广东省广州市铁一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

广东省广州市铁一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数
学试卷
一、单选题
1．已知空间的一组基{}
a b c r r r ,,，则可以与向量2a b c --r r r ，a b c ++r r r 构成空间的另一组基的向
量是（ ）
A ．22a b +r r
B ．2a b
-r r C ．3a c +r r D ．32b c +r
r
2．空间中一个静止的物体用三根绳子悬挂起来，已知三根绳子上的拉力大小分别为
1N,2N,3N ，且三根绳子中任意两根绳子的夹角均为60o ，则该物体的重力大小为（ ）
A ．
B ．
C ．5N
D ．6N
3．“4a =”是“直线()1:220l a x ay +++=和直线()()2:1210l a x a y -+--=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11AC 与11B D 的交点，若
1,,AB a AD b AA c ===u u u r u u u r u u u r r r r ，则BM u u u u r
等于（ ）
A ．1122
-+r r r a b c
B ．1122
++r r r a b c
C ．1122
--+r r r a b c
D ．1122
a b c -++r r r
5．已知点(2,1)A -，(3,)B m ，若1,m ⎡
⎤
∈⎢⎥⎣
⎦
，则直线AB 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．π5π,36⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．π5π0,,π36⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭
C ．π2π0,,π63⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭
D ．ππ5π,,π326⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
6．如图所示，四面体ABCD 的体积为V ，点M 为棱BC 的中点，点,E F 分别为线段DM 的
三等分点，点N 为线段AF 的中点，过点N 的平面α与棱,,AB AC AD 分别交于,,O P Q ，设四面体AOPQ 的体积为V '，则
V V
'
的最小值为（ ）
A ．14
B ．18
C ．
116
D ．
127
7．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1BD ，11B C 的中点，点P 在正方体表面上运动，且满足MP CN ⊥，点P 轨迹的长度是（ ）．
A ．(2a
B ．(
3a
C ．(3a
D ．4a
8．如图所示，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面π
,2
BCD BCD ∠=
，222BC AB CD ===，点P 为棱AC 的中点，,E F 分别为直线,DP AB 上的动点，则线段EF 的最小值为（ ）
A ．
4
B C D
二、多选题
9．已知(1,21,1)a λμ+-r =，(6,0,)b λr =.若a b r r
∥，则λ与μ的值可以是（ ） A ．12,2
λμ==
B ．13,2
λμ=-=
C ．3,2λμ=-=
D ．1
,22
λμ==
10．已知向量()1,1,0a =r ，()0,1,1b =r ，()1,2,1c =r
，则下列结论正确的是（ ）
A ．向量a r 与向量b r 的夹角为π
3
B ．()
c a b ⊥-r r r
C ．向量a r 在向量b r 上的投影向量为11,0,22⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．向量c r 与向量a r ，b r
共面
11．在棱台1111ABCD A B C D -中，底面1111,ABCD A B C D 分别是边长为4和2的正方形，侧面
11CDD C 和侧面11BCC B 均为直角梯形，且113,CC CC =⊥平面ABCD ，点P 为棱台表面上的一
动点，且满足112PD PC =，则下列说法正确的是（ ）
A ．二面角1D AD
B --B ．棱台的体积为26
C ．若点P 在侧面11DCC
D 内运动，则四棱锥11P A BCD -
D ．点P
三、填空题
12．已知(2,),(,4)P m Q m -，且直线PQ 与直线:20+-=l x y 垂直，则实数m 的值为． 13．长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AA AD ===，点P 是线段1BD 上异于1,B D 的动点，
记
1(0)D P t t PB =>．当APC ∠为钝角时，实数t 的取值范围是；当点P 到直线AD 时，t 的值为．
14．如图，点O 是棱长为2的正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过点O 的直线交棱,AC BC 于点,,M N S 是棱PC 上的点，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交下点R ，则111
PQ PR PS
++=u u u r u u u r u u u r ．
四、解答题
15．已知直线1l ：0x ay a +-=和直线2l ：()2320ax a y a --+-=. (1)若12l l //，求实数a 的值；
(2)若直线2l 在两坐标轴上的截距相等，求直线2l 方程.
16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中底面为正三角形，1114,2,120AA AB A AB A AC ==∠=∠=︒．
(1)证明：1AA BC ⊥；
(2)求异面直线1BC 与1AC 所成角的余弦值．
17．已知ABC V 的顶点(4,1)A ，边AB 上的高线CH 所在的直线方程为10x y +-=，边AC 上的中线BM 所在的直线方程为310x y --=． (1)求点B 的坐标； (2)求直线BC 的方程．
18．如图，在多面体ABCDEF 中，侧面BCDF 为菱形，侧面ACDE 为直角梯形，//,,AC DE AC CD N ⊥为AB 的中点，点M 为线段DF 上一动点，且
2,120BC AC DE DCB ==∠=︒．
(1)若点M为线段DF的中点，证明：//
MN平面ACDE；
(2)若平面BCDF⊥平面ACDE，且2
DE=，问：线段DF上是否存在点M，使得直线MN与
平面ABF所成角的正弦值为
3
10
?若存在，求出
DM
DF
的值；若不存在，请说明理由．
19．已知ΩABCD，设Ω的四个顶点到平面α的距离所构成的集合为M，若M中元素的个数为k，则称α为Ω的k阶等距平面，M为Ω的k阶等距集.
(1)若α为Ω的1阶等距平面且1阶等距集为{}a，求a的所有可能值以及相应的α的个数；
(2)已知β为Ω的4阶等距平面，且点A与点,,
B C D分别位于β的两侧.若Ω的4阶等距集为{}
,2,3,4
b b b b，其中点A到β的距离为b，求平面BCD与β夹角的余弦值.。