转化为
即 ，又因 为锐角，所以 .
所以
因为 是锐角三角形，
所以 ，所以 ，得 ，
所以
故 取值范围是 .
【点睛】本题考查向量的线性运算、数量积，正、余弦定理解三角形，余弦型函数的图像与性质，属于难题.
三、解答题
， ．
（1）当 时，解最新 的不等式 ；
（2）若对任意 ，都存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围．
【详解】由 得：
由题意可知 在 上有解
即： 在 上有解
即 与 在 上有交点
时， ，则 单调递增； ， ，则 单调递减
当 时，取极大值为：
函数 与 的图象如下图所示：
当 与 相切时，即 时，
切点为 ，则
若 与 在 上有交点，只需
即：
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用导数解决方程根存在的问题，关键是能够利用对称性将问题转化为直线与曲线有交点的问题，再利用相切确定临界值，从而求得取值范围.
的前 项和为 ， ， .
(1)证明数列 为等差数列，并求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和记为 ,证明： .
【答案】（1）证明见解析， ；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）当 时， ，两式相减变形为 ，
验证 后，判断数列 是等差数列；（2）根据（1）的结果求 和 ，利用裂项相消法求数列的前 项和，并证明不等式.
满足： （ 为虚数单位）， 为复数 的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知求得z，然后逐一核对四个选项得答案．
【详解】由（z﹣2）•i＝z，得zi﹣2i＝z，
∴z ，
∴z2＝（1﹣i）2＝﹣2i， ， ， ．
故选B．
点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
21.如图，在四面体 中， 是正三角形， 是直角三角形， ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）过 的平面交 于点 ，若平面 把四面体 分成体积相等的两部分，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】
【分析】
(1)取 的中点 ，连接 ， ，可证 为二面角 的平面角,再根据计算可得 ,即二面角 为直二面角,根据平面与平面垂直的定义可证平面 平面 ;
【详解】（1）由已知： ①,
得 ②
①－②可得 .
因为 ，所以
检验：由已知 ， ，所以 ，
那么 ，也满足式子 .所以 .
所以 为等差数列，首项为 ，公差为 .于是 .
（2）由 ，所以 .
所以 .
则
.
【点睛】本题考查已知 求通项公式和裂项相消法求和，意在考查转化与化归和计算能力，从形式看此题不难，但有两个地方需注意，第一问，如果忽略 的条件，就会忘记验证 ，第二问 ，采用裂项相消法求和，消项时注意不要丢掉某些项.
③集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
的图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f（x）的单调性，问题得以解决．
江西省宜春市上高二数学中2021届高三数学上学期第四次月考试题 理（含解析）
一、选择题
， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先解指数型不等式，得到集合 进而求其补集，然后与集合 取交集即可.
【详解】解:集合 ，
所以
故选：C
【点睛】本题考查交集与补集运算，考查不等式的解法，考查计算能力，属于常考题型.
xOy中，点 在单位圆O上，设 ，若 ，且 ，则 的值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可．
【详解】 ，
，
， ，
则
，
故选C．
【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．
是首项为正数的等比数列,公比为 则“ ”是“对任意的正整数 ”的
二、填空题
、 满足 ， ，且 ，则向量 与 夹角的余弦值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
设平面向量 与 的夹角为 ，计算出 ，然后利用平面向量数量积的定义和运算律可得出 的值.
【详解】设平面向量 与 的夹角为 ，由题意可得 ，
，解得 .
因此，向量 与 夹角的余弦值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，涉及平面向量数量积的定义和运算律，考查计算能力，属于基础题.
，则 _____．（不用化简）
【答案】
【解析】
，
，
，故答案为 .
为偶函数，若曲线 的一条切线的斜率为 ，则该切点的横坐标等于______．
【答案】
【解析】
【分析】
函数 为偶函数，利用 ， 可得： ，利用导数的几何意义即可得出．
【详解】 函数 为偶函数，
，即 ，
可得： ．
，
，
设该切点的横坐标等于 ，则 ，
20. 中， ， ， 为线段 上一点，且满足 .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 .
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知可得 ，利用面积公式求 的值；
（2）根据（1）可知 ，又因为 ，变形可求 ， ，设 ， 和 分别利用余弦定理求 的长度.
【详解】（1）由题： ，所以 ,
即 .
所以 .
又因为 是正三角形，故 ，
所以 为二面角 的平面角．
在 中， ，又 ，所以 ，
故 ,即二面角 为直二面角,
所以平面 平面 ．
（2）由题设及（1）知， ， ， 两两垂直，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长度，以 的方向为 轴正方向，以 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
【详解】 是奇函数，
设 ，
由 ，可知 ，
整理为： ，
是增函数，
当 时， ，
即
设 ，
，
是单调递减函数，
当 时，
，
即 ，
当 时， 恒成立，即 ，
又 ，
最新 对称，
又有 ，
，
，
是周期为 的函数，
综上可画出 和 的函数图象，
由图象可知不等式的解集是 .
故选：C
【点睛】本题考查函数的性质和解不等式，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，以及变形计算能力，旨在培养逻辑思维能力，本题的一个关键点是不等式转化为 ，确定函数 是增函数，另一个是判断 的单调性，这样当 时，不等式 转化为 的解集.
【详解】由三棱锥的三视图可知，三棱锥的直观图（如下图） ，可在边长为 的正方体中截取，
由图可知， ， ，
所以侧面 ，
侧面 ，
侧面
故侧面的面积最大值为
故选B
【点睛】本题考查三视图还原直观图，考查学生的空间想象能力，属于中档题．
满足约束条件 若目标函数 的最
小值为2，则 的最小值为
A. B. 5+2 C. D.
故选D
点睛：已知数列的 与 的等量关系，往往是再写一项，作差处理得出递推关系，一定要注意n的范围，有的时候要检验n=1的时候，本题就是检验n=1,不符合，通项是分段的.
与函数 的图象上存在最新y轴对称的点，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
通过两函数图象最新 轴对称，可知 在 上有解；将问题转化为 与 在 上有交点，找到 与 相切时 的取值，通过图象可得到 的取值范围.
(2)以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长度，以 的方向为 轴正方向，以 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，然后求出平面 的一个法向量和平面 的一个法向量,利用两个法向量的夹角即可求得答案.
【详解】（1）证明：由题设可得 ，从而 ．
又 是直角三角形，所以 .
取 的中点 ，连接 ， ，则 ， .
令 ，可得 ，化为： ，解得 ．
，解得 ．
则该切点的横坐标等于 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了利用导数研究切线的斜率、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
为锐角三角形，满足 ， 外接圆的圆心为 ，半径为1，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用正弦定理，将 转化为边，得到 ，将所求的 转化成 ，结合 ，全部转化为 的函数，再求出 的范围，从而得到答案.
的图象，只需将函数 的图象（ ）
A.向右平移 个单位长度B.向右平移 个单位长度
C.向左平移个 单位长度D.向左平移个 单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论.
【详解】因为 ，
所以将其图象向左平移 个单位长度，
可得 ，
故选C.
【点睛】该题考查的是有关图象的平移变换问题，涉及到的知识点有辅助角公式，诱导公式，图象的平移变换的原则，属于简单题目.
满足 ，数列 是等比数列且 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意可得： ，
，则： .
本题选择C选项.
8.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中最大的侧面的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
Hale Waihona Puke 【分析】根据三视图还原出三棱锥的直观图，求出三棱锥的各个侧面面积即可求出侧面面积的最大值．
【详解】因为x﹣ ＞0，解得x＞1或﹣1＜x＜0，
所以函数f（x）=ln（x﹣ ）的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．
所以选项A、D不正确．
当x∈（﹣1，0）时，g（x）=x﹣ 是增函数，
因为y=lnx是增函数，所以函数f（x）=ln（x- ）是增函数．
故选B．
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
A. 充要条件B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得， ，故 必要不充分条件，故选C.
【考点】充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：
①定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．
（2）由 ，所以 ，
所以 ，所以， .
设 ，在 中，由 .
中， .
又因为 ,所以 ，即 .
化简可得 ，即 ，则 或 .
又因为 为线段 上一点，所以 且 ，所以 .
【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形的综合运用，重点考查转化与变形和计算能力，属于中档题型，有多个三角形的解三角形时，一是可以先分析条件比较多的三角形，再求解其他三角形，二是任何一个三角形都不能求解时，可以先设共有变量，利用等量关系解三角形.
（2）先表示出 ，再根据绝对值特点和三角函数 最值特点，求出对应的 值即可
【详解】（1） ， ，
则 ，又 ，故 ， .
.
.
（2）
由题意可知
当 时， 取到最大值 .
当 取到最大值时， ，又 ，所以 .
【点睛】本题考查同角三角函数的基本求法，三角函数正切值的和角公式，复合三角函数最值的求法，难度相对简单
【答案】A
【解析】
【详解】由约束条件可得到可行域如图所示，
目标函数 ，即
当过点 时目标函数取得最小值 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时等号成立，
所以 的最小值为 ，故选A.
为数列 的前 项和， ， ，则数列 的前20项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
， 相减得 由 得出
， = =
则 ， ， ， .
由题设知，四面体 的体积为四面体 的体积的 ，从而 到平面 的距离为 到平面 的距离的 ，即 为 的中点，得 ，
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）当 时， ，则
当 时，由 得， ，解得 ；
当 时， 恒成立；
当 时，由 得， ，解得 ．
所以 的解集为 ．
（2）因为对任意 ，都存在 ，使得不等式 成立，
所以 ．
因为 ，所以 ，
且 ，①
当 时，①式等号成立，即 ．
又因为 ，②
当 时，②式等号成立，即 ．
所以 ，整理得 ， 解得 或 ，
R上的奇函数 满足 ，且对任意的 ，都有 ．又 ，则最新 的不等式 在区间 上的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知，函数 在 是增函数，故 恒成立，设 ，可判断函数是单调递减函数，所以当 时， ，可推出 ，又根据函数 的性质画出函数 和 的函数图象，根据图象解不等式.
故 的取值范围为 ．
.
（1）若 ， ， ，求 的值；
（2）若动直线 与函数 和函数 的图象分别交于P，Q两点，求线段PQ长度的最大值，并求出此时t的值.
【答案】（1） ；（2）最大值为 ，
【解析】
【分析】
（1）先对 进行化简，求出 ，再根据同角三角函数求出 ，再根据 特点，求出 ，利用和角公式求值即可
【详解】根据正弦定理 ，
将 转化为
即 ，又因 为锐角，所以 .
所以
因为 是锐角三角形，
所以 ，所以 ，得 ，
所以
故 取值范围是 .
【点睛】本题考查向量的线性运算、数量积，正、余弦定理解三角形，余弦型函数的图像与性质，属于难题.
三、解答题
， ．
（1）当 时，解最新 的不等式 ；
（2）若对任意 ，都存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围．
【详解】由 得：
由题意可知 在 上有解
即： 在 上有解
即 与 在 上有交点
时， ，则 单调递增； ， ，则 单调递减
当 时，取极大值为：
函数 与 的图象如下图所示：
当 与 相切时，即 时，
切点为 ，则
若 与 在 上有交点，只需
即：
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用导数解决方程根存在的问题，关键是能够利用对称性将问题转化为直线与曲线有交点的问题，再利用相切确定临界值，从而求得取值范围.
的前 项和为 ， ， .
(1)证明数列 为等差数列，并求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和记为 ,证明： .
【答案】（1）证明见解析， ；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）当 时， ，两式相减变形为 ，
验证 后，判断数列 是等差数列；（2）根据（1）的结果求 和 ，利用裂项相消法求数列的前 项和，并证明不等式.
满足： （ 为虚数单位）， 为复数 的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知求得z，然后逐一核对四个选项得答案．
【详解】由（z﹣2）•i＝z，得zi﹣2i＝z，
∴z ，
∴z2＝（1﹣i）2＝﹣2i， ， ， ．
故选B．
点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
21.如图，在四面体 中， 是正三角形， 是直角三角形， ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）过 的平面交 于点 ，若平面 把四面体 分成体积相等的两部分，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】
【分析】
(1)取 的中点 ，连接 ， ，可证 为二面角 的平面角,再根据计算可得 ,即二面角 为直二面角,根据平面与平面垂直的定义可证平面 平面 ;
【详解】（1）由已知： ①,
得 ②
①－②可得 .
因为 ，所以
检验：由已知 ， ，所以 ，
那么 ，也满足式子 .所以 .
所以 为等差数列，首项为 ，公差为 .于是 .
（2）由 ，所以 .
所以 .
则
.
【点睛】本题考查已知 求通项公式和裂项相消法求和，意在考查转化与化归和计算能力，从形式看此题不难，但有两个地方需注意，第一问，如果忽略 的条件，就会忘记验证 ，第二问 ，采用裂项相消法求和，消项时注意不要丢掉某些项.