带有垂直于极化方向穿透的直裂纹的压电狭长体平面问题的解析解

带有垂直于极化方向穿透的直裂纹的压电狭长体平面问题的解
析解∗
高健;刘官厅
【摘要】By introducing a new generalized conformal mapping and using the generalized complex variable function method, the plane
electro/elastic problem of the piezoelectric strip with a straight crack penetrating across the material perpendicular to the poling direction was investigated under the in-plane stress and electric loads. The analytical solutions of the stress intensity factor and electric displacement intensity factor were derived under the assumption that the surface of the crack was electrically impermeable. It is concluded that the stress field and the electric field are coupled for this problem. The analytical solutions for a purely elastic material have been obtained in the absence of electric loading. When the height of the piezoelectric strip tends to infinity, the result is reduced to the well-known result. Finally, some numerical experiments have conducted to analyze the influences of the material constants, the crack length and the applied mechanical/electric loads on the field intensity factors.% 通过构造新的广义保角映射，本文利用广义复变函数方法研究了裂纹面上受平面应力和面内电载荷共同作用的带有垂直于极化方向穿透的有限长直裂纹的压电狭长体的平面电弹性问题，给出了电不可渗透边界条件下裂纹尖端应力和电位移强度因子的解析解。

结果表明，对于该问题应力场和电场是耦合的。

若不考虑电场的作用，则可得到对应纯弹性材料的解析解。

当压电狭长
体的高度趋于无限大时，所得解析解可退化为已有结果。

最后，通过数值算例说明了材料参数、裂纹长度和机电载荷对场强度因子的影响。

【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2013(000)003
【总页数】10页(P329-338)
【关键词】压电狭长体;直裂纹;广义保角映射;场强度因子
【作者】高健;刘官厅
【作者单位】内蒙古民族大学数学学院，通辽 028043;内蒙古师范大学数学科学学院，呼和浩特 010022
【正文语种】中文
【中图分类】O346.1
1 引言
压电材料由于其良好的机电耦合性，在工程上有着十分广泛应用．然而，由于其内部存在一些缺陷，常会导致材料在使用的过程中在一定的外界条件的作用下损坏．因此，近年来，关于压电材料断裂行为的研究受到了国内外学者的广泛关注，并取得了大量的研究成果[1-6]．在解决某些含有复杂缺陷的构件的平面弹性和断裂问题时，最能体现复变函数方法的优越性．最近，文献[7–10]运用复变函数方法研究了无限大横观各向同性压电材料中含有沿极化方向穿透的孔洞带裂纹的反平面形变问题，得出了裂纹尖端处场强度因子和应变能释放率的精确解析解，当孔洞和裂纹的尺寸按一定的规律发生变化时，这些解析解可以来模拟更多的缺陷问题，如
T型裂纹，十字形裂纹等等．文献[11]利用积分变换法研究了带有沿极化方向穿透的有限长Griffith裂纹的压电狭长陶瓷在反平面剪切和面内电荷载的共同作用下的电弹性断裂问题，得到了问题的封闭形式的精确解．文献[12]运用复变函数方法、解析延拓和保角映射技术研究了渗透边界条件下无限大压电材料中周期共线反平面裂纹问题，得到了各场强度因子并进行了相应的分析．当缺陷垂直于横观各向同性压电材料的极化方向穿透时，无论对于平面还是反平面电弹性问题，其控制方程较缺陷沿着极化方向穿透时的反平面电弹性问题都更为复杂，因此，对于这类问题的解析解的研究有一定的难度．文献[13]给出了上述平面问题的基本方程及在电不可渗透的边界条件下无限大压电平面含有椭圆孔口时的平面电弹性问题的精确解析解，并对解析解进行了一定的讨论．文献[14]研究了在电可渗透边界条件下带有椭圆孔口和Griffith裂纹的无限大压电材料的平面问题，给出了各场变量和应力强度因子的解析解．然而，对于这种情况下压电狭长体中含有缺陷的电弹性问题的解析解的研究目前尚未见相关报道．
本文利用广义复变函数方法，通过构造新的广义保角映射，研究了在电不可渗透边界条件下，带有垂直于极化方向穿透的有限长直裂纹的压电狭长体的平面电弹性问题，给出了裂纹尖端处各场强度因子的解析解．当狭长体的高度趋于无限大时，该结果可退化为已有的经典问题的结果．最后，通过数值算例说明了材料参数、裂纹的长度和外加机电载荷对场强度因子的影响，得出了几个重要结论，为压电材料在工程上的应用提供了理论基础.
2 基本理论
设横观各向同性压电复合材料的极化方向是沿着z轴的方向，当所讨论的缺陷位于x−z平面或y−z平面内时，对应的压电材料的平面问题的各个基本方程可描述如
下[13](这里不妨可设缺陷位于x−z平面内，并且记x→x1,z→x2)．
1) 本构方程
其中
这里sij,gij和βij分别为材料的弹性常数、压电常数和介电常数．
2) 梯度方程
其中ui和φi分别为位移和电势分量，εij和Ei分别为应变和电场分量，且i,j=1,2．3) 应力和静电平衡方程(在不计体力和体电荷密度为零的情况下)
引入两个二元函数U(x1,x2)和ψ(x1,x2)，它们满足
由(1)–(7)式，经过整理可推得问题的最终控制方程为如下的偏微分方程组
其中L4,L3和L2分别为四阶、三阶和二阶偏微分算子并且
为求解方程组(8)，消去ψ(x1,x2)以得到关于U(x1,x2)的一个六阶偏微分方程：
由文献[13,15]可知，方程(10)的解可用三个广义复变函数表示为
其中zk=x1+µkx2为广义复变量，µk为方程(10)所对应的特征方程的三个特征根．将(11)代入到(8)中，则可得到另一个二元函数
其中
最后，引入复势φk(zk)以将U(x1,x2),ψ(x1,x2)及各个场变量统一地表示出来，设
则各应力分量和电位移分量为
应力、电位移边界条件关于复势φk(zk)的表示为
其中t1,t2分别为边界上的外应力沿x1和x2方向上的分量，Dn为边界上的电位移D沿边界外法线方向上的分量．这样该问题最终化为在已知边界条件(17)的右端下求解方程(17)中的复势及方程(10)所对应的特征方程的特征根的问题．
3 带有垂直于极化方向穿透的直裂纹的压电狭长体的平面问题
3.1 广义保角映射的引入和复势函数的求解
设有一横观各向同性的压电狭长体，其中部含有一条垂直于极化方向穿透的长度为2a的直裂纹，距离上、下表面的高度均为H，如图1所示，其极化方向沿着z轴的方向，考虑x−z平面内的平面问题，压电体在裂纹面上受单向拉伸σ0zz，面内剪切σ0zx和面内电载荷D0z和D0x，压电体在远场不受外载荷的作用．同前所论，记x→ x1,z→x2,σ0zz→ σ022,σ0zx→ σ012,D0x→ D01,D0z→ D02．
当裂纹内部空气的介电常数远小于材料的介电常数时，裂纹内部的电场相对于材料内部是可以忽略的，因此，采用电不可渗透的假设显然较为合理[6]．根据已知的边界条件，由(17)式可知复势函数φk(zk)，满足以下三个方程
图1:带有限长直裂纹的压电狭长体
由于这里压电狭长体在远场不受外载荷，于是这里的φk(zk)为压电体所在区域内的广义解析函数，即
为求得解析函数φk(zk)，引入如下广义保角映射
其中
为三个实常数，并且该映射将zk平面内的带有限长裂纹的压电狭长体所在区域保
角映射到ζk平面中单位圆的内部，两主要对应点为ω(1)=a,ω(−1)= −a，取ζk= σ=eiθ,0≤θ≤2π，则zk平面内的三个点被映射到单位圆上的一个点，引入如下记号
将(18)两边对变量zk求导，把(21)式代入到(18)式中，并取ζk=σ=eiθ,0≤θ≤2π，则经变换(20)后边界条件变为
对单位圆内部的任意一点ζ，先将(22)式两边同乘以，并沿单位圆周γ积分，利用Cauchy积分公式可得
以下记
于是方程(22)可化为
解该方程可得
这里的Λkj为以下矩阵的元素
这就得到了相平面内的复势的导数Φ′k(ζk)(k=1,2,3)的解析解，再利用广义保角映
射zk=ω(ζk)和(15),(16)式就可以得到相应的各个场变量精确解析解．
3.2 场强度因子
裂纹尖端的场强度因子是分析材料断裂行为和特性的重要参量，由于这里所讨论的裂纹是沿着坐标轴的直裂纹，因此，可利用场强度因子的原始定义式，定义裂纹尖端(a,0)处的场强度因子如下
由(15),(16)和(21)式可知
再将(20),(26)和(30)式，代入(29)式经计算可得裂纹尖端(a,0)处各场强度因子为
3.3 对结果的分析
从结果(31)中可以看出，裂纹尖端处各场强度因子都与材料常数有关，并且当不考虑电场的作用时，结果(31)可以退化成为普通复合材料相应的缺陷问题的解析解．当材料及相应构型的尺寸确定，即α,β,βk和Λij确定时，从(31)式中还可以看出，应力场和电场是耦合的，即裂纹尖端处的应力强度因子不仅与边界上的机械载荷有关，还与外电场的作用有关，并且都满足线性关系；反之，电位移强度因子同样既与外电场，又与机械载荷满足线性关系．这是本文所研究的压电材料复杂缺陷的平面电弹性问题与以往所研究的横观各向同性压电材料反平面复杂缺陷的电弹性问题本质上的不同．此外，当狭长体的高度趋于无限大时，由(31)式可得到无限大压电体含有垂直于极化方向穿透的有限长裂纹问题的各场强度因子为
这与文献[14]中所得到的结论完全一致，当不考虑电场的作用时，该结果与纯弹性的复合材料中的相应结果[16]仍然是一致的，这在一定程度上验证了结果(31)的正确性．
在(31)式中，若记
则当材料和外载荷确定时，应力和电位移强度因子只随Lk，即随压电狭长体和裂纹的尺寸变化．以下以PZT-4压电陶瓷为例分析Lk及应力强度因子随材料的尺寸和外加电载荷的变化规律．对于PZT-4压电陶瓷，(3)式中的各常数为[13]
将这组常数代入到控制方程(10)对应的特征方程中可解得其特征根为
于是β1,β2和β3可分别取为β1=1.41849, β2= β3=1.06988．
图2显示了当给定压电狭长体的高度H=0.01m时，Lk随着裂纹尺寸的变化规律．从图中可以看出Lk随着裂纹长度的增加而增加，即场强度因子随着裂纹长度的增加而增加．此外，从图2中还可以看出，材料对应的特征根的虚部βk的绝对值越大，对应的Lk也越大．对于PZT-4压电陶瓷，图3给出了当a=H=0.01m，且裂纹面上只受单向拉伸σ202时，电载荷对应力强度因子K1的影响规律，其中K0=1.0632MPa可以看出，应力强度因子随着正边界电位移的增加而增加，随着负边界电位移的增加而减小．若以应力强度因子作为压电材料断裂的判据，这说明正电载荷促进裂纹的扩展，负电载荷阻碍裂纹扩展．从图3中还可看出当拉伸强度σ022增加时，应力强度因子也随之增加.
图2:Lk随a/H的变化规律
图3:应力强度因子随边界电载荷的变化规律
4 结论
当缺陷垂直于横观各向同性压电材料的极化方向穿透时，在各向异性平面内的平面电弹性问题的控制方程为六阶偏微分方程，其缺陷问题的求解较经典的反平面电弹性问题有本质的难度．本文利用广义复变函数方法，通过构造新的广义保角映射研
究了在电不可渗透边界条件下带有垂直于极化方向穿透的有限长直裂纹的压电狭长体的平面问题，给出了裂纹尖端处各场强度因子的解析解．当狭长体的高度趋于无限大时，该结果可退化为已有结果．最后，通过数值算例分析了材料参数、裂纹长度和外加电载荷对场强度因子的影响规律，得到了如下结论：
1) 裂纹越长，裂纹尖端处场强度因子越大，对应的压电狭长体相对越容易被破坏；
2) 对于本文所讨论的问题，各场强度因子不仅与构型的尺寸和边界上的机电载荷
有关，还与压电材料的材料参数有关；
3) 应力场和电场是耦合的，即应力强度因子不仅与外应力有关，还与外电场有关，而且应力强度因子线性地依赖于外电场；同样电位移强度因子也线性地依赖于外应力；
4) 机械载荷促进裂纹扩展；正电载荷促进裂纹的扩展，而负电载荷阻碍裂纹扩展．本文所得结果可为压电材料的工程断裂分析和结构设计提供重要的理论基础．
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