人教B版高中同步学考数学必修1精品课件 第三章 函数 3.3 函数的应用(一)
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据题意得, -20x2+2 200x>60 000.
移项整理,得x2-110x+3 000<0.
从而原不等式的解集为{x|50<x<60}.
因为x只能取整数值,所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在
51~59辆时,这家工厂能够获得60 000元以上的收益.
知识点2
实际问题的函数建模
实际问题的函数建模是将实际问题转化为数学问题的关键,结合对函数性
解 (1)设该企业职工人数为t,依题意当p=52时,q=36,
(4)给出实际问题的解:将数学模型的解还原为实际问题的解,得出实际问
题的解.
过关自诊
某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元,卖出的价格是每份
0.50元,卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社,在一个月(30天)
里有20天每天可以卖出报纸400份,其余10天每天只能卖出250份.若每天从
元.
规律方法 二次函数的实际应用
(1)在根据实际问题建立函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、
函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的最值问题.二
次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.
(2)对于本题要清楚平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售
利润.
变式训练2有A,B两城相距100 km,在A,B两城之间距A城x km的D地建一核
q=
该企业职工每人每月工资为 1 200 元,其他经营性
- + 82,58 < ≤ 81.
费用为每月 13 200 元.
(1)在暂时不考虑还贷的前提下,当销售价p为52元/件,每月刚好收支平衡,
求该企业的职工人数;
(2)若该企业只有20名职工,在保证职工工资及其他经营性支出外,剩余的
利润都用来偿还贷款,试问最早几年后还清贷款?
解题时,应注意:(1)一次函数有单调递增(一次项系数为正)和单调递减(一
次项系数为负)两种情况;(2)一次函数的图象是一条直线.
2.二次函数模型.
形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数模型是二次函数模型.二次函数模型是重要的
数学模型之一,依据实际问题建立二次函数的解析式后,利用配方法求最值
简单易懂,有时也可以依据二次函数的性质求最值,从而解决利润最大、用
报社买进报纸的数量相同,则每天应该从报社买进多少份报纸,才能使每月
所获得的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚多少元?
解 设每天应从报社买x份报纸,由题意知250≤x≤400,设每月赚y元,根据题
意得y=0.5x·20+0.5×250×10+(x-250)×0.08×10-0.35x·30=0.3x+1 050,
质的研究,通过解决数学问题达到解决实际问题的目的.
一般步骤如下.
(1)设恰当的变量:研究实际问题中量与量之间的关系,确定变量之间的关
系,并用x,y分别表示问题中的变量.
(2)建立函数模型:将变量y表示为x的函数,在中学数学阶段,我们建立的函
数模型一般都是函数的解析式,注意函数的定义域.
(3)求解函数模型:根据已知条件求解函数模型.
1.5, ≥ 100,∈N* ,
数.若应聘的面试人数为60,则该公司拟录用人数为( C )
A.15
B.40
C.25
D.130
解析 令y=60,若4x=60,则x=15>10,不合题意;
若2x+10=60,则x=25,满足题意;
若1.5x=60,则x=40<100,不合题意.
故拟录用人数为25.
(1)求平均每天的销售量y(单位:箱)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关
系式;
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(单位:元)与销售单价x(单位:元/箱)之
间的函数关系式;
(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?
分析 本题中平均每天的销售量y(单位:箱)与销售单价x(单位:元/箱)是一个
当4≤x<34时,y1<y2,优惠办法①更省钱;
当x>34时,y1>y2,优惠办法②更省钱.
规律方法 1.一次函数模型的实际应用
一次函数模型的应用,本着“问什么,设什么,列什么”这一原则.
2.一次函数的最值求解
一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0),解答时,注意系数a
的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值.
解 (1)由题意得 y=0.25[20x +10(100-x) ]=7.5
2
∵x≥10,且100-x≥10,∴10≤x≤90.
∴函数的定义域为[10,90].
2
100 2
- 3
+
50 000
.
3
(2)由二次函数知当
电费用最小.
100
x= 3 时,y
最小,因此当核电站建在距离 A
100
城3
km 时,供
课程标准
1.会利用所学知识,解决一次函数模型、二次函数模型及分段函数模型的
实际问题.
2.掌握求解函数应用题的基本步骤,培养学生的数学建模素养.
目录索引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
基础落实·必备知识全过关
知识点1
常见Байду номын сангаас函数模型
1.一次函数模型.
形如y=kx+b(k≠0)的函数模型是一次函数模型,应用一次函数的性质及图象
(2)由
6()-3 360
Q=
-360,
得 Q=
6(-10 2 +200+200)-3 360
-360,2
3 840
-360,10 ≤ ≤ 20,
840-60( +
36
),2
≤ < 10,
≤ < 10,
即 Q= 3 840
(t∈N*).
-360,10 ≤ ≤ 20
解 (1)由题意知 p(t)=
(t∈N*,k 为常数),
1 200,10 ≤ ≤ 20
因为 p(2)=1 200-k(10-2)2=1 200-64k=560,解得 k=10,
-10 2 + 200 + 200,2 ≤ < 10,
所以 p(t)=
(t∈N*).
1 200,10 ≤ ≤ 20
一次函数关系,虽然x∈[50,55],但仍可把问题看成一次函数模型的应用问
题;平均每天的销售利润w(单位:元)与销售单价x(单位:元/箱)是一个二次函
数关系,可看成一个二次函数模型的应用题.
解 (1)根据题意,得y=90-3(x-50),
化简,得y=-3x+240(50≤x≤55).
(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利
料最省等问题.
3.分段函数模型.
这个模型实质是一次函数、正比例函数(形如y=kx,k≠0)、反比例函数(形
如y= k ,k≠0)、二次函数模型中两种及以上的综合.
x
过关自诊
1.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为
4x,1 ≤ x < 10,x∈N * ,
y= 2 + 10,10 ≤ < 100,∈N* ,其中,x 代表拟录用人数,y 代表面试人
36
①当 2≤t<10 时,Q=840-60(t+ )≤840-60×12=120,当且仅当 t=6 时等号成立;
②当 10≤t≤20
3 840
时,Q= -360
在[10,20]上单调递减,当 t=10 时,Q 取得最大
值 24.
由①②可知,当发车时间间隔为6分钟时,该时段这条线路每分钟的净收益
润.
所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55).
(3)因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,
所以当x<60时,w随x的增大而增大.
又因为50≤x≤55,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125.
所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125
解 由优惠办法①可得函数解析式为y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,且x∈N).
由优惠办法②可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且x∈N).
y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N),
令y1-y2=0,得x=34.
所以,当购买34个茶杯时,两种办法付款相同;
间的关系为y=6x+30 000.而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日
生产文具盒( D )
A.2 000套
B.3 000套
C.4 000套
D.5 000套
解析 因利润z=12x-(6x+30 000),所以z=6x-30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至
少日生产文具盒5 000套.
(2)商店出售茶壶和茶杯,茶壶的定价为每个20元,茶杯的定价为每每个5元,
该商店推出两种优惠办法:
①买一个茶壶赠一个茶杯;
②按总价的92%付款.
某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(单位:个),付
款y(单位:元),分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该
顾客买同样多的茶杯时,哪一种办法更优惠.
x∈[250,400].
因为y=0.3x+1 050是定义域上的增函数,所以当x=400时,ymax=120+1 050
=1 170.
答:每天应该从报社买进400份报纸,才能使每月所获得的利润最大,每月最
多可赚1 170元.
重难探究·能力素养全提升
探究点一
一次函数模型的应用
【例1】 (1)某厂日生产文具盒的总成本y(单位:元)与日产量x(单位:套)之
变式训练1某公司市场营销人员的个人月收入与其
每月的销售量成一次函数关系,其图象如下图所示,
由图中给出的信息可知,营销人员没有销售量时的
收入是( B )
A.310元
B.300元
C.290元
D.280元
解析 设函数解析式为y=kx+b(k≠0),
+ = 800,
= 500,
函数图象过点(1,800),(2,1 300),则 2 + = 1 300,解得 = 300,
所以y=500x+300,当x=0时,y=300.所以营销人员没有销售量时的收入是
300元.
探究点二
二次函数模型的应用
【例2】 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低
于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每
天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
会减少,减少的人数与(10-t)的平方成正比,且当发车时间间隔为2分钟时载
客量为560人,记地铁载客量为p(t).
(1)求p(t)的解析式;
(2)若该时段这条线路每分钟的净收益为Q=
6()-3 360
-360(单位:元),问当
发车时间间隔为多少时,该时段这条线路每分钟的净收益最大?
1 200-(10-)2 ,2 ≤ < 10,
最大,最大为120元.
规律方法 分段函数的实际应用
(1)在实际问题中,变量之间的关系因自变量x取值范围的不同,对应的函数
关系不能用同一个解析式表示时,常用分段函数建立函数模型解决问题.
(2)分段函数是指自变量在不同的范围内有着不同对应法则的函数.求解分
段函数的最值问题时应注意:分段函数的最大值是各段函数最大值中最大
探究点三
分段函数模型的应用
【例3】 上海市某地铁项目正在紧张建设中,通车后将给更多市民的出行
带来便利,已知该线路通车后,地铁的发车时间间隔t(单位:分钟)满足
2≤t≤20,t∈N*.经测算,在某一时段,地铁载客量与发车时间间隔t相关,当
10≤t≤20时地铁可达到满载状态,载客量为1 200人,当2≤t<10时,载客量
的一个,分段函数的最小值是各段函数最小值中最小的一个.
变式训练3为支持福利事业,解决残疾人就业问题,银行决定给某福利企业
免息贷款46.8万元,用于经营某种商品.已知该种商品的进价为每件40元,每
月销售量q(单位:百件)与销售价p(单位:元/件)之间满足关系式:
-2 + 140,40 ≤ ≤ 58,
电站给这两城供电.为保证城市安全,核电站与城市的距离不得少于10 km.
已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若
A城供电量为20亿千瓦时/月,B城供电量为10亿千瓦时/月.
(1)把月供电总费用y表示成x的函数,并求定义域;
(2)核电站建在距A城多远时,才能使供电费用最小?
故选C.
2.[人教A版教材例题]一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,
这条流水线生产的摩托车数量x(单位:辆)与创造的价值y(单位:元)之间有
如下的关系:y=-20x2+2 200x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水
线创收60 000元以上,则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车?
解 设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车,根
移项整理,得x2-110x+3 000<0.
从而原不等式的解集为{x|50<x<60}.
因为x只能取整数值,所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在
51~59辆时,这家工厂能够获得60 000元以上的收益.
知识点2
实际问题的函数建模
实际问题的函数建模是将实际问题转化为数学问题的关键,结合对函数性
解 (1)设该企业职工人数为t,依题意当p=52时,q=36,
(4)给出实际问题的解:将数学模型的解还原为实际问题的解,得出实际问
题的解.
过关自诊
某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元,卖出的价格是每份
0.50元,卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社,在一个月(30天)
里有20天每天可以卖出报纸400份,其余10天每天只能卖出250份.若每天从
元.
规律方法 二次函数的实际应用
(1)在根据实际问题建立函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、
函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的最值问题.二
次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.
(2)对于本题要清楚平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售
利润.
变式训练2有A,B两城相距100 km,在A,B两城之间距A城x km的D地建一核
q=
该企业职工每人每月工资为 1 200 元,其他经营性
- + 82,58 < ≤ 81.
费用为每月 13 200 元.
(1)在暂时不考虑还贷的前提下,当销售价p为52元/件,每月刚好收支平衡,
求该企业的职工人数;
(2)若该企业只有20名职工,在保证职工工资及其他经营性支出外,剩余的
利润都用来偿还贷款,试问最早几年后还清贷款?
解题时,应注意:(1)一次函数有单调递增(一次项系数为正)和单调递减(一
次项系数为负)两种情况;(2)一次函数的图象是一条直线.
2.二次函数模型.
形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数模型是二次函数模型.二次函数模型是重要的
数学模型之一,依据实际问题建立二次函数的解析式后,利用配方法求最值
简单易懂,有时也可以依据二次函数的性质求最值,从而解决利润最大、用
报社买进报纸的数量相同,则每天应该从报社买进多少份报纸,才能使每月
所获得的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚多少元?
解 设每天应从报社买x份报纸,由题意知250≤x≤400,设每月赚y元,根据题
意得y=0.5x·20+0.5×250×10+(x-250)×0.08×10-0.35x·30=0.3x+1 050,
质的研究,通过解决数学问题达到解决实际问题的目的.
一般步骤如下.
(1)设恰当的变量:研究实际问题中量与量之间的关系,确定变量之间的关
系,并用x,y分别表示问题中的变量.
(2)建立函数模型:将变量y表示为x的函数,在中学数学阶段,我们建立的函
数模型一般都是函数的解析式,注意函数的定义域.
(3)求解函数模型:根据已知条件求解函数模型.
1.5, ≥ 100,∈N* ,
数.若应聘的面试人数为60,则该公司拟录用人数为( C )
A.15
B.40
C.25
D.130
解析 令y=60,若4x=60,则x=15>10,不合题意;
若2x+10=60,则x=25,满足题意;
若1.5x=60,则x=40<100,不合题意.
故拟录用人数为25.
(1)求平均每天的销售量y(单位:箱)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关
系式;
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(单位:元)与销售单价x(单位:元/箱)之
间的函数关系式;
(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?
分析 本题中平均每天的销售量y(单位:箱)与销售单价x(单位:元/箱)是一个
当4≤x<34时,y1<y2,优惠办法①更省钱;
当x>34时,y1>y2,优惠办法②更省钱.
规律方法 1.一次函数模型的实际应用
一次函数模型的应用,本着“问什么,设什么,列什么”这一原则.
2.一次函数的最值求解
一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0),解答时,注意系数a
的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值.
解 (1)由题意得 y=0.25[20x +10(100-x) ]=7.5
2
∵x≥10,且100-x≥10,∴10≤x≤90.
∴函数的定义域为[10,90].
2
100 2
- 3
+
50 000
.
3
(2)由二次函数知当
电费用最小.
100
x= 3 时,y
最小,因此当核电站建在距离 A
100
城3
km 时,供
课程标准
1.会利用所学知识,解决一次函数模型、二次函数模型及分段函数模型的
实际问题.
2.掌握求解函数应用题的基本步骤,培养学生的数学建模素养.
目录索引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
基础落实·必备知识全过关
知识点1
常见Байду номын сангаас函数模型
1.一次函数模型.
形如y=kx+b(k≠0)的函数模型是一次函数模型,应用一次函数的性质及图象
(2)由
6()-3 360
Q=
-360,
得 Q=
6(-10 2 +200+200)-3 360
-360,2
3 840
-360,10 ≤ ≤ 20,
840-60( +
36
),2
≤ < 10,
≤ < 10,
即 Q= 3 840
(t∈N*).
-360,10 ≤ ≤ 20
解 (1)由题意知 p(t)=
(t∈N*,k 为常数),
1 200,10 ≤ ≤ 20
因为 p(2)=1 200-k(10-2)2=1 200-64k=560,解得 k=10,
-10 2 + 200 + 200,2 ≤ < 10,
所以 p(t)=
(t∈N*).
1 200,10 ≤ ≤ 20
一次函数关系,虽然x∈[50,55],但仍可把问题看成一次函数模型的应用问
题;平均每天的销售利润w(单位:元)与销售单价x(单位:元/箱)是一个二次函
数关系,可看成一个二次函数模型的应用题.
解 (1)根据题意,得y=90-3(x-50),
化简,得y=-3x+240(50≤x≤55).
(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利
料最省等问题.
3.分段函数模型.
这个模型实质是一次函数、正比例函数(形如y=kx,k≠0)、反比例函数(形
如y= k ,k≠0)、二次函数模型中两种及以上的综合.
x
过关自诊
1.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为
4x,1 ≤ x < 10,x∈N * ,
y= 2 + 10,10 ≤ < 100,∈N* ,其中,x 代表拟录用人数,y 代表面试人
36
①当 2≤t<10 时,Q=840-60(t+ )≤840-60×12=120,当且仅当 t=6 时等号成立;
②当 10≤t≤20
3 840
时,Q= -360
在[10,20]上单调递减,当 t=10 时,Q 取得最大
值 24.
由①②可知,当发车时间间隔为6分钟时,该时段这条线路每分钟的净收益
润.
所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55).
(3)因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,
所以当x<60时,w随x的增大而增大.
又因为50≤x≤55,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125.
所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125
解 由优惠办法①可得函数解析式为y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,且x∈N).
由优惠办法②可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且x∈N).
y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N),
令y1-y2=0,得x=34.
所以,当购买34个茶杯时,两种办法付款相同;
间的关系为y=6x+30 000.而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日
生产文具盒( D )
A.2 000套
B.3 000套
C.4 000套
D.5 000套
解析 因利润z=12x-(6x+30 000),所以z=6x-30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至
少日生产文具盒5 000套.
(2)商店出售茶壶和茶杯,茶壶的定价为每个20元,茶杯的定价为每每个5元,
该商店推出两种优惠办法:
①买一个茶壶赠一个茶杯;
②按总价的92%付款.
某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(单位:个),付
款y(单位:元),分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该
顾客买同样多的茶杯时,哪一种办法更优惠.
x∈[250,400].
因为y=0.3x+1 050是定义域上的增函数,所以当x=400时,ymax=120+1 050
=1 170.
答:每天应该从报社买进400份报纸,才能使每月所获得的利润最大,每月最
多可赚1 170元.
重难探究·能力素养全提升
探究点一
一次函数模型的应用
【例1】 (1)某厂日生产文具盒的总成本y(单位:元)与日产量x(单位:套)之
变式训练1某公司市场营销人员的个人月收入与其
每月的销售量成一次函数关系,其图象如下图所示,
由图中给出的信息可知,营销人员没有销售量时的
收入是( B )
A.310元
B.300元
C.290元
D.280元
解析 设函数解析式为y=kx+b(k≠0),
+ = 800,
= 500,
函数图象过点(1,800),(2,1 300),则 2 + = 1 300,解得 = 300,
所以y=500x+300,当x=0时,y=300.所以营销人员没有销售量时的收入是
300元.
探究点二
二次函数模型的应用
【例2】 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低
于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每
天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
会减少,减少的人数与(10-t)的平方成正比,且当发车时间间隔为2分钟时载
客量为560人,记地铁载客量为p(t).
(1)求p(t)的解析式;
(2)若该时段这条线路每分钟的净收益为Q=
6()-3 360
-360(单位:元),问当
发车时间间隔为多少时,该时段这条线路每分钟的净收益最大?
1 200-(10-)2 ,2 ≤ < 10,
最大,最大为120元.
规律方法 分段函数的实际应用
(1)在实际问题中,变量之间的关系因自变量x取值范围的不同,对应的函数
关系不能用同一个解析式表示时,常用分段函数建立函数模型解决问题.
(2)分段函数是指自变量在不同的范围内有着不同对应法则的函数.求解分
段函数的最值问题时应注意:分段函数的最大值是各段函数最大值中最大
探究点三
分段函数模型的应用
【例3】 上海市某地铁项目正在紧张建设中,通车后将给更多市民的出行
带来便利,已知该线路通车后,地铁的发车时间间隔t(单位:分钟)满足
2≤t≤20,t∈N*.经测算,在某一时段,地铁载客量与发车时间间隔t相关,当
10≤t≤20时地铁可达到满载状态,载客量为1 200人,当2≤t<10时,载客量
的一个,分段函数的最小值是各段函数最小值中最小的一个.
变式训练3为支持福利事业,解决残疾人就业问题,银行决定给某福利企业
免息贷款46.8万元,用于经营某种商品.已知该种商品的进价为每件40元,每
月销售量q(单位:百件)与销售价p(单位:元/件)之间满足关系式:
-2 + 140,40 ≤ ≤ 58,
电站给这两城供电.为保证城市安全,核电站与城市的距离不得少于10 km.
已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若
A城供电量为20亿千瓦时/月,B城供电量为10亿千瓦时/月.
(1)把月供电总费用y表示成x的函数,并求定义域;
(2)核电站建在距A城多远时,才能使供电费用最小?
故选C.
2.[人教A版教材例题]一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,
这条流水线生产的摩托车数量x(单位:辆)与创造的价值y(单位:元)之间有
如下的关系:y=-20x2+2 200x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水
线创收60 000元以上,则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车?
解 设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车,根