高中数学 第一章 三角函数 1 周期现象 2 角的概念的推广课件高一必修4数学课件

跟踪训练2 (1)判断(pànduàn)下列角所在的象限，并指出其在0°～360°范围内终边相 同的角. ①549°；
解 ∵549°＝189°＋360°， ∴549°角为第三(dìsān)象限的角，与189°角终边相同.
②－60°；
解 ∵－60°＝300°－360°， ∴－60°角为第四象限(xiàngxiàn)的角，与300°角终边相同.
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解答
(2)最小的正角(zhènɡ ； jiǎo) 解 由0°＜k·360°＋10 030°＜360°， 得－10 030°＜k·360°＜－9 670°，解得k＝－27， 故所求的最小正角(zhènɡ jiǎo)为β＝310°.
(3)[360°，720°)的角. 解 由360°≤k·360°＋10 030°＜720°， 得－9 670°≤k·360°＜－9 310°，解得k＝－26， 故所求的角为β＝670°.
例2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们(tā 是 men) 第几象限角. (1)－150°； 解 因为－150°＝－360°＋210°， 所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三(dìsān)象
限角.
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梳理 在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.
象限角：
在第几象限就是(jiùshì)第几象限角；
轴线角： 终边落在坐标轴上的角.
终边
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知识点四 终边相同(xiānɡ tónɡ)的角
思考1 假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么
零角 一条射线没有作任何旋转 ，称它形成了一个零角
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知识点三 象限(xiàngxiàn)角
思考 把角的顶点(dǐngdiǎn)放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半 轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？
答案(dáàn) 终边可能落在坐标轴上或四个象限内.
关系，它们与60°分别相差(xiānɡ chà)多少？
答案 它们(tā men)的终边相同.－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°， 故它们与60°分别相隔了2个周角和1个周角. 思考2 如何表示与60°终边相同的角？ 答案 60°＋k·360°(k∈Z).
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3 3x
上的角的集合是
S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}.
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解答
达标 检测 (dá biāo)
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1.下列是周期现象的为
①闰年每四年一次；
②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；
③某超市每天的营业额；
④某地每年(měinián)6月份的平均降雨量.
提示 答案
题型探究(tànjiū)
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类型一 周期(zhōuqī)现象的应用
例1 水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设(jiǎshè)水车5分钟转一 圈，计算1小时内最多盛水多少升？ 解 因为(yīn wèi)1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈， 所以1小时内水车转12圈. 又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升， 所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)， 所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升).
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解答
反思与感悟 求适合某种条件(tiáojiàn)且与已知角终边相同的角，其方法是先求出 与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件(tiáojiàn)构建不等式求出k的值.
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跟踪训练3 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合(shìhé)不 等式－720°≤β＜360°的元素β写出来.
上的角的集合是
S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，
k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，
即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝ 30°＋n·180°，n∈Z}.
故终边在直线 12/12/2021
y＝
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解答
反思与感悟 判断(pànduàn)象限角的步骤 (1)当0°≤α<360°时，直接写出结果. (2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)，转化为判 断角β所属的象限.
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命题角度1 求与已知角终边相同的角 例3 在与角10 030°终边相同的角中，求满足(mǎnzú)下列条件的角. (1)最大的负角；
解 与10 030°终边相同(xiānɡ tónɡ)的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z). 由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°， 得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28， 故所求的最大负角为β＝－50°.
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跟踪训练 4 写出终边在直线 y＝ 33x 上的角的集合. 解 终边在 y＝ 33x(x≥0)上的角的集合是 S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；
终边在 y＝ 33x(x<0)上的角的集合是 S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}.
因此，终边在直线
y＝
3 3x
解答
(2)650°； 解 因为650°＝360°＋290°， 所以在0°～360°范围(fànwéi)内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限 角.
(3)－950°15′. 解 因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′， 所以(suǒyǐ)在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角， 它是第二象限角.
终边在 y＝－ 3x(x≥0)上的角的集合是 S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}.
因此，终边在直线 y＝－ 3x 上的角的集合是 S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°， k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，
即 S ＝ {α|α ＝ 120° ＋ 2k·180° ， k∈Z}∪{α|α ＝ 120° ＋ (2k ＋ 1)·180° ， k∈Z} ＝ {α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}.
③－503°36′.
解 ∵－503°36′＝216°24′－2×360°，
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∴－503°36′角为第三象限的角，与216°24′角终边相同.
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解答
(2)若 α 是第二象限角，试确定 2α，α2是第几象限角.
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解答
类型(lèixíng)三 终边相同的角
解 由终边相同(xiānɡ tónɡ)的角的表示知，
与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}. ∵－720°≤β＜360°， 即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，
∴33116≤k＜63116(k∈Z)，故取 k＝4，5，6.
当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；
第十一页，共三十九页。
梳理 终边相同角的表示
一般地，所有(suǒyǒu)与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α ＋k×360°，k∈Z}，
即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与
的整周数角倍(zhō的ujiǎ和o) .
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第十二页，共三十九页。
[思考辨析 判断正误]
A.①②④
B.③④
C.①②
√
D.①②③
解析 ①②是周期现象；
③中每天的营业额是随机(suíjī)的，不是周期现象；
④中每年6月份的平均降雨量也是随机的，不是周期现象.
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第一章 三角函数(sānjiǎhánshù)
§1 周期现象(xiànxiàng) §2 角的概念的推广
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学习(xuéxí)目标
1.了解现实生活中的周期现象. 2.了解任意角的概念，理解象限角的概念. 3.掌握终边相同的角的含义及其表示.
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第二页，共三十九页。
故终边在直线 12/12/2021 y＝－ 3x 上的角的集合是 S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}.
第二十九页，共三十九页。
解答
反思与感悟 求终边在给定直线上的角的集合，常用(chánɡ yònɡ)分类讨论的思想， 即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并.
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思考1 将射线OA绕着点O旋转到OB位置(wèi zhi)，有几种旋转方向？ 答案(dáàn) 有顺时针和逆时针两种旋转方向. 思考2 如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？ 答案 不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角. 若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角.
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1.终边与始边重合的角是零角.( )× 提示 终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z).
2.小于90°的角是锐角.( ×) 提示 锐角是指大于0°且小于90°的角.
3.钝角是第二(dìèr)象限角.( √ )
4.第二象限角是钝角.( )
×
提示 第二象限角不一定是钝角.
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第十三页，共三十九页。
第七页，共三十九页。
梳理 (1)角的概念：角可以看成平面内
一条绕(y着ī tiáo)射线 从一端个点位(duā置n diǎ_n)____到另
一旋个转位置所形成(xíngchéng)的图形.
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：
类型
定义
图示
正角
按 逆时针方向旋转 形成的角
负角
按 顺时针方向旋转 形成的角
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第十五页，共三十九页。
解答
反思与感悟 (1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以(kěyǐ)达到“化繁为简”、 “化无限为有限”的目的. (2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期
内来解决.
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跟踪训练1 利用例1中的水车盛800升的水，至少(zhìshǎo)需要多少时间？
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第五页，共三十九页。
梳理 (1)以相同(xiānɡ tónɡ)间隔重复出现的现象叫作周期现象.
(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会
出
现，若重出复现(ch，óngf则ù) 为周期现象；否则，不是周期现象.
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第六页，共三十九页。
知识点二 角的相关(xiāngguān)概念
内容索引
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问题(wèntí)导 学
题型探究
(tànjiū)
达标(dábiāo) 检测
第三页，共三十九页。
问题 导学 (wèntí)
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第四页，共三十九页。
知识点一 周期(zhōuqī)现象
思考 “钟表(zhōngbiǎo)上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周， 秒针每经过1分钟运行一周.”这样的现象，具有怎样的属性？ 答案 周而复始，重复(chóngfù)出现.
解 设x分钟后盛水y升，
由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，
所以y＝ ·x160＝32x，为使水车盛800升的水， 5
则有32x≥800，所以x≥25，
即水车盛800升的水至少(zhìshǎo)需要25分钟.
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第十七页，共三十九页。
解答
类型(lèixíng)二 象限角的判定
当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；
当k12＝/12/2602时1 ，β＝6×360°－1 910°＝250°.
第二十八页，共三十九页。
解答
命题(mìng tí)角度2 求终边在给定3x 上的角的集合.
解 终边在 y＝－ 3x(x<0)上的角的集合是 S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；