2014实战演练数学答案

2014实战演练·高三数学参考答案与解析
南京市、盐城市2013届高三第一次模拟考试
1. {0，2} 解析：本题主要考查集合的基本概念、运算等基础知识，属于容易题．
2. －3＋4i 解析：(1－2i)2＝1－4i ＋(2i)2＝－3－4i ，共轭复数为－3＋4i. 本题主要考查复数的基本概念和运算、共轭复数等基础知识，属于容易题．
3. 45 解析：这组数据的平均数为9，s 2＝1
5[(8－9)2＋(9－9)2＋(10－9)2＋(10－9)2＋(8－9)2]＝45
.
本题主要考查统计中方差的计算，属于容易题． 4. 2
3
解析：记两个红球为A 1、A 2，两个白球为B 1、B 2，那么取出的两个球为A 1A 2、A 1B 1、A 1B 2、A 2B 1、A 2B 2、B 1B 2，共6种情况，其中两球颜色不同的有4种情况，所求概率为46＝23
. 本题主要考查古典概型，属于容易题．
5. 27 解析：由a 3＋a 5＋a 7＝9，得a 5＝3，S 9＝a 1＋a 9
2
×9＝a 5×9＝27.
本题主要考查等差数列的概念和性质、前n 项和公式等简单的计算，属于容易题． 6. 26 解析：画出可行区域，得到最优解是直线3x －y －6＝0与直线x －y ＋2＝0的交点(4，6)，代入目标函数得最大值为26.
本题考查线性规划问题，涉及到求直线交点，考查灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于容易题．
7. 3 解析：s ＝6＋5＋4＝15，n －1＝3.
本题主要考查算法流程图的基础知识，属于容易题．
8. π6 解析：f(x)＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋2φ－π3，因为函数f(x)为奇函数，故2φ－π3＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π2＋π6.当k ＝0时，φ取最小正值π
6
.
本题主要考查函数图象的移动、三角函数的性质——奇偶性及周期性，属于中等题． 9. ①③④ 解析：本题主要考查空间线线、线面、面面之间的位置关系，属于中等题．
10. 2
3
解析：由9cos2A －4cos2B ＝5，得9(1－2sin 2A)＝5＋4(1－2sin 2B)，得9sin 2A ＝
4sin 2B ，即3sinA ＝2sinB.由正弦定理得BC AC ＝sinA sinB ＝2
3
.
本题主要考查三角形中的正弦定理及三角公式的灵活使用等基础知识，属于中等题．
11. －43 解析：(解法1)由已知AD →＝DC →，则D 为AC 中点，BD →＝12
(BC →－AB →)，AC →＝BC
→＋AB →.BD →·AC →
＝－12即12(BC →－AB →)·(BC →＋AB →)＝－12，故AB 2－BC 2＝1.又BC ＝2，所以AB ＝
AC ＝5，cosA ＝5＋5－42×5
＝35，所以CE →·AB →＝(AE →－AC →)·AB →＝⎝⎛⎭⎫13AB →－AC →·AB →＝－AC →·AB
→
＋13AB →2＝53－5×35＝－43
. (解法2)取BC 中点为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则B(－1，0)、
C(1，0)．设A(0，m)，由AD →＝DC →，得D ⎝⎛⎭⎫12，m 2，BD →＝⎝⎛⎭
⎫32，m 2，AC →＝(1，－m)．由BD →·AC →＝－12，得32－m 2
2＝－12
，解得m ＝2.这样E ⎝⎛⎭⎫－13，43，则CE →＝⎝⎛⎭⎫－43，43，AB →
＝(－1，－2)，所
以CE →·AB →
＝－43
.
本题考查向量的有关概念、向量的数量积等运算能力及灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于中等题．
12. [0，22＋2]
解析：PF 1＋PF 2＝42，|PF 1－PF 2|PF 1＝⎪⎪⎪
⎪
2－42PF 1，
a －c ≤PF 1≤a ＋c ，a ＝22，c ＝2，
－2－22≤2－42
PF 1≤22－2，|PF 1－PF 2|PF 1
∈[0，2＋22]．
本题考查椭圆的有关概念及性质、函数的单调性及绝对值等基础知识及灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于中等题．
13. －1 解析：设f(y)＝lny －y 2＋ln e 22，则f′(y)＝1y －12＝2－y
2y
.当y ∈(0，2)时，f ′(y)>0；
当y ∈(2，＋∞)时，f ′(y)<0，所以y ＝2时，f(y)取最大值1，所以f(y)＝lny －y 2＋ln e 2
2
≤1；
又由基本不等式得⎣⎢⎡⎦⎥⎤4cos 2（xy ）＋14cos 2（xy ）≥2，当且仅当4cos 2
(xy)＝14cos 2（xy ）时取等号，即cos 2(xy)＝14
，
所以log 2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
4cos 2（xy ）＋14cos 2
（xy ）≥1， 所以log 2[4cos 2
(xy)＋14cos 2（xy ）
]＝lny －y 2＋ln e 2
2成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，cos 2（xy ）＝14，
所以cos4x ＝－12，ycos4x ＝－1. 本题考查函数、三角、基本不等式等基础知识，考查函数与方程、不等式的思想，考查灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于难题．
14. ⎣⎡⎭
⎫－41
25，－1 解析：在直角坐标系中分别画出函数f(x)在区间[0，2]， [2，4]，[4，6]上的三个半圆的图象，最大根为t 一定在区间
(3，4)内，g(t)＝25
24
t 2－6t ＋7是二次函数，对称轴方程为
4＞t ＝7225＞3，g(t)的最小值为g ⎝⎛⎭⎫7225＝－41
25
， 直线y ＝kx(k ＞0)与区间[2，4]上半圆相交，与区间[4，6]上半圆相离，故124<k 2<1
8
，而k 2
＝1
24
时，直线与半圆相切， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝1－（x －3）2
，
得(1＋k 2)x 2－6x ＋8＝0，
取k 2＝124，得25
24
x 2－6x ＋7＝－1，t<x ，
所以g(t)＝25
24
t 2－6t ＋7＜－1.
本题考查分段函数、函数的周期、直线方程等知识，考查函数与方程、数形结合及转化的思想，考查灵活运用有关基础知识解决问题的能力，属于难题．
15. 证明：(1) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1是直三棱柱， 所以A 1B 1∥AB.(3分)
而A 1B 1平面ABD ，AB 平面ABD ， 所以直线A 1B 1∥平面ABD.(6分)
(2) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1是直三棱柱， 所以BB 1⊥平面ABC. 因为AB 平面ABC ， 所以AB ⊥BB 1.(8分)
因为AB ⊥BC ，BB 1平面BB 1C 1C ，BC 平面BB 1C 1C ，且BB 1∩BC ＝B ， 所以AB ⊥平面BB 1C 1C.(11分) 又AB 平面ABD ，
所以平面ABD ⊥平面BB 1C 1C.(14分) 16. 解：(1) 因为cos ⎝
⎛
⎭⎪⎫A ＋π6＝sinA ，
即cosAcos π6－sinAsin π
6＝sinA ，
所以32cosA ＝3
2sinA.(4分)
显然cosA ≠0，
否则，由cosA ＝0，得sinA ＝0，与sin 2A ＋cos 2A ＝1矛盾，
所以tanA ＝3
3
.
因为0＜A ＜π，
所以A ＝π
6
.(7分)
(2) 因为cosA ＝1
4
，4b ＝c ，
根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝15b 2， 所以a ＝15b.(10分)
因为cosA ＝1
4
，
所以sinA ＝1－cos 2A ＝15
4
.
由正弦定理，得15b sinA ＝b
sinB ，
所以sinB ＝1
4
.(14分)
17. 解：(1) C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时，即未安装太阳能供电设备时该企业每年消耗的电费．(2分)
由C(0)＝k
100
＝24，得k ＝2 400.(4分)
因此F ＝15×k 20x ＋100＋0.5x ＝1 800
x ＋5
＋0.5x ，x ≥0.(7分)
(2) 由(1)知，F ＝1 800x ＋5＋0.5x ＝1 800
x ＋5
＋0.5(x ＋5)－2.5
≥2
1 800x ＋5
·0.5（x ＋5）－2.5 ＝57.5.(10分)
当且仅当1 800
x ＋5＝0.5(x ＋5)＞0，即x ＝55时取等号．
所以当x 为55时，F 取得最小值为57.5万元．(14分) (说明：第(2)题用导数求最值的，相应给分)
18. 解：(1) 由e ＝223，得c 2a 2＝a 2－b 2
a 2＝8
9，即a 2＝9b 2，
故椭圆的方程为x 29b 2＋y
2b
2＝1.(3分)
又椭圆过点M(32，2)，
所以189b 2＋2
b
2＝1，解得b 2＝4.
所以椭圆C 的方程为x 236＋y 2
4
＝1.(5分)
(2) ① 记△MAF 2的外接圆的圆心为T.
因为直线OM 的斜率k OM ＝1
3
，
所以线段MA 的中垂线方程为y ＝－3x.
又由M(32，2)、F 2(42，0)，得线段MF 2的中点为N ⎝⎛⎭⎫
722
，22. 而直线MF 2的斜率kMF 2＝－1，
所以线段MF 2的中垂线方程为y ＝x －3 2.
由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ，y ＝x －32，解得T ⎝⎛⎭⎫
324，－
924.(8分) 从而圆T 的半径为⎝
⎛⎭⎫42－3242
＋⎝⎛⎭⎫0＋9242
＝55
2，
故△MAF 2的外接圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －3242＋⎝⎛⎭⎫y ＋9242＝1254.(10分)
(说明：该圆的一般式方程为x 2＋y 2－
322x ＋92
2
y －20＝0.) ② 设直线MA 的斜率为k ，A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)．
由题意知，直线MA 与MB 的斜率互为相反数，故直线MB 的斜率为－k. 直线MA 的方程为y －2＝k(x －32)， 即y ＝kx ＋2－32k.
由方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－32k ，x 236＋y 24＝1，
消去y ，整理得
(9k 2＋1)x 2＋182k(1－3k)x ＋162k 2－108k －18＝0.(*) 由题意知，方程(*)有两解32，x 1， 所以x 1＝182k （3k －1）9k 2＋1－32＝182（3k 2－k ）
9k 2＋1－3 2.
同理可得x 2＝182（3k 2＋k ）
9k 2＋1－3 2.(13分)
因此x 2－x 1＝362k 9k 2＋1，x 2＋x 1＝1082k 2
9k 2＋1－6 2.
又y 2－y 1＝－kx 2＋2＋32k －(kx 1＋2－32k)
＝－k(x 2＋x 1)＋62k
＝－1082k 3
9k 2＋1＋122k
＝
122k
9k 2＋1
， 所以直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1
＝122k 9k 2
＋1362k 9k 2＋1＝1
3，为定值．(16分)
19. 解：(1) 因为函数f(x)＝x －1在区间[－2，1]上单调递增， 所以当x ∈[－2，1]时，f(x)的取值范围为[－3，0]．(2分) 而[－3，0][－2，1]，
所以f(x)在区间[－2，1]上不是封闭的．(4分) (2) 因为g(x)＝3x ＋a x ＋1＝3＋a －3
x ＋1
.
① 当a ＝3时，函数g(x)＝3，显然{3}[3，10]，故a ＝3满足题意； ② 当a ＞3时，在区间[3，10]上，函数g(x)单调递减，此时g(x)的取值范围为⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
30＋a 11，9＋a 4.
由⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤
30＋a 11，9＋a 4[3，10]，得⎩⎪⎨⎪⎧30＋a 11≥3，
9＋a 4≤10，
解得3≤a ≤31，故3＜a ≤31；(7分)
③ 当a ＜3时，在区间[3，10]上，有g(x)＝3＋a －3
x ＋1
＜3，不合题意．
综上所述，实数a 的取值范围是区间[3，31]．(9分) (3) 因为h(x)＝x 3－3x ，
所以h′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)．
因为当x ＜－1或x ＞1时，h ′(x)＞0；当x ＝－1或1时， h ′(x)＝0；当－1＜x ＜1时，h ′(x)＜0，
所以h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，在区间[－1，1]上单调递减，在区间[1，＋∞)上单调递增．
从而h(x)在x ＝－1处取得极大值2，在x ＝1处取得极小值－2.(11分) 解法1：
① 当a ＜b ≤－1时，因为h(x)在区间[a ，b]上单调递增，
所以⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝a 3
－3a ≥a ，h （b ）＝b 3
－3b ≤b ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＋2）（a －2）≥0，b （b ＋2）（b －2）≤0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤0或a ≥2，b ≤－2或0≤b ≤2， 此时无解．
② 当a ≤－1＜b ≤1时，因为h(－1)＝2＞b ，与“h(x)在区间[a ，b]上封闭”矛盾，即此
时无解．
③ 当a ≤－1且b ＞1时， 因为h(－1)＝2，h(1)＝－2，
故⎩⎨⎧a ≤－2，b ≥2.
由⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝a 3
－3a ≥a ，h （b ）＝b 3
－3b ≤b ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤0或a ≥2，b ≤－2或0≤b ≤2， 从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.
④ 当－1≤a ＜b ≤1时，h(x)在区间[a ，b]上单调递减，
所以⎩⎪⎨⎪⎧h （b ）＝b 3－3b ≥a ，h （a ）＝a 3
－3a ≤b.
(*) 又a 、b ∈Z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，
b ＝1.
分别代入(*)检验，均不合要求，即此时无解．
⑤ 当－1≤a ≤1且b ≥1时，因为h(1)＝－2＜a ，与“h(x)在区间[a ，b]上封闭”矛盾，即此时无解．
⑥ 当1≤a ＜b 时，因为h(x)在区间[a ，b]上递增，
所以⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝a 3
－3a ≥a ，h （b ）＝b 3
－3b ≤b ，
即⎩
⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤0或a ≥2，b ≤－2或0≤b ≤2， 此时无解．
综上所述，a ＝－2，b ＝2.(16分) 解法2：
由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝a 3
－3a ≥a ，
h （b ）＝b 3
－3b ≤b ，
即⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＋2）（a －2）≥0，b （b ＋2）（b －2）≤0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤0或a ≥2，b ≤－2或0≤b ≤2.
因为a ＜b ，
所以－2≤a ≤0，0≤b ≤2.
又a 、b ∈Z ，故a 只可能取－2，－1，0，b 只可能取0，1，2. ① 当a ＝－2时，因为b ＞0，故由h(－1)＝2，得b ≥2. 因此b ＝2.
经检验，a ＝－2，b ＝2满足题意．
② 当a ＝－1时，由于h(－1)＝2，故b ＝2，此时h(1)＝－2，不满足题意． ③ 当a ＝0时，显然不满足题意． 综上所述，a ＝－2，b ＝2.(16分) 20. (1) 解：因为{a n }是等差数列，
所以a n ＝(6－12t)＋6(n －1)＝6n －12t(n ∈N *)．(2分) 因为数列{b n }的前n 项和为S n ＝3n －t ，
所以当n ≥2时，b n ＝(3n －t)－(3n －1－t)＝2×3n －
1.
又b 1＝S 1＝3－t ，故b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－t ，n ＝1，
2×3n －1
，n ≥2.
(4分) (2) 证明：因为{b n }是等比数列，
所以3－t ＝2×31－
1，解得t ＝1.
从而a n ＝6n －12，b n ＝2×3n －
1(n ∈N *)． 对任意的n ∈N *，
由于b n ＋1＝2×3n ＝6×3n －1＝6(3n －
1＋2)－12，
令c n ＝3n －1＋2∈N *，则ac n ＝6(3n －
1＋2)－12＝b n ＋1， 所以命题成立．(7分)
从而数列{c n }的前n 项和T n ＝2n ＋1－3n 1－3＝12
×3n ＋2n －1
2.(9分)
(3) 解：由题意得d n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧6（3－t ）（1－2t ），n ＝1，
4（n －2t ）·3n
，n ≥2. 当n ≥2时，d n ＋1－d n ＝4(n ＋1－2t)·3n ＋1－4(n －2t)·3n ＝8⎣⎡⎦⎤n －⎝
⎛⎭⎫2t －32·3n . ① 若2t －32＜2，即t ＜7
4
时，d n ＋1＞d n .
由题意得d 1≤d 2，即6(3－t)(1－2t)≤36(2－2t)，
解得－5－974≤t ≤－5＋974.
因为－5＋974＜7
4，
所以t ∈⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤－5－97
4≤t ≤
－5＋974.(12分) ② 若2≤2t －3
2
＜3，
即74≤t ＜9
4
时，d n ＋1＞d n (n ∈N ，n ≥3)． 由题意得d 2＝d 3，即4(2t －2)×32＝4(2t －3)×33，
解得t ＝7
4
.
③ 若m ≤2t －3
2
＜m ＋1(m ∈N ，m ≥3)，
即m 2＋34≤t ＜m 2＋5
4
(m ∈N ，m ≥3)时， d n ＋1≤d n (n ∈N ，2≤n ≤m)；d n ＋1≥d n (n ∈N ，n ≥m ＋1)． 由题意得d m ＝d m ＋1，即4(2t －m)×3m
＝4(2t －m －1)×3
m ＋1
，解得t ＝2m ＋3
4
.
综上所述，t 的取值范围是{t|－5－974≤t ≤－5＋974或t ＝2m ＋3
4，m ∈N ，m ≥2}．(16
分)
南通市2013届高三第一次调研测试
1. (－∞，－1] 解析：∵ A ＝{x|x>－1}，U ＝R ，∴ ∁U A ＝(－∞，－1]．
2. 三 解析：z ＝3－2i i ＝（3－2i ）（－i ）
i （－i ）＝－2－3i.本题考查复数的基本概念及运算、
复数的几何意义等基础知识，属于容易题．
3. 48 解析：正四棱锥的斜高为
32＋（7）2＝4，故S 侧＝1
2
×(6×4)×4＝48.
4. 1
4 解析：由已知，f(x)是以2为周期的周期函数，故f(2 013)＝f(2×1 007－1)＝ f(－1)＝4－
1＝14
.本题考查函数关系与函数的性质等基础知识，属于容易题．
5. 否命题 解析：命题p 与q 符合互为否命题的关系．
6. x 25－y 220＝1 解析：圆心(5，0)，也是双曲线的焦点，即c ＝5.又e ＝c
a
＝5，则a ＝5，b ＝25，故该双曲线的标准方程为x 25－y
220
＝1.本题考查圆的方程、圆锥曲线的方程和几何性
质等基础知识，属于容易题．
7. ±42 解析：由已知得⎩
⎪⎨⎪⎧9a 5＝－36，13a 7＝－104，即⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝－4，
a 7＝－8，故a 5与a 7的等比中项为±a 5a 7＝
±4 2.
8. 3
8
解析：由流程图知，当输入x 时，各次循环输出的结果分别是2x ＋1，2(2x ＋1)＋1＝4x ＋3，2(4x ＋3)＋1＝8x ＋7，此时退出循环．由⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋7≥55，
1≤x ≤9，
解得6≤x ≤9，故输出的x
不小于55的概率为P ＝9－69－1＝3
8
.
9. 12 解析：∵ |AB →＋AC →|＝|BC →|，|AB →＋AC →|＝|AC →－AB →|，∴ |AB →＋AC →|2＝|AC →－AB →|2，即|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →＝|AB →|2＋|AC →|2－2AB →·AC →，即AB →·AC →＝0，∴ AB →⊥AC →，即AB ⊥AC.
又AB ＝1，AC ＝3，∴ BC ＝AB 2＋AC 2＝2，cosB ＝12，∴ BA →·BC →＝|BA →||BC →
|cosB ＝1×2×
12
＝1，故BA →·BC →|BC →
|
＝1
2.
10. －2 解析：因为
0＜a ＜1，所以原不等式等价于⎩⎪⎨⎪
⎧2x －y ＋1>0，3y －x ＋2>0，2x －y ＋1<3y －x ＋2，
即
⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，3y －x ＋2>0，3x －4y －1<0.
画出可行域(如图)，
考查z ＝x ＋y 的取值范围，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，
3y －x ＋2＝0，
得解为(－1，－1)，从而z>－1－1＝－2，故满足λ＜x ＋y 的λ的最大值为－2.本题主要考查线性规划知识、等价转化及数形结合等数学思想，属于中等题．
11. y ＝ex －12 解析：由已知得f(0)＝f′（1）e ，∴ f(x)＝f′（1）e e x －f′（1）e x ＋1
2x 2，∴ f ′
(x)＝f′（1）e e x －f′（1）
e
＋x ，
∴ f ′(1)＝f′（1）e e －f′（1）e ＋1，即f′(1)＝e ，从而f(x)＝e x －x ＋12
x 2，f ′(x)＝e x －1＋x ，
∴ f(1)＝e －12，f ′(1)＝e ，故切线方程为y －⎝⎛⎭⎫e －12＝e(x －1)，即y ＝ex －1
2
.本题主要考查导数的计算、导数的几何意义，考查等价转化、函数与方程等数学思想，属于中等题．
12. －1.5 解析：因简谐振动的物体的位移s 与时间t 之间的函数关系为s ＝Asin (ωt ＋φ)，且由题意，A ＝3，2πω＝3，所以ω＝2π3，s ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2π3t ＋φ.又当t ＝0时，s ＝3，所以3＝3sin
φ，即sin φ＝1，φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，所以s ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2π3
t ＋π2＝3cos 2π3t.故当t ＝5时，s ＝3cos
10π3＝－32
.
13. (－1，0)∪(0，2) 解析：由题意，圆心C(－1，0)，点P(x 0，2x 0)．因为PA ＝PB ，所以CP ⊥AB ，从而有k CP k AB ＝－1，所以2x 0
x 0＋1·a ＝－1，即a ＝－x 0＋12x 0.又把y ＝ax ＋3代入
x 2＋y 2＋2x －8＝0，得(a 2＋1)x 2＋(6a ＋2)x ＋1＝0，则有Δ＝(6a ＋2)2－4(a 2＋1)＝8a(4a ＋3)>0，解得a>0或a<－34，所以－x 0＋12x 0＞0或－x 0＋12x 0<－3
4
.由此解得－1<x 0<0或0<x 0<2.本题主要考
查直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系及不等式的有关知识及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力，属于难题．
14. (2，3) 解析：∵ m ＝3x ＋y －5x －1＋x ＋3y －7y －2＝3（x －1）＋y －2x －1＋3（y －2）＋x －1
y －2＝
6＋y －2x －1＋x －1y －2，又x>3，y ＝x 2－1>2，∴ x －1>0，y －2>0，∴ y －2x －1＋x －1
y －2
≥2，当且仅当y －2
x －1＝x －1y －2时等号成立，即y ＝x ＋1，与y ＝x 2－1联立，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.故m 的最小值为8，此时点P(2，3)．本题主要考查函数的性质及基本不等式的运用，考查函数与方程、等价转化等数学思想，属于难题．
15. 证明：(1) 连结A 1B 和A 1C.因为E 、F 分别是侧面AA 1B 1B 和侧面AA 1C 1C 的对角线的交点，所以E 、F 分别是A 1B 和A 1C 的中点．所以EF ∥BC.(3分)
又BC 平面ABC ，EF 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC.(6分)
(2) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1为正三棱柱，所以A 1A ⊥平面ABC ，所以BC ⊥A 1A.故由EF ∥BC ，得EF ⊥A 1A.(8分)
又D 是棱BC 的中点，且△ABC 为正三角形，所以BC ⊥AD. 故由EF ∥BC ，得EF ⊥AD.(10分)
而A 1A ∩AD ＝A ，A 1A 、AD 平面A 1AD ， 所以EF ⊥平面A 1AD.(12分)
又EF 平面AEF ，故平面AEF ⊥平面A 1AD.(14分)
16. 解：(1) 因为tanC ＝sinA ＋sinB cosA ＋cosB ，即sinC cosC ＝sinA ＋sinB
cosA ＋cosB ，
所以sinCcosA ＋sinCcosB ＝cosCsinA ＋cosCsinB ，
得sin(C －A)＝sin(B －C)．(4分)
所以C －A ＝B －C ，或C －A ＝π－(B －C)(不成立)．
即2C ＝A ＋B ，得C ＝π
3
.(7分)
(2) 由C ＝π3，设A ＝π3＋α，B ＝π3－α，0＜A 、B ＜2π3，知－π3＜α＜π
3
.
因为a ＝2RsinA ＝sinA ，b ＝2RsinB ＝sinB ，(8分) 所以a 2
＋b 2
＝sin 2
A ＋sin 2
B ＝1－cos2A 2＋1－cos2B
2
＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝1＋1
2cos2α.(11分)
由－π3＜α＜π3，知－2π3＜2α＜2π3，－1
2＜cos2α≤1，
故34＜a 2＋b 2≤3
2
.(14分) 17. 解：(1) 由题意，AB ＝x ，BC ＝2－x. 因为x ＞2－x ，故1＜x ＜2.(2分) 设DP ＝y ，则PC ＝x －y.
因为△ADP ≌△CB′P ，故PA ＝PC ＝x －y. 由PA 2＝AD 2＋DP 2，得(x －y)2＝(2－x)2＋y 2
y ＝2⎝⎛⎭
⎫1－1
x ，1＜x ＜2.(5分) (2) 记△ADP 的面积为S 1，则
S 1＝⎝⎛⎭
⎫1－1
x (2－x)(6分) ＝3－⎝⎛⎭
⎫x ＋2
x ≤3－22， 当且仅当x ＝2∈(1，2)时，S 1取得最大值．(8分)
故当薄板长为 2 m ，宽为(2－2) m 时，节能效果最好．(9分) (3) 记凹多边形ACB′PD 的面积为S 2，则
S 2＝12x(2－x)＋⎝⎛⎭⎫1－1x (2－x)＝3－1
2⎝
⎛⎭⎫x 2＋4x ， 1＜x ＜2.(10分)
于是S 2′＝－12⎝⎛
⎭⎫2x －4x 2＝－x 3
＋2x 2
＝0
x ＝3
2.(11分)
关于x 的函数S 2在(1，32)上递增，在(3
2，2)上递减． 所以当x ＝3
2时，S 2取得最大值．(13分)
故当薄板长为32 m ，宽为(2－3
2) m 时，制冷效果最好．(14分) 18. (1) 解：令n ＝1，则a 1＝S 1＝1·（a 1－a 1）
2＝0.(3分)
(2) 证明：由S n ＝n （a n －a 1）2，即S n ＝na n
2
， ①
得S n ＋1＝（n ＋1）a n ＋1
2
. ②
②－①，得(n －1)a n ＋1＝na n . ③ 于是na n ＋2＝(n ＋1)a n ＋1. ④
③＋④，得na n ＋2＋na n ＝2na n ＋1，即a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1.(7分) 又a 1＝0，a 2＝1，a 2－a 1＝1，
所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列． 所以，a n ＝n －1.(9分)
(3) 解：假设存在正整数数组(p ，q)，使b 1、b p 、b q 成等比数列，则lgb 1、lgb p 、lgb q 成等
差数列，于是2p 3p ＝13＋q
3q .(11分)
所以q ＝3q ⎝⎛⎭⎫
2p 3p －13.(*)
易知(p ，q)＝(2，3)为方程(*)的一组解．(13分)
当p ≥3，且p ∈N *时，2（p ＋1）3p ＋1－2p 3p
＝2－4p 3p ＋1
＜0，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
2p 3p (p ≥3)为递减数列，于是2p 3p －13≤2×333－1
3
＜0，所以此时方程(*)无正整数解． 综上，存在唯一正整数数对(p ，q)＝(2，3)，使b 1、b p 、b q 成等比数列．(16分) 19. (1) 解：依题设c ＝1，且右焦点F′(1，0)．
所以，2a ＝EF ＋EF′＝（1＋1）2＋⎝⎛⎭
⎫2332
＋233＝23，b 2＝a 2－c 2＝2， 故所求的椭圆的标准方程为x 23＋y
22
＝1.(4分)
(2) 解：设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则
x 213＋y 212＝1，①x 2
23＋y 22
2
＝1.② ②－①，得（x 2－x 1）（x 2＋x 1）3＋（y 2－y 1）（y 2＋y 1）2＝0.
所以k 1＝y 2－y 1x 2－x 1＝－2（x 2＋x 1）3（y 2＋y 1）
＝－4x P 6y P ＝－2
3.(9分)
(3) 证明：依题设，k 1≠k 2.
设M(x M ，y M )，直线AB 的方程为y －1＝k 1(x －1)，即y ＝k 1x ＋(1－k 1)，亦即y ＝k 1x ＋
k 2，代入椭圆方程并化简得(2＋3k 21)x 2＋6k 1k 2x ＋3k 2
2－6＝0.
于是x M ＝－3k 1k 22＋3k 21，y M ＝2k 2
2＋3k 21
.(11分)
同理x N ＝－3k 1k 22＋3k 22，y N ＝2k 1
2＋3k 22
. 当k 1k 2≠0时，直线MN 的斜率k ＝y M －y N x M －x N ＝4＋6（k 2
2＋k 2k 1＋k 21）
－9k 2k 1（k 2＋k 1）＝10－6k 2k 1－9k 2k 1
.(13分)
直线MN 的方程为y －2k 2
2＋3k 21＝10－6k 2k 1－9k 2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －－3k 1k 22＋3k 21， 即y ＝10－6k 2k 1－9k 2k 1x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
10－6k 2k 1－9k 2k 1·3k 1k 22＋3k 21＋2k 22＋3k 21， 亦即y ＝10－6k 2k 1
－9k 2k 1
x －2
3.此时直线过定点⎝⎛⎭⎫0，－23.(15分) 当k 1k 2＝0时，直线MN 即为y 轴，此时亦过点⎝⎛⎭⎫0，－23. 综上，直线MN 恒过定点，且坐标为⎝
⎛⎭⎫0，－2
3.(16分) 20. 解：(1) 因为f(x)在(1，＋∞)上为减函数， 所以f′(x)＝
lnx －1
（lnx ）2
－a ≤0在(1，＋∞)上恒成立．(2分)
所以当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)max ≤0.
又f′(x)＝lnx －1
（lnx ）2
－a ＝－⎝⎛⎭⎫1lnx 2
＋1lnx －a ＝－⎝⎛⎭⎫1lnx －122
＋14－a ， 故当1lnx ＝12，即x ＝e 2时，f ′(x)max ＝1
4－a.
所以14－a ≤0，于是a ≥14，故a 的最小值为1
4
.(6分)
(2) 命题“若x 1、x 2∈[e ，e 2
]，使f(x 1)≤f′(x 2)＋a 成立”等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f(x)min ≤f ′(x)max ＋a ”．(7分)
由(1)，当x ∈[e ，e 2]时，f ′(x)max ＝1
4
－a ，
∴ f ′(x)max ＋a ＝1
4
.
问题等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f(x)min ≤1
4
”．(8分)
① 当a ≥1
4
时，由(1)，f(x)在[e ，e 2]上为减函数，
则f(x)min ＝f(e 2
)＝e 22－ae 2≤14，故a ≥12－14e
2.(10分)
② 当a ＜14时，由于f′(x)＝－⎝⎛⎭⎫1lnx －122＋14
－a 在[e ，e 2]上为增函数，
故f′(x)的值域为[f′(e)，f ′(e 2)]，即⎣
⎡⎦⎤－a ，1
4－a . (ⅰ) 若－a ≥0，即a ≤0，f ′(x)≥0在[e ，e 2]恒成立，故f(x)在[e ，e 2]上为增函数，
于是，f(x)min ＝f(e)＝e －ae ≥e ＞1
4，不合．(12分)
(ⅱ) 若－a ＜0，即0＜a ＜1
4
，由f′(x)的单调性和值域知存在唯一x 0∈(e ，e 2)，使f′(x 0)＝
0，且满足：
当x ∈(e ，x 0)时，f ′(x)＜0，f(x)为减函数；当x ∈(x 0，e 2)时，f ′(x)＞0，f(x)为增函数．
所以，f(x)min ＝f(x 0)＝
x 0lnx 0－ax 0≤1
4
，x 0∈(e ，e 2)． 所以，a ≥1lnx 0－14x 0＞1lne 2－14e ＞12－14＝14，与0＜a ＜1
4
矛盾，不合．(15分)
综上所述，实数a 的取值范围为a ≥12－1
4e 2.(16分)
苏州市2013届高三调研测试
1. {－1，2} 解析：根据交集的意义得A ∩B ＝{－1，2}．
2. 1 解析：由z(2＋i)＝1－2i ，得z ＝1－2i 2＋i ＝（1－2i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝0－5i
5＝－i ，故|z|＝1.
本题主要考查复数的基本概念及基本运算、复数的模等基础知识，属于容易题．
3. 2 解析：样本的平均数为x －＝1
5(8＋12＋10＋11＋9)＝10，所以s 2＝15
[(8－10)2＋(12
－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2
]＝2.
4. 2
5
解析：不妨设成等差数列的5个数为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d(d>0)，则这5个数的和为5a ＝15，即a ＝3，从而这5个数中小于3的数有2个，故从这5个数中随机抽取
一个数小于3的概率是2
5
.
5. 1
e
解析：设过坐标原点作函数y ＝lnx 图象的切线的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝lnx 0，切线的斜率为y′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y ＝1x 0x.又切线过切点(x 0，lnx 0)，所以lnx 0＝1
x 0
·x 0，解
得x 0＝e ，故切线斜率为1x 0＝1
e
.本题主要考查导数的计算、导数的几何意义与切线的求法，属
于容易题．
6. 3 解析：因为BB 1∥平面ADD 1，所以V 三棱锥A B 1D 1D ＝V 三棱锥B 1 AD 1D ＝
V 三棱锥B AD 1D ＝13S △ADD 1·AB ＝13×1
2
×3×2×3＝3.
7. 6.6 解析：由题意，从今年起到第五年的年产值构成首项为1.1，且公比也为1.1的等比数列，所以这个厂五年的总产值为S ＝1.1×（1－1.15）
1－1.1
＝11×(1.15－1)≈11×(1.6－1)＝
6.6.
本题主要考查等比数列的概念、等比数列的前n 项和等基础知识，属于容易题．
8. 2 解析：当输入m ＝6，n ＝4时，Int ⎝⎛⎭⎫m n ＝Int ⎝⎛⎭⎫64＝1，m n ＝64
，∴ Int ⎝⎛⎭⎫m n ≠m n ，进入循环体，使c ＝6－4×1＝2，m ＝4，n ＝2，此时Int ⎝⎛⎭⎫m n ＝2＝m
n
，退出循环，输出n 的值2. 9. 2 解析：将x ＝c 代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，得y ＝±b 2
a
，当△ABC 为直角三角形时，
有BF ＝AF ，∴ b
2a
＝a ＋c ，
∴ c 2－a 2
＝a 2＋ac ，即2a 2＋ac －c 2＝0，(a ＋c)(2a －c)＝0，
∴ 2a －c ＝0，故离心率e ＝c
a
＝2.
本题主要考查圆锥曲线的方程与几何性质，考查数形结合思想与方程思想，属于中等题．
10. ⎝⎛⎭⎫－∞，34 解析：f ⎝⎛⎭⎫12＝12⎪⎪⎪⎪12＋1＝34
，f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧x （x ＋1），x ≥－1，－x （x ＋1），x<－1，当x<－1时，
f(x)＝－x(x ＋1)＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14
≤f(－1)＝0，此时f(x)<f ⎝⎛⎭⎫12；当x ≥－1时，f ⎝⎛⎭⎫x －14＜f ⎝⎛⎭⎫12等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x （x ＋1）<34，解得－1≤x ≤12，所以不等式f(x)≤f ⎝⎛⎭⎫12的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，12，所以不等式f ⎝⎛⎭⎫x －14＜f ⎝⎛⎭⎫12等价于x －14<1
2
，故此不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，34.本题主要考查分段函数、二次函数的性质，解简单的不等式等基础知识，考查函数思想、等价转化思想．属于中
等题．
11.
17250 解析：因为θ为锐角，且sin (θ＋15°)＝45∈⎝⎛⎭
⎫22，3
2，所以θ＋15°∈(45°，60°)，2θ＋30°∈(90°，120°)，所以cos (2θ＋30°)＝1－2sin 2(θ＋15°)＝1－2×⎝⎛⎭⎫452＝
－725，从而sin (2θ＋30°)＝1－cos 2（2θ＋30°）＝24
25
，所以cos (2θ－15°)＝cos [(2θ＋30°)－45°]＝cos (2θ＋30°)cos45°＋sin (2θ＋30°)sin45°＝－725×22＋2425×22＝172
50
.
12. ⎣⎡⎦⎤3，559 解析：令z ＝2x 3＋y 3x 2y ＝2·x y ＋y 2x 2，y x ＝k ，则z ＝2k
＋k 2.因k 表示可行域内的点
与坐标原点连线的斜率，由不等式⎩⎨⎧2x －y ≥0，
x ＋y －4≥0，x ≤3
表示的平面区域(如图)知13≤k ≤2.利用导数求函数z ＝2
k ＋k 2，k ∈⎣⎡⎦⎤13，2的最值，由z 对k 求导，z ′＝－2k 2＋2k ＝2k 3－2k 2＝2（k －1）（k 2＋k ＋1）k
2
，令z′＝0得k ＝1，且当k ∈⎝⎛⎭⎫13，1时，z ′<0，当k ∈(1，2)时，z ′>0，所以当k ＝1时，z min ＝3.又当k ＝13时，z ＝55
9，当k ＝2
时，z ＝5，所以当k ＝13时，z max ＝55
9.故z ＝2x 3
＋y 3
x 2y
∈
⎣⎡⎦⎤3，559. 本题主要考查线性规划、导数的计算及应用导数求函数的最值．考查了数形结合、化归等数学思想方法．属于中等题．
13. 60° 解析：如图，已知圆的圆心为C(3，1)，半径为r ＝2，直线的倾斜角为
120°.因为k OC ·k AB ＝3
3
·(－3)＝－1，所以OC ⊥AB ，易知∠xOC ＝30°.由图象的对称
性知∠AOC ＝∠BOC ，即∠xOA －∠xOC ＝∠xOC －∠xOB ，所以∠xOA ＋∠xOB ＝2∠xOC ＝60°.本题主要考查直线方程、圆的方程和性质，考查了探索推理能力及数形结合思想，属于难题．
14. 1
2
解析：设a 与b 的夹角为θ，θ∈[0，π]．因为|a |＝1，(a ＋b )·(a －2b )＝0，所以
a 2－a·
b －2b 2＝0，即1－|b |cos θ－2|b |2＝0，所以cos θ＝1－2|b |2|b |，所以－1≤1－2|b |
2
|b |≤1，即
⎩
⎪⎨⎪⎧2|b|2
＋|b|－1≥0，2|b|2
－|b|－1≤0，解得12≤|b |≤1，故|b |的最小值为1
2
. 本题主要考查向量的数量积、不等式的解法，灵活运用相关知识解决问题的能力，属于难题．
15. 解：(1) 由2π
ω＝π，得ω＝2.(2分)
由最低点为M ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2π3，－3，得A ＝3.(4分)
且2×2π3＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，0＜φ＜π2，∴ φ＝π6.
∴ f(x)＝3sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6.(7分)
(2) y ＝f(x)＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π4
＝3sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6＋3sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π6
＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6(9分)
＝32sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋5π12，(11分)
∴ y max ＝3 2.(12分)
此时，2x ＋5π12＝2k π＋π2，x ＝k π＋π
24
，k ∈Z .(14分)
16. (1) 证明：∵ BC ⊥平面PAB ，AD 平面PAB ， ∴ BC ⊥AD.(3分)
∵ PA ＝AB ，D 为PB 中点，∴ AD ⊥PB.(6分) ∵ PB ∩BC ＝B ，∴ AD ⊥平面PBC.(7分)
(2) 解：连结DC ，交PE 于G ，连结FG . ∵ AD ∥平面PEF ，AD 平面ADC ， 平面ADC ∩平面PEF ＝FG ， ∴ AD ∥FG.(10分)
∵ D 为PB 中点，E 为BC 中点，连结DE ，则DE 为△BPC 的中位线，△DEG ∽△CPG. ∴ DG GC ＝DE PC ＝12.(12分)
∴ AF FC ＝DG GC ＝12
.(14分)
17. 解：(1) ∵ ∠ABC ＝120°，∠ACB ＝θ，∴ ∠BAC ＝60°－θ. ∵ ∠BAD ＝90°，∴ ∠CAD ＝30°＋θ.
∵ ∠ACD ＝60°，∴ ∠ADC ＝90°－θ.(2分)
在△ACD 中，∵ AD sin ∠ACD ＝AC
sin ∠ADC ，
∴ AC ＝24cos θ
sin60°
＝163cos θ.(5分)
在△ABC 中，∵ AB sin ∠ACB ＝AC
sinB
，
∴ AB ＝ACsin θ
sin120°
＝16sin2θ，即h ＝16sin2θ.(7分)
(2) 在△ABC 中，∵ BC sin ∠BAC ＝AC
sinB
，
∴ BC ＝ACsin （60°－θ）
sin120°＝32cos θsin(60°－θ)＝83＋83cos2θ－8sin2θ.(10分)
则S ＝AB ＋BC ＝83＋83cos2θ＋8sin2θ＝83＋16sin (2θ＋60°)．(12分) ∵ 30°≤θ≤45°，∴ 120°≤2θ＋60°≤150°. ∴ 当θ＝45°时，S 取得最小值为(83＋8) m ．(14分)
18. 解：(1) 设F(－c ，0)，∵ A(a ，0)，B(0，－b)，C(0，b)，
∴ FC →＝(c ，b)，BA →
＝(a ，b)．
∵ FC →·BA →
＝5，∴ ac ＋b 2＝5. ①(2分) ∵ c a ＝1
2
， ② 由①②，得a ＝2，c ＝1，b ＝ 3.
∴ 椭圆E 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.(5分)
(2) 线段FC 的方程为y ＝3x ＋3(－1≤x ≤0)，设P(x ，y)，
则PA →·PB →＝x(x －2)＋y(y ＋3)＝x(x －2)＋3(x ＋1)(x ＋2)＝4⎝⎛⎭⎫x ＋782＋4716
.(8分)
当PA →·PB →
取得最小值时，x ＝－78，则P ⎝⎛⎭
⎫－78，38.(10分)
(3) 设M(0，m)，由NF →＝λFM →
，得N(－1－λ，－λm)．(12分) 代入椭圆E 的方程，得3(－1－λ)2＋4(－λm)2－12＝0. 即4(λm)2＝12－3(1＋λ)2.(14分)
∵ m ∈[－3，3]，∴ 0≤4(λm)2≤12λ2. 则0≤12－3(1＋λ)2≤12λ2.
解得3
5
≤λ≤1，即实数λ的取值范围为⎣⎡⎦⎤35，1.(16分) 19. 解：(1) 分别令n ＝1、2，代入条件，得⎩
⎪⎨⎪⎧2a 1＝A ＋B ＋1，2a 2＋a 1＝4A ＋2B ＋1.(2分)
又a 1＝32，a 2＝9
4，解得⎩
⎨⎧A ＝1
2，
B ＝3
2
.
(4分)
∵ a n ＋S n ＝12n 2＋3
2
n ＋1， ①
∴ a n ＋1＋S n ＋1＝12(n ＋1)2＋3
2
(n ＋1)＋1. ②
②－①，得2a n ＋1－a n ＝n ＋2.(6分)
则a n ＋1－(n ＋1)＝1
2(a n －n)．
∵ a 1－1＝1
2
≠0，
∴ 数列{a n －n}是首项为12，公比为1
2
的等比数列．(8分)
a n －n ＝12n ，则a n ＝n ＋1
2
n .(10分)
(2) ∵ 数列{a n }是等差数列，∴ 可设a n ＝dn ＋c ， 则S n ＝n （d ＋c ＋dn ＋c ）2＝d 2
n 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋d 2n.
∴ a n ＋S n ＝d
2n 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋3d 2n ＋c.(13分) 则A ＝d 2，B ＝c ＋3d
2，c ＝1.∴ B －1A
＝3.(16分)
20. 解：(1) f(1)≤f(0)，即1－2(1－a)φ(1－a)≤0.
当a ＞1时，φ(1－a)＝－1，∴ 1＋2(1－a)≤0，a ≥3
2；(2分)
当a ≤1时，φ(1－a)＝1，∴ 1－2(1－a)≤0，a ≤1
2
.
综上，a ≤12或a ≥3
2
.(4分)
(2) 当x ＝1时，f(x)＝f(1)． 由题意x ∈[0，1)，f(x)≥f(1)恒成立．(5分) 1° 当a ≥1时，
由f(x)≤f(1)，得x 2＋2x(x 2－a)≥3－2a ，即2a(x －1)≤2x 3＋x 2－3. ① ∵ x ∈[0，1)，①式即2a ≥2x 3＋x 2－3
x －1，即2a ≥2x 2＋3x ＋3.(7分)
上式对一切x ∈[0，1)恒成立，∴ 2a ≥2＋3＋3，则a ≥4.(8分)
2° 当0＜a ≤1时，由f(x)≤f(1)，得x 2－2x(x 2－a)φ(x 2－a)≥2a －1. (ⅰ) 当a ≤x ≤1时，
x 2－2x(x 2－a)≥2a －1，即2a(x －1)≥2x 3－x 2－1. ②
∵ x ∈[0，1)，②式即2a ≤2x 3－x 2－1
x －1，即2a ≤2x 2＋x ＋1.(10分)
上式对一切x ∈[0，1)恒成立，
∴ 2a ≤2a ＋a ＋1，此式恒成立．(11分) (ⅱ) 当0≤x ＜a 时，
x 2＋2x(x 2－a)≥2a －1，即2a(x ＋1)≤2x 3＋x 2＋1. ③ ∵ x ∈[0，1)，③式即2a ≤2x 3＋x 2＋1
x ＋1
，
即2a ≤2x 2－x ＋1.(13分)
1) 当a ≤14，即0＜a ≤1
16
时，2a ≤2(a)2－a ＋1，∴ a ≤1.
结合条件得0＜a ≤1
16
.(14分)
2) 当a ＞14(0＜a ≤1)，即 116＜a ≤1时，2a ≤1－18，∴ a ≤7
16.
结合条件得116＜a ≤7
16
.
由1)、2)，得0＜a ≤7
16.(15分)
综上，得0＜a ≤7
16
或a ≥4.(16分)无锡市2012年秋学期普通高中期末考试试卷
1. {x|0＜x ≤1} 解析：集合A ＝(0，2)，∁U B ＝(－∞，1]，A ∩∁U B ＝{x|0＜x ≤1}．
2. －i 解析：1－2i 2＋i ＝（1－2i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）
＝2－2－5i
5＝－i.
3. 64 解析：320
400＋320＋280×200＝64.本题主要考查统计中的抽样方法及运算能力，属
于容易题．
4. 17 解析：S ＝2×7＋3＝17.
5. 1 解析：∠B ＝30°，根据正弦定理得BC sinA ＝AC sinB ，AC ＝2
sin45°×sin30°＝1. 本题主
要考查三角形中的正弦定理及三角形内角和公式等基础知识，属于容易题．
6. [－6，2] 解析：a ＋b ＝(3，2＋k), |a ＋b|＝9＋k 2＋4k ＋4≤5，k 2＋4k －12≤0，－
6≤k ≤2.本题主要考查向量的模及解一元二次不等式；考查转化运算能力．属于中等题． 7. －1≤a ≤6 解析：綈p 是綈q 的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件，命题p 对应的实数集合为A ＝(a －4，a ＋4), 命题q 对应的实数集合为B ＝(2，3)，B A ，
⎩
⎪⎨
⎪⎧a －4≤2，
a ＋4≥3，上面两个等号不能同时成立，所以－1≤a ≤6.本题考查命题及真假判定，考查等价转化的思想．属于中等题．
8. 2 解析：画出区域⎩⎪⎨⎪
⎧x ≤0，
y ≥0，y －x ≤4是一个等腰直角三角形，其面积为8，当直线x ＋y ＝a
与y 轴正半轴相交时，所经过平面区域的面积才可能为7，x ＋y ＝a 与y 轴交点坐标为(0，a)，与直线y －x ＝4的交点横坐标为a －42，那么12⎪⎪⎪
⎪⎪⎪（4－a ）·a －42＝1，所以a ＝2，则t ＝2.本题
考查线性规划问题，涉及到求直线交点、三角形面积等．属于中等题．
9. (x －2)2＋(y ＋2)2＝1 解析：圆C 1的圆心(－1，1)，半径为1，设圆C 2的圆心(a ，b)，半径也为1，则⎩⎪⎨
⎪⎧
b －1a ＋1×1＝－1，
a －12－
b ＋12－1＝0
⎩⎪⎨
⎪⎧a ＝2，
b ＝－2.
所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 10. －30 解析：a 23＝a 1a 4，即(a 1－4)2
＝a 1(a 1－6)
a 1＝8，a 20＝8－(20－1)×2＝－30. 11. y 2
＝3x 解析：过点B 作准线的垂线，垂足为D ，则根据抛物线定义，BF ＝BD ，在直角三角形BCD 中，BC ＝2BD ，故∠DBC ＝60°，所以直线AF 的倾斜角为60°，直线AF
的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2.又AF ＝3，所以x A ＝3－p 2，y A ＝3(3－p)．代入抛物线方程得p ＝32
，故抛物线方程为y 2＝3x.本题考查抛物线的定义、方程、直线方程．属于中等题．
12. π
6
解析：f′(x)＝－3sin(3x ＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(3x ＋φ) －3sin(3x ＋φ)＝－
2sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫3x ＋φ－π6是奇函数，所以φ－π6＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π＋π6，k ∈Z .又0＜φ＜π，所
以k ＝0，φ＝π
6
.本题考查复合函数的导数、三角函数的性质及三角变换．属于中等题．
13. 85 解析：A 、B 两点分别位于x 轴的上方和下方，在对应法则f ：P(m ，n)→P′(m ，2|n|)变换下，A ′、B′的坐标分别为(－2，12)、(6，4)，线段AB 与x 轴的交点为N(4，0)，点N 在对应法则f ：P(m ，n)→P′(m ，2|n|)变换下不变，点M 的对应点M′经过的路线的长度为A′N ＋B′N ＝（4＋2）2＋122＋（6－4）2＋42＝8 5.本题考查点的坐标及平面上两点间距离问题．考查了数形结合与变换的思想及阅读理解与推理运算能力．属于难题． 14. 233 解析：y ＝（1－t ）x －t 2x ＝(1－t)－t 2
x
，显然t ≠0，函数定义域为(－∞，0)∪(0，
＋∞)，y ′＝t
2x
2>0，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调增，所以[a ，b](－∞，0)或
[a ，b]
(0，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a<b<0，（1－t ）a －t 2
a ＝a ，（1－t ）
b －t 2
b ＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧0<a<b ，
（1－t ）a －t 2
a ＝a ，（1－t ）
b －t 2
b ＝b.
所以方程（1－t ）x －t
2
x
＝x 有两个不同的负实根或两个不同的正实根，即方程x 2－(1－t)x ＋t 2＝0有两个不同的负实根或两
个不同的正实根，所以Δ＝(1－t)2－4t 2>0，－1<t<1
3
，a ＋b ＝1－t ，ab ＝t 2，所以方程只能有
两个不同的正实根，所以b －a ＝（a ＋b ）2－4ab ＝－3t 2－2t ＋1＝－3⎝⎛⎭⎫t ＋132＋43≤233
.
本题主要考查函数的性质及应用．考查了函数与方程、不等式的思想及灵活运用相关基础知识解决问题的能力．属于难题．
15. 解：(1) f(x)＝(m ＋n )·m ＝sin 2x ＋1＋3sinxcosx ＋1
2
＝1－cos2x 2＋1＋32sin2x ＋12＝32sin2x －12cos2x ＋2
＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6＋2，(6分)
∵ ω＝2，∴ T ＝2π
2
＝π.(8分)
(2) ∵ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π4，π2，∴ π3≤2x －π6≤5π6，(9分)
∴ 12≤sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6≤1，(11分) ∴ 5
2
≤f(x)≤3.(12分) ∵ 方程f(x)－t ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π4，π2上有解，
∴ 5
2
≤t ≤3，∴ 实数t 的取值范围为⎣⎡⎦⎤52，3.(14分) 16. (1) 证明：∵ BD ⊥平面PAC ，PC 平面PAC ， ∴ PC ⊥BD.(2分)
在△PAC 中，AC ＝10，PA ＝6，cos ∠PCA ＝4
5
，
∴ PA 2＝PC 2＋AC 2
－2PC ×ACcos ∠PCA ，
即36＝PC 2
＋100－16PC ，∴ PC ＝8. ∴ AC 2＝PC 2＋PA 2， ∴ PC ⊥PA.(4分) 连结MO ，
∵ M 是PC 的中点，O 是AC 的中点， ∴ PA ∥MO ，∴ PC ⊥MO.(6分) 又BD ∩MO ＝O ，
∴ PC ⊥平面BMD.(8分)
(2) 解：由题意，得V M BCD ＝V C MBD ＝13S △MBD CM ＝1
6
BD ×MO ×CM ＝14，(10分)
∵ CM ＝12PC ＝4，MO ＝1
2
PA ＝3，
∴ BD ＝7，(12分)
∴ 菱形ABCD 的边长AB ＝AO 2＋OB 2＝149
2
.(14分)
17. 解：(1) 如图，在等腰梯形CDEF 中，DH 是高．
依题意：DH ＝12AB ＝12x ，EH ＝DH tan ∠FED ＝43×12x ＝2
3
x ，(3分)
∴ 392＝xy ＋12⎝⎛⎭⎫x ＋x ＋43x 12x ＝xy ＋56x 2，∴ y ＝392x －5
6
x.(6分) ∵ x ＞0，y ＞0，∴ 392x －56x ＞0，解之得0＜x ＜365
5.
∴ 所求表达式为y ＝392x －56x ⎝⎛⎭
⎫
0＜x ＜3655.(7分)
(2) 在Rt △DEH 中，∵ tan ∠FED ＝34，∴ sin ∠FED ＝3
5
，
∴ DE ＝DH sin ∠FED ＝12x ×53＝5
6
x ，(9分)
∴ l ＝(2x ＋2y)＋2×5
6x ＋⎝⎛⎭⎫2×23
x ＋x ＝2y ＋6x ＝39x －53x ＋6x ＝39x ＋133x ≥239x ×133
x ＝26，(11分) 当且仅当39x ＝13
3x ，即x ＝3时取等号，(12分)
此时y ＝392x －5
6
x ＝4，
∴ AB ＝3 m ，BC ＝4 m 时，能使整个框架所用材料最少．(14分)
18. 解：(1) 由题意：c 2a 2＝34，∴ c 2＝34a 2，b 2＝1
4
a 2.(2分)
又P(2，1)在椭圆上，∴ 4a 2＋1
b
2＝1，∴ a 2＝8，b 2＝2，
∴ 椭圆C 方程为x 28＋y 2
2
＝1.(4分)
(2) 设直线PA 的方程为y －1＝k(x －2)，代入椭圆方程，得 (1＋4k 2)x 2－8(2k －1)x ＋16k 2－16k －4＝0.(6分)
∵ 方程一根为2，∴ x A ＝8k 2－8k －21＋4k 2，y A ＝－4k 2－4k ＋1
1＋4k 2
，
∴ A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
8k 2－8k －21＋4k 2，－4k 2－4k ＋11＋4k 2
.(8分) ∵ PA 与PB 倾斜角互补，∴ k PA ＝－k PB ，
∴ 同理可得B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
8k 2＋8k －21＋4k 2，－4k 2＋4k ＋11＋4k 2
，(10分) ∴ k AB ＝
y B －y A
x B －x A ＝1
2
，(12分) 设直线AB 的方程为y ＝1
2
x ＋m ，即x －2y ＋2m ＝0，
M(－2m ，0)，N(0，m)(m ＜0)，
d ＝|2－2＋2m|5＝|2m|5，MN ＝4m 2＋m 2＝5|m|，
∴ S △PMN ＝12|2m|55|m|＝3
2，
∴ m ＝－62，m ＝6
2
(舍去)，(15分)
∴ 所求直线AB 的方程为x －2y ＋6＝0.(16分) 19. 解：(1) ∵ a n ＋1＝S n ＋1－S n ，
∴ (S n ＋1－S n )(S n ＋1＋S n －2)＝2，即S 2n ＋1－S 2n －2(S n ＋1－S n )＝2，∴ (S n ＋1－1)2－(S n －1)2
＝2，且(S 1－1)2＝1，
∴ {(S n －1)2}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴ S n ＝1＋2n －1.(4分)
(2) ① n ＝1时，S 1＝1＋1＝2＝b 1， n ＝5时，S 5＝1＋3＝4＝b 2，
n ＝13时，S 13＝1＋5＝6＝b 3.(10分)
② ∵ 2n －1是奇数，S n ＝1＋2n －1为有理数，则2n －1＝2k －1，∴ n ＝2k 2－2k ＋1，(12分)
当k ＝20时，n ＝761；当k ＝21时，n ＝841；(14分)
∴ 存在N ∈[761，840]，当n ≤N 时，使得在{S n }中，数列{b k }有且只有20项．(16分) 20. 解：(1) 由P(2，c)为公共切点，可得 f(x)＝ax 2＋1(a ＞0)，则f′(x)＝2ax ，k 1＝4a ，
g(x)＝x 3＋bx ，则g′(x)＝3x 2＋b ，k 2＝12＋b ，(2分) 又f(2)＝4a ＋1，g(2)＝8＋2b ，(3分)
∴ ⎩
⎪⎨⎪⎧4a ＝12＋b ，4a ＋1＝8＋2b ，解得a ＝174
，b ＝5.(5分)
(2) ① h(x)＝f(x)＋g(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，则h′(x)＝3x 2＋2ax ＋b.
∵ 函数f(x)＋g(x)的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－a 2
，－b
3，
∴ x ∈⎣⎡⎦⎤－a 2
，－b
3时，有3x 2＋2ax ＋b ≤0恒成立．(6分)
此时x ＝－
b
3是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的一个根， ∴ 3⎝⎛⎭⎫－b 32＋2a ⎝⎛⎭
⎫－b 3＋b ＝0，得a 2＝4b ，(7分) ∴ h(x)＝f(x)＋g(x)＝x 3＋ax 2＋1
4a 2x ＋1.
又函数h(x)在⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6上单调递减，在⎝⎛⎭
⎫－a
6，＋∞上单调递增，
(ⅰ) 若－1≤－a 2，即a ≤2时，最大值为h(－1)＝a －a 2
4
；(8分)
(ⅱ) 若－a 2＜－1＜－a
6
，即2＜a ＜6时，最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1；(9分) (ⅲ) 若－1≥－a
6
时，即a ≥6时，最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1.(10分) 综上所述，M(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧a －a 24，0＜a ≤2，
1，a ＞2.
(11分)
② 由①可知h(x)在⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6上单调递减，在⎝⎛⎭
⎫－a
2，＋∞上单调递增，
∴ h ⎝⎛⎭⎫－a 2为极大值，h ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1，h ⎝⎛⎭⎫－a 6为极小值，h ⎝⎛⎭⎫－a 6＝－a 354
＋1.(13分)
∵ |f(x)＋g(x)|≤3，在x ∈[－2，0]上恒成立， 又h(0)＝1，
∴ ⎩⎪⎨⎪⎧h （－2）≥－3，h ⎝⎛⎭⎫－a 6≥－3，即⎩
⎨⎧
－12a 2
＋4a －7≥－3，－a 354
＋1≥－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧4－22≤a ≤4＋22，a ≤6，
(15分)
∴ a 的取值范围是4－22≤a ≤6.(16分)。