新课标2020版高考数学二轮复习第一部分基醇点自主练透第2讲集合复数常用逻辑用语练习理新人教A版20
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
9．(2019·贵阳市第一学期监测)命题p：若x>y，则x2>y2，命题q：若x<y，则－x>－y.在命题①p∧q；②p∨q；③p∨(﹁q)；④(﹁p)∧q中，真命题是( )
A．①③B．①④
C．②③D．②④
解析：选D．命题p：当x＝0，y＝－2时，x2<y2，所以为假命题；命题q为真命题，所以①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∨(﹁q)为假命题；④(﹁p)∧q为真命题，所以真命题是②④.
答案：[2，＋∞)
附：什么样的考试心态最好
大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。想要不出现太强的考试焦虑，那么最好的办法是，形成自己的掌控感。
1、首先，认真研究考试办法。
这一点对知识水平比较高的考生非常重要。随着重复学习的次数增加，我们对知识的兴奋度会逐渐下降。最后时刻，再去重复学习，对于很多学生已经意义不大，远不如多花些力气，来思考考试。
答案：①②③④
15．(一题多解)设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝ab，a∈P，b∈Q}，若P＝{1，2}，Q＝{－1，0，1}，则集合P*Q中元素的个数为________．
解析：法一(列举法)：当b＝0时，无论a取何值，z＝ab＝1；当a＝1时，无论b取何值，ab＝1；当a＝2，b＝－1时，z＝2－1＝ ；当a＝2，b＝1时，z＝21＝2.故P*Q＝ ，该集合中共有3个元素．
法二(列表法)：因为a∈P，b∈Q，所以a的取值只能为1，2；b的取值只能为－1，0，1.z＝ab的不同运算结果如下表所示：
ba
－1
0
1
1
1
1
1
2
1
2
由上表可知P*Q＝ ，显然该集合中共有3个元素．
答案：3
16．已知命题p：∀x∈[0，1]，a≥2x；命题q：∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0.若命题“p∨q”是真命题，“﹁p∧q”是假命题，则实数a的取值范围为________．
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
解析：选C．若 <1，则a>1或a<0，则“a>1”是“ <1”的充分不必要条件，故A正确；根据特称命题的否定为全称命题，得“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1”，故B正确；当x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，当x2＋y2≥4时却不一定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，因此“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；因为“ab＝0”是“a＝0”的必要不充分条件，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．
解析：选A．因为(1＋i)·z＝ i，所以z＝ ＝ ＝ ，则复数z在复平面内对应的点的坐标为 ，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限，故选A．
7．(2019·高考北京卷)设函数f(x)＝cosx＋bsinx(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
故选A．
2．命题“∀x>0，lnx≥1－ ”的否定是( )
A．∃x0≤0，lnx0≥1－
B．∃x0≤0，lnx0<1－
C．∃x0>0，lnx0≥1－
D．∃x0>0，lnx0<1－
解析：选D．若命题为∀x∈M，p(x)，则其否定为∃x0∈M，﹁p(x0)．所以“∀x>0，lnx≥1－ ”的否定是∃x0>0，lnx0<1－ ，故选D．
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C．因为f(x)＝cosx＋bsinx为偶函数，所以对任意的x∈R都有f(－x)＝f(x)，
即cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx＋bsinx，
所以2bsinx＝0.由x的任意性，得b＝0.
故f(x)为偶函数⇒b＝0.必要性成立．
反过来，若b＝0，则f(x)＝cosx是偶函数．充分性成立．
很多老师也会讲解考试的办法。但是，老师给你的办法，不能很好地提高你对考试的掌控感，你要找到自己的一套明确的考试办法，才能最有效地提高你的掌控感。有了这种掌控感，你不会再觉得，在如此关键性的考试面前，你是一只被检验、被考察甚至被宰割的绵羊。
2、其次，试着从考官的角度思考问题。
考官，是掌控考试的;考生，是被考试考验的。如果你只把自己当成一个考生，你难免会惶惶不安，因为你觉得自己完全是个被摆布者。如果从考官的角度去看考试，你就成了一名主动的参与者。具体的做法就是，面对那些知识点，你想像你是一名考官，并考虑，你该用什么形式来考这个知识点。
所以“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．故选C．
8．下列命题错误的是( )
A．“a>1”是“ <1”的充分不必要条件
B．命题“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1”
C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件
12．(2019·南昌市第一次模拟测试)已知r>0，x，y∈R，p：“|x|＋ ≤1”，q：“x2＋y2≤r2”，若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是( )
A． B．(0，1]
C． D．[2，＋∞)
解析：选A．由题意，命题p对应的是菱形及其内部，当x>0，y>0时，可得菱形的一边所在的直线方程为x＋ ＝1，即2x＋y－2＝0，由p是q的必要不充分条件，可得圆x2＋y2＝r2的圆心到直线2x＋y－2＝0的距离d＝ ＝ ≥r，又r>0，所以实数r的取值范围是 ，故选A．
③已知x，y∈R，若x2＋y2≠0，则x，y不全为0；
④△ABC中，若AB>AC，则sinC>sinB．
解析：①是正确的；对于②，命题p：∀x>0，x3>0，﹁p：∃x0>0，x ≤0，所以②是正确的；对于③，若x，y同时为0，则x2＋y2＝0，与已知矛盾，故x，y不全为0；③正确；对于④，在△ABC中，大边对大角，所以④正确．
4.(2019·沈阳市质量监测(一))已知全集U＝{1，3，5，7}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则如图所示阴影区域表示的集合为( )
A．{3}B．{7}
C．{3，7}D．{1，3，5}
解析：选B．由图可知，阴影区域为∁U(A∪B)，由并集的概念知，A∪B＝{1，3，5}，又U＝{1，3，5，7}，于是∁U(A∪B)＝{7}，故选B．
第2讲 集合、复数、常用逻辑用语
一、选择题
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝( )
A．(－∞，1)B．(－2，1)
C．(－3，－1)D．(3，＋∞)
解析：选A．A∩B＝{x|x2－5x＋6>0}∩{x|x－1<0}＝{x|x<2或x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}．
高考前两个半月，我用这个办法梳理了一下所有课程，最后起到了匪夷所思的效果，令我在短短两个半月，从全班第19名升到了全班第一名。当然，这有一个前提——考试范围内的知识点，我基本已完全掌握。
3、再次，适当思考一下考试后的事。
如觉得未来不可预测，我们必会焦虑。那么，对未来做好预测，这种焦虑就会锐减。这时要明白一点：考试是很重要，但只是人生的一个重要瞬间，所谓胜败也只是这一瞬间的胜败，它的确会带给我们很多，但它远不能决定我们一生的成败。
二、填空题
13．已知复数z满足z(1－i)2＝1＋i(i为虚数单位)，则|z|＝________．
解析：因为z＝－ ＝ ，所以|z|＝ .
答案：
14．以下四个说法中，正确的是________(填序号)．
①双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝± x；
②命题p：∀x>0，x3>0，那么﹁p：∃x0>0，x ≤0；
若命题“p∨q”是真命题，则命题p，q至少有一个是真命题；
由“﹁p∧q”是假命题，可得﹁p与q至少有一个是假命题．
①若p为真命题，则﹁p为假命题，q可真可假，
此时实数a的取值范围为[2，＋∞)；
②若p为假命题，则q必为真命题，此时，“﹁p∧q”为真命题，不合题意．
综上，实数a的取值范围为[2，＋∞)．
3．(2019·郑州市第一次质量预测)设全集U＝R，集合A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|x＋1≥0}，则∁U(A∪B)＝( )
A．{x|x≤－3或x≥1}
B．{x|x<－1或x≥3}
C．{x|x≤3}
D．{x|x≤－3}
解析：选D．因为B＝{x|x≥－1}，A＝{x|－3<x<1}，所以A∪B＝{x|x>－3}，所以∁U(A∪B)＝{x|x≤－3}．故选D．
解析：命题p为真，则a≥2x(x∈[0，1])恒成立，
因为y＝2x在[0，1]上单调递增源自所以2x≤21＝2，故a≥2，即命题p为真时，实数a的取值集合为P＝{a|a≥2}．
若命题q为真，则方程x2＋4x＋a＝0有解，所以Δ＝42－4×1×a≥0，解得a≤4.
故命题q为真时，实数a的取值集合为Q＝{a|a≤4}．
10．(2019·福州模拟)给出下列命题：
①“x＝ ”是“tanx＝1”的充分不必要条件；
②定义在[a，b]上的偶函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b的最大值为30；
③命题“∃x0∈R，x0＋ ≥2”的否定是“∀x∈R，x＋ >2”．其中正确命题的个数为( )
A．0B．1
C．2D．3
解析：选C．由x＝ ，得tanx＝1，但由tanx＝1推不出x＝ ，所以“x＝ ”是“tanx＝1”的充分不必要条件，所以命题①是正确的；若定义在[a，b]上的函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b是偶函数，则 ，则 ，则f(x)＝x2＋5在[－5，5]上的最大值为30，所以命题②是正确的；命题“∃x0∈R，x0＋ ≥2”的否定是“∀x∈R，x＋ <2”，所以命题③是错误的．故正确命题的个数为2，故选C．
5．若i是虚数单位，则复数 的实部与虚部之积为( )
A．－ B．
C． iD．－ i
解析：选B．因为 ＝ ＝ ＋ i，所以其实部为 ，虚部为 ，实部与虚部之积为 .故选B．
6．已知(1＋i)·z＝ i(i是虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
11．已知命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋ ≤0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0)B．[0，4]
C．[4，＋∞)D．(0，4)
解析：选D．因为命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋ ≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R，4x2＋(a－2)x＋ ＞0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4× ＝a2－4a＜0，解得0＜a＜4，故选D．
A．①③B．①④
C．②③D．②④
解析：选D．命题p：当x＝0，y＝－2时，x2<y2，所以为假命题；命题q为真命题，所以①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∨(﹁q)为假命题；④(﹁p)∧q为真命题，所以真命题是②④.
答案：[2，＋∞)
附：什么样的考试心态最好
大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。想要不出现太强的考试焦虑，那么最好的办法是，形成自己的掌控感。
1、首先，认真研究考试办法。
这一点对知识水平比较高的考生非常重要。随着重复学习的次数增加，我们对知识的兴奋度会逐渐下降。最后时刻，再去重复学习，对于很多学生已经意义不大，远不如多花些力气，来思考考试。
答案：①②③④
15．(一题多解)设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝ab，a∈P，b∈Q}，若P＝{1，2}，Q＝{－1，0，1}，则集合P*Q中元素的个数为________．
解析：法一(列举法)：当b＝0时，无论a取何值，z＝ab＝1；当a＝1时，无论b取何值，ab＝1；当a＝2，b＝－1时，z＝2－1＝ ；当a＝2，b＝1时，z＝21＝2.故P*Q＝ ，该集合中共有3个元素．
法二(列表法)：因为a∈P，b∈Q，所以a的取值只能为1，2；b的取值只能为－1，0，1.z＝ab的不同运算结果如下表所示：
ba
－1
0
1
1
1
1
1
2
1
2
由上表可知P*Q＝ ，显然该集合中共有3个元素．
答案：3
16．已知命题p：∀x∈[0，1]，a≥2x；命题q：∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0.若命题“p∨q”是真命题，“﹁p∧q”是假命题，则实数a的取值范围为________．
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
解析：选C．若 <1，则a>1或a<0，则“a>1”是“ <1”的充分不必要条件，故A正确；根据特称命题的否定为全称命题，得“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1”，故B正确；当x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，当x2＋y2≥4时却不一定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，因此“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；因为“ab＝0”是“a＝0”的必要不充分条件，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．
解析：选A．因为(1＋i)·z＝ i，所以z＝ ＝ ＝ ，则复数z在复平面内对应的点的坐标为 ，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限，故选A．
7．(2019·高考北京卷)设函数f(x)＝cosx＋bsinx(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
故选A．
2．命题“∀x>0，lnx≥1－ ”的否定是( )
A．∃x0≤0，lnx0≥1－
B．∃x0≤0，lnx0<1－
C．∃x0>0，lnx0≥1－
D．∃x0>0，lnx0<1－
解析：选D．若命题为∀x∈M，p(x)，则其否定为∃x0∈M，﹁p(x0)．所以“∀x>0，lnx≥1－ ”的否定是∃x0>0，lnx0<1－ ，故选D．
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C．因为f(x)＝cosx＋bsinx为偶函数，所以对任意的x∈R都有f(－x)＝f(x)，
即cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx＋bsinx，
所以2bsinx＝0.由x的任意性，得b＝0.
故f(x)为偶函数⇒b＝0.必要性成立．
反过来，若b＝0，则f(x)＝cosx是偶函数．充分性成立．
很多老师也会讲解考试的办法。但是，老师给你的办法，不能很好地提高你对考试的掌控感，你要找到自己的一套明确的考试办法，才能最有效地提高你的掌控感。有了这种掌控感，你不会再觉得，在如此关键性的考试面前，你是一只被检验、被考察甚至被宰割的绵羊。
2、其次，试着从考官的角度思考问题。
考官，是掌控考试的;考生，是被考试考验的。如果你只把自己当成一个考生，你难免会惶惶不安，因为你觉得自己完全是个被摆布者。如果从考官的角度去看考试，你就成了一名主动的参与者。具体的做法就是，面对那些知识点，你想像你是一名考官，并考虑，你该用什么形式来考这个知识点。
所以“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．故选C．
8．下列命题错误的是( )
A．“a>1”是“ <1”的充分不必要条件
B．命题“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1”
C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件
12．(2019·南昌市第一次模拟测试)已知r>0，x，y∈R，p：“|x|＋ ≤1”，q：“x2＋y2≤r2”，若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是( )
A． B．(0，1]
C． D．[2，＋∞)
解析：选A．由题意，命题p对应的是菱形及其内部，当x>0，y>0时，可得菱形的一边所在的直线方程为x＋ ＝1，即2x＋y－2＝0，由p是q的必要不充分条件，可得圆x2＋y2＝r2的圆心到直线2x＋y－2＝0的距离d＝ ＝ ≥r，又r>0，所以实数r的取值范围是 ，故选A．
③已知x，y∈R，若x2＋y2≠0，则x，y不全为0；
④△ABC中，若AB>AC，则sinC>sinB．
解析：①是正确的；对于②，命题p：∀x>0，x3>0，﹁p：∃x0>0，x ≤0，所以②是正确的；对于③，若x，y同时为0，则x2＋y2＝0，与已知矛盾，故x，y不全为0；③正确；对于④，在△ABC中，大边对大角，所以④正确．
4.(2019·沈阳市质量监测(一))已知全集U＝{1，3，5，7}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则如图所示阴影区域表示的集合为( )
A．{3}B．{7}
C．{3，7}D．{1，3，5}
解析：选B．由图可知，阴影区域为∁U(A∪B)，由并集的概念知，A∪B＝{1，3，5}，又U＝{1，3，5，7}，于是∁U(A∪B)＝{7}，故选B．
第2讲 集合、复数、常用逻辑用语
一、选择题
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝( )
A．(－∞，1)B．(－2，1)
C．(－3，－1)D．(3，＋∞)
解析：选A．A∩B＝{x|x2－5x＋6>0}∩{x|x－1<0}＝{x|x<2或x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}．
高考前两个半月，我用这个办法梳理了一下所有课程，最后起到了匪夷所思的效果，令我在短短两个半月，从全班第19名升到了全班第一名。当然，这有一个前提——考试范围内的知识点，我基本已完全掌握。
3、再次，适当思考一下考试后的事。
如觉得未来不可预测，我们必会焦虑。那么，对未来做好预测，这种焦虑就会锐减。这时要明白一点：考试是很重要，但只是人生的一个重要瞬间，所谓胜败也只是这一瞬间的胜败，它的确会带给我们很多，但它远不能决定我们一生的成败。
二、填空题
13．已知复数z满足z(1－i)2＝1＋i(i为虚数单位)，则|z|＝________．
解析：因为z＝－ ＝ ，所以|z|＝ .
答案：
14．以下四个说法中，正确的是________(填序号)．
①双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝± x；
②命题p：∀x>0，x3>0，那么﹁p：∃x0>0，x ≤0；
若命题“p∨q”是真命题，则命题p，q至少有一个是真命题；
由“﹁p∧q”是假命题，可得﹁p与q至少有一个是假命题．
①若p为真命题，则﹁p为假命题，q可真可假，
此时实数a的取值范围为[2，＋∞)；
②若p为假命题，则q必为真命题，此时，“﹁p∧q”为真命题，不合题意．
综上，实数a的取值范围为[2，＋∞)．
3．(2019·郑州市第一次质量预测)设全集U＝R，集合A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|x＋1≥0}，则∁U(A∪B)＝( )
A．{x|x≤－3或x≥1}
B．{x|x<－1或x≥3}
C．{x|x≤3}
D．{x|x≤－3}
解析：选D．因为B＝{x|x≥－1}，A＝{x|－3<x<1}，所以A∪B＝{x|x>－3}，所以∁U(A∪B)＝{x|x≤－3}．故选D．
解析：命题p为真，则a≥2x(x∈[0，1])恒成立，
因为y＝2x在[0，1]上单调递增源自所以2x≤21＝2，故a≥2，即命题p为真时，实数a的取值集合为P＝{a|a≥2}．
若命题q为真，则方程x2＋4x＋a＝0有解，所以Δ＝42－4×1×a≥0，解得a≤4.
故命题q为真时，实数a的取值集合为Q＝{a|a≤4}．
10．(2019·福州模拟)给出下列命题：
①“x＝ ”是“tanx＝1”的充分不必要条件；
②定义在[a，b]上的偶函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b的最大值为30；
③命题“∃x0∈R，x0＋ ≥2”的否定是“∀x∈R，x＋ >2”．其中正确命题的个数为( )
A．0B．1
C．2D．3
解析：选C．由x＝ ，得tanx＝1，但由tanx＝1推不出x＝ ，所以“x＝ ”是“tanx＝1”的充分不必要条件，所以命题①是正确的；若定义在[a，b]上的函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b是偶函数，则 ，则 ，则f(x)＝x2＋5在[－5，5]上的最大值为30，所以命题②是正确的；命题“∃x0∈R，x0＋ ≥2”的否定是“∀x∈R，x＋ <2”，所以命题③是错误的．故正确命题的个数为2，故选C．
5．若i是虚数单位，则复数 的实部与虚部之积为( )
A．－ B．
C． iD．－ i
解析：选B．因为 ＝ ＝ ＋ i，所以其实部为 ，虚部为 ，实部与虚部之积为 .故选B．
6．已知(1＋i)·z＝ i(i是虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
11．已知命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋ ≤0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0)B．[0，4]
C．[4，＋∞)D．(0，4)
解析：选D．因为命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋ ≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R，4x2＋(a－2)x＋ ＞0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4× ＝a2－4a＜0，解得0＜a＜4，故选D．