八年级初二数学第二学期勾股定理单元 易错题测试提优卷试题

八年级初二数学第二学期勾股定理单元易错题测试提优卷试题
一、选择题
1．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）
A．600m B．500m
C．400m D．300m
2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。

若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是
A．13 B．225
+C．47 D．13
3．如图所示，在中，，，.分别以，，为直径作半圆（以为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（）
A．4 B．5 C．7 D．6
4．如图，已知圆柱的底面直径
6
BC
π
=，高3
AB=，小虫在圆柱侧面爬行，从C点爬到
A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程的平方为（）
A．18 B．48 C．120 D．72
5．若直角三角形的三边长分别为-a b 、a 、+a b ，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为（） A ．22
B ．32
C ．62
D ．82
6．以线段a 、b 、c 的长为边长能构成直角三角形的是（ ）
A ．a =3，b=4，c=6
B ．a =1，b=2，c=3
C ．a =5，b=6，c=8
D ．a =3，b=2，c=5 7．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ） A ．30,40,60
B ．7,12,13
C ．6,8,10
D ．3,4,6
8．下列命题中，是假命题的是( )
A ．在△ABC 中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC 是直角三角形
B ．在△AB
C 中，若a 2＝(b ＋c) (b －c)，则△ABC 是直角三角形 C ．在△ABC 中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC 是直角三角形
D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝5：4：3，则△ABC 是直角三角形
9．在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则点C 到AB 的距离是（ ） A ．
34
B ．
35
C ．
45
D ．
125
10．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A ．1，2，3
B ．2，3，4
C ．3，4，6
D ．1，3，2
二、填空题
11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，若S 1+S 2+S 3=10，则S2的值是_________．
12．在△ABC 中，若2222
25,75a b a b c -+===，，则最长边上的高为_____．
13．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，BC 边上的高AD ＝4，则△ABC 的周长为__________. 14．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，
且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．
15．如图，BAC 90∠=度，AB AC =，AE AD ⊥，且AE AD =，AF 平分DAE ∠交BC 于F ，若BD 6=，CF 8=，则线段AD 的长为______．
16．如图，在等边△ABC 中，AB ＝6，AN ＝2，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，则BM +MN 的最小值是_____．
17．已知x ，y 为一个直角三角形的两边的长，且（x ﹣6）2=9，y =3，则该三角形的第三边长为_____．
18．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的边长分别为5和12，则b 的面积为_________________.
19．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若
12315S S S ++=，则2S 的值是__________．
20．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方行ABCD ，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH,已知AM 为Rt △ABM 的较长直角边，AM ＝7EF ，则正方形ABCD 的面积为_______.
三、解答题
21．（1）计算：1
312248233⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪⎝；
（2）已知a 、b 、c 满足2|23|32(30)0a b c +-+--=．判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．
22．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处． （1）求BF 的长； （2）求CE 的长．
23．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A ﹣C ﹣B ﹣A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）． （1）若点P 在AC 上，且满足PA ＝PB 时，求出此时t 的值； （2）若点P 恰好在∠BAC 的角平分线上，求t 的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t 为何值时，△BCP 为等腰三角形．
24．已知ABC ∆中，如果过项点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC ∆的关于点B 的二分割线．例
如：如图1，Rt ABC ∆中，90A ︒∠=，20C ︒∠=，若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，若20DBC ︒∠=，显然直线BD 是ABC ∆的关于点B 的二分割线．
（1）在图2的ABC ∆中，20C ︒∠=，110ABC ︒∠=．请在图2中画出ABC ∆关于点B 的二分割线，且DBC ∠角度是 ；
（2）已知20C ︒∠=，在图3中画出不同于图1，图2的ABC ∆，所画ABC ∆同时满足:①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．BAC ∠的度数是 ；
（3）已知C α∠=，ABC ∆同时满足：①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．请求出BAC ∠的度数（用α表示）．
25．Rt ABC ∆中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .
26．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线
AB 于点H ．
（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明；
（2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．
27．在平面直角坐标系中，点A （0，4），B （m ，0）在坐标轴上，点C ，O 关于直线AB 对称，点D 在线段AB 上．
（1）如图1，若m ＝8，求AB 的长；
（2）如图2，若m ＝4，连接OD ，在y 轴上取一点E ，使OD ＝DE ，求证：CE ＝2DE ； （3）如图3，若m ＝43，在射线AO 上裁取AF ，使AF ＝BD ，当CD +CF 的值最小时，请在图中画出点D 的位置，并直接写出这个最小值．
28．如图,在△ABC 中,D 是边AB 的中点,E 是边AC 上一动点,连结DE,过点D 作DF ⊥DE 交边BC 于点F(点F 与点B 、C 不重合),延长FD 到点G,使DG=DF,连结EF 、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8. (1)求证:△ADG ≌△BDF ； (2)请你连结EG,并求证:EF=EG ；
(3)设AE=x ,CF=y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围； (4)求线段EF 长度的最小值.
29．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD
()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；
()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ．
①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这
个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法
想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．
想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形
的相关知识获证．
请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF 一种方法即可)
②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关
系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．
30．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．
（体验）（1）从特殊入手 许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持
不动，让
从重合位置开始绕点转动，在转动的
过程，观测
的大小和
的形状，并列出下表：
的大小 的形状
…
直角三角形 …
直角三角形
…
请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；
（2）猜想一般结论在中，设，，（），
①若为直角三角形，则满足；
②若为锐角三角形，则满足____________；
③若为钝角三角形，则满足_____________．
（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面
（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．
（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（）
A．一定是锐角三角形
B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形
C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可
证△ABC ≌△DEA ，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC ，即可求CE ，根据图可知从B 到E 的走法有两种，分别计算比较即可． 【详解】 解：如右图所示， ∵BC ∥AD ， ∴∠DAE=∠ACB ， 又∵BC ⊥AB ，DE ⊥AC ， ∴∠ABC=∠DEA=90°， 又∵AB=DE=400m ， ∴△ABC ≌△DEA ， ∴EA=BC=300m ， 在Rt △ABC 中，AC=22AB BC =500m ，
∴CE=AC-AE=200，
从B 到E 有两种走法：①BA+AE=700m ；②BC+CE=500m ， ∴最近的路程是500m ． 故选B ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是证明△ABC ≌△DEA ，并能比较从B 到E 有两种走法．
2．C
解析：C 【分析】
根据勾股定理即可得到正方形A 的面积加上B 的面积加上C 的面积和D 的面积是E 的面积．即可求解． 【详解】
四个正方形的面积的和是正方形E 的面积：即222233=92549=47＋5＋2＋＋＋＋；故答案为C ． 【点睛】
理解正方形A ，B ，C ，D 的面积的和是E 的面积是解决本题的关键．
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
先利用勾股定理计算BC 的长度，然后阴影部分的面积=以AB 为直径的半圆面积+以BC 为直径的半圆面积+-以AC 为直径的半圆面积.
【详解】 解：在中 ∵，
,
∴,
∴BC=3,
∴阴影部分的面积=以AB 为直径的半圆面积+以BC 为直径的半圆面积+-以AC 为直
径的半圆面积=6.故选D.
【点睛】
本题考查扇形面积的计算和勾股定理.在本题中解题关键是用重叠法去表示阴影部分的面积.
4．D
解析：D 【分析】
要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】
解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，
点A ，C 的最短距离为线段AC 的长. ∵已知圆柱的底面直径6
BC π
=，
∴6
23AD ππ
=⋅
÷=， 在Rt ADC ∆中，90ADC ∠=︒ ，3CD AB ==，
∴22218AC AD CD =+=，
∴从C 点爬到A 点，然后再沿另一面爬回C 点，则小虫爬行的最短路程的平方为
()
2
22472AC AC ==.
故选D. 【点睛】
本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
5．B
【解析】
由题可知（a-b ）2+a 2=（a+b ）2，解得a=4b ，所以直角三角形三边分别为3b ，4b ，5b ，当b=8时，4b=32，故选B ．
6．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】
A 、222346+≠，C 、222568+≠，D 、()()222325+≠，故错误；
B 、()()22
21233+==，能构成直角三角形，本选项正确. 故选B ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的知识点，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的定理与运算.
7．C
解析：C
【分析】
根据勾股定理的逆定理解答即可.
【详解】
A 、∵222304060+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；
B 、∵22271213+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；
C 、∵2226810+=，∴该选项的三条线段能构成直角三角形；
D 、∵222346+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；
故选：C .
【点睛】
此题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理的计算法则及正确计算是解题的关键.
8．C
解析：C
【分析】
一个三角形中有一个直角，或三边满足勾股定理的逆定理则为直角三角形，否则则不是，据此依次分析各项即可.
【详解】
A. △ABC 中，若∠B=∠C －∠A ，则∠C =∠A+∠B ，则△ABC 是直角三角形，本选项正确；
B. △ABC 中，若a 2=(b+c)(b －c)，则a 2=b 2－c 2，b 2= a 2+c 2，则△ABC 是直角三角形，本选项正确；
C. △ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C=3∶4∶5，则∠，故本选项错误；
D. △ABC 中，若a ∶b ∶c=5∶4∶3，则△ABC 是直角三角形，本选项正确；
【点睛】
本题考查的是直角三角形的判定，利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①确定三角形的最长边；②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等．若相等，则此三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形．
9．D
解析：D
【解析】
在Rt△ABC中∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB=5，设点C到AB的距离为h，
即可得1
2
h×AB=
1
2
AC×BC，即
1
2
h×5=
1
2
×3×4，解得h=
12
5
，故选D.
10．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．【详解】
解：A、12+22=5≠32，故不符合题意；
B、22+32=13≠42，故不符合题意；
C、32+42=25≠62，故不符合题意；
D、12+2
=4=22，符合题意.
故选D.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，简便的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可．
二、填空题
11．10
3
．
【解析】
试题解析：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=10，∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，
∴S1+S2+S3=3x+12y=10，故3x+12y=10，
x+4y=10
3
，
所以S2=x+4y=10
3
．
考点：勾股定理的证明．
12．125 【分析】 解方程222225,7a b a b +=-=可求得a=4，b=3，故三角形ABC 是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高.
【详解】
解：∵222225,7a b a b +=-=，
将两个方程相加得：2232a =，
∵a ＞0，
∴a=4
代入得：22425b +=，
∵b ＞0，
∴b=3，
∵a=3，b=4，c=5满足勾股定理逆定理，
∴△ABC 是直角三角形，
如下图，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，
1122
ABC S
AC BC AB CD =⋅⋅=⋅⋅ ， 即：1134522
CD ⋅⋅=⋅⋅， 解得：CD=125
， 故答案为：125
. 【点睛】 本题考查求解三角形的高，解题关键是利用三角形的面积进行转化，在同一个三角形中，一个底乘对应高等于另一个底乘对应高.
13．1425+或825+【分析】
分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，在直角三角形ABD 与直角三角
形ACD 中，利用勾股定理求出BD 与DC 的长，由BD+DC 求出BC 的长，即可求出周长；如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，同理由BD -CD 求出BC 的长，即可求出周长．
【详解】
解：分两种情况考虑：
如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，
在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：BD=22226425AB AD -=-=， 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：CD=
2222543AC AD -=-=，
∴BC=253+， ∴△ABC 的周长为：652531425+++=+；
如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，
在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：22226425AB AD -=-= 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：2222543AC AD --=，
∴BC=253-， ∴△ABC 的周长为：65253825++=+ 综合上述，△ABC 的周长为：145+85+
故答案为：145+825+
【点睛】
此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 14．258
【分析】
先根据勾股定理求出AC 的长，再根据DE 垂直平分AC 得出FA 的长，根据相似三角形的判定定理得出△AFD ∽△CBA ，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【详解】
∵Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴2222AB +BC =3+4=5；
∵DE垂直平分AC，垂足为F，
∴FA=1
2
AC=
5
2
，∠AFD=
∠B=90°，
∵AD∥BC，∴∠A=∠C，
∴△AFD∽△CBA ，
∴
AD
AC
=
FA
BC
，即
AD
5
=
2.5
4
，解得AD=
25
8
；故答案为
25
8
．
【点睛】
本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
15．65
【分析】
由“SAS”可证ABD≌ACE ，DAF≌EAF 可得BD CE
=，4B
∠∠
=，
DF EF
=，由勾股定理可求EF的长，即可求BC 的长，由勾股定理可求AD的长．
【详解】
解：如图，连接EF，过点A作AG BC
⊥于点G ，
AE AD
⊥，
DAE DAC290
∠∠∠
∴=+=，
又BAC DAC190
∠∠∠
=+=，
12
∠∠
∴=，
在ABD和ACE中
12
AB AC
AD AE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
ABD
∴≌()
ACE SAS．
BD CE
∴=，4B
∠∠
=
BAC90
∠=，AB AC
=，
∴B345
∠∠
==
4B45
∠∠
∴==，
ECF3490
∠∠∠
∴=+=，
222
CE CF EF
∴+=，
222
BD FC EF
∴+=，
AF平分DAE
∠，
DAF EAF ∠∠∴=，
在DAF 和EAF 中
AD AE DAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
DAF ∴≌()EAF SAS ．
DF EF ∴=．
222BD FC DF ∴+=．
22222DF BD FC 68100∴=+=+=，
∴DF 10=
BC BD DF FC 610824∴=++=++=，
AB AC =，AG BC ⊥， 1BG AG BC
122
∴===， DG BG BD 1266∴=-=-=，
∴22AD AG DG 65=+=
故答案为65
【点睛】
考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
16．7
【解析】
【分析】
通过作辅助线转化BM ，MN 的值，从而找出其最小值求解．
【详解】
解：连接CN ，与AD 交于点M ．则CN 就是BM +MN 的最小值．取BN 中点E ，连接DE ，如图所示：
∵等边△ABC 的边长为6，AN ＝2，
∴BN ＝AC ﹣AN ＝6﹣2＝4，
∴BE ＝EN ＝AN ＝2，
又∵AD 是BC 边上的中线，
∴DE 是△BCN 的中位线，
∴CN ＝2DE ，CN ∥DE ，
又∵N 为AE 的中点，
∴M 为AD 的中点，
∴MN 是△ADE 的中位线，
∴DE ＝2MN ，
∴CN ＝2DE ＝4MN ，
∴CM ＝34
CN ．
在直角△CDM 中，CD ＝12BC ＝3，DM ＝12AD ＝2
，
∴CM =
∴CN ＝43=． ∵BM +MN ＝CN ，
∴BM +MN 的最小值为．
故答案是：
【点睛】
考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．
17．
【解析】
【详解】
∵（x-6）2=9，
∴x-6=±3，
解得：x 1=9，x 2=3，
∵x ，y 为一个直角三角形的两边的长，y=3，
∴当x=3时，x 、y =；
当x=9时，x 、y =；
当x=9时，x 为斜边、y 为直角边，则第三边为263922=-.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解决问题的关键，解题时注意一定不要漏解．
18．169
【解析】
解：由于a 、b 、c 都是正方形，所以AC =CD ，∠ACD =90°；
∵∠ACB +∠DCE =∠ACB +∠BAC =90°，即
∠BAC =∠DCE ，∠ABC =∠CED =90°，AC =CD ，∴△ACB ≌△DCE ，∴AB =CE ，BC =DE ；
在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC 2=AB 2+BC 2=AB 2+DE 2，即S b =S a +S c =22512+=169． 故答案为：169．
点睛：此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．
19．5
【分析】
根据图形的特征得出四边形MNKT 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，从而用x ，y 表示出1S ，2S ，3S ，得出答案即可．
【详解】
解：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， 正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，12310S S S ++=，
∴得出1
8S y x ，24S y x ，3S x =， 12331215S S S x y ，故31215x y
， 154=53
x y ， 所以2
45S x y ， 故答案为：5．
【点睛】 此题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用x ，y 表示出1S ，2S ，3S ，再利用12315S S S ++=求出是解决问题的关键．
20．32
【分析】
由题意设AM=2a ，BM=b ，则正方形ABCD 的面积=224a b ＋，由题意可知EF=(2a-b)-2（a-b)=2a-b-2a ＋2b=b ，由此分析即可．
【详解】
解：设AM=2a ．BM=b ．则正方形ABCD 的面积=224a b ＋
由题意可知EF=（2a-b)-2（a-b)=2a-b-2a ＋2b=b ，
∵AM 7EF ，
727,,2
a b a ∴== ∵正方形EFGH 的面积为4，
∴24b =，
∴正方形ABCD 的面积=2224+832.a b b ==
故答案为32.
【点睛】
本题考查正方形的性质、勾股定理以及线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
三、解答题
21．（1）4
23
；（2）以a 、b 、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，
【分析】
（1）根据二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质求出即可；
（2）先根据绝对值，偶次方、算术平方根的非负性求出a 、b 、c 的值，再根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再求出面积即可.
【详解】
解：（1）⎛÷ ⎝
=÷
=÷ ＝423
； （2）以a 、b 、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，
理由是：
∵a 、b 、c 满足2|a (c 0-=，
∴a ﹣＝0，﹣b ＝0，c 0，
∴a ＝，b ＝，c
∵，，
∴以a 、b 、c 为边能组成三角形，
∵a ＝，b ＝，c
∴a 2+b 2＝c 2，
∴以a 、b 、c 为边能构成直角三角形，直角边是a 和b ，
则此三角形的面积是
12
⨯. 【点睛】
此题考查了计算能力，掌握二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质，绝对
值，偶次方、算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理是解题的关键.
22．（1）BF 长为6；（2）CE 长为3，详细过程见解析．
【分析】
（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt △ABF 中，可由勾股定理求出BF 的长；
（2）设CE=x ，根据翻折可知，EF=DE=8-x ，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt △CEF 中，可由勾股定理求出CE 的长．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠B=90°，且AD=BC=10， 又∵AFE 是由ADE 沿AE 翻折得到的，
∴AF=AD=10，
又∵AB=8，
在Rt △ABF 中，由勾股定理得：，
故BF 的长为6．
（2）设CE=x ，
∵四边形ABCD 为矩形，
∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x ，
又∵△AFE 是由△ADE 沿AE 翻折得到的，
∴FE=DE=8-x ，
由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，
在Rt △CEF 中，由勾股定理得：222CF +CE =EF ，
∴2224+x =(8-x)，解得：x=3，
故CE 的长为3．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．
23．(1) 2516；（2）83t =或6；（3）当153,5,210t =或194
时，△BCP 为等腰三角形． 【分析】
（1）设存在点P ，使得PA PB =，此时2PA PB t ==，42PC t =-，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（2）当点P 在CAB ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，根据勾股定理列方程即可得到结论； （3）在Rt ABC 中，根据勾股定理得到4AC cm =，根据题意得：2AP t =，当P 在AC
上时，BCP 为等腰三角形，得到PC BC =，即423t -=，求得12
t =，当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，若CP PB =，点P 在BC 的垂直平分线上，如图2，过P 作
PE BC ⊥于E ，求得194t =，若PB BC =，即2343t --=，解得5t =，PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，由射影定理得；2BC BF AB =⋅，列方程
2234352
t --=
⨯，即可得到结论． 【详解】 解：在Rt ABC 中，5AB cm =，3BC cm =，
4AC cm ∴=， （1）设存在点P ，使得PA PB =，
此时2PA PB t ==，42PC t =-，
在Rt PCB 中，222PC CB PB +=，
即：222(42)3(2)t t -+=， 解得：2516
t =， ∴当2516
t =时，PA PB =； （2）当点P 在BAC ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，
此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，
在Rt BEP 中，222PE BE BP +=，
即：222(24)1(72)t t -+=-，
解得：83
t =， 当6t =时，点P 与A 重合，也符合条件，
∴当83
t =或6时，P 在ABC ∆的角平分线上； （3）根据题意得：2AP t =，
当P 在AC 上时，BCP 为等腰三角形，
PC BC ∴=，即423t -=，
12
t ∴=， 当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，
CP PB =①，点P 在BC 的垂直平分线上，
如图2，过P 作PE BC ⊥于E ，
1322BE BC ∴=
=， 12PB AB ∴=，即52342t --=，解得：194
t =， PB BC =②，即2343t --=，
解得：5t =，
PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，
12
BF BP ∴=， 90ACB ∠=︒，
由射影定理得；2BC BF AB =⋅，
即2234352
t --=⨯， 解得：5310t =
， ∴当15319,5,2104
t =或时，BCP 为等腰三角形． 【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．
24．（1）作图见解析，20DBC ∠=︒；（2）作图见解析，35BAC ∠=︒；（3）∠A =45°或90°或90°－2α或1
452
α︒-，或α＝45°时45°＜∠BAC ＜90°．
【分析】
（1）根据二分割线的定义，只要把∠ABC 分成90°角和20°角即可；
（2）可以画出∠A=35°的三角形；
（3）设BD 为△ABC 的二分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形；第二种情况：△BDC 是直角三角形，△ABD 是等腰三角形分别利用直角三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可．
【详解】
解：（1）ABC ∆关于点B 的二分割线BD 如图4所示，20DBC ∠=︒；
故答案为：20°；
（2）如图所示：∠BAC=35°；
（3）设BD 为△ABC 的二分割线，分以下两种情况．
第一种情况：△BDC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形，易知∠C 和∠DBC 必为底角， ∴∠DBC ＝∠C ＝α．
当∠A ＝90°时，△ABC 存在二分分割线；
当∠ABD ＝90°时，△ABC 存在二分分割线，此时∠A ＝90°－2α；
当∠ADB ＝90°时，△ABC 存在二分割线，此时α＝45°且45°＜∠A ＜90°；
第二种情况：△BDC 是直角三角形，△ABD 是等腰三角形，
当∠DBC ＝90°时，若BD ＝AD ，则△ABC 存在二分割线，此时
1809014522
A αα︒-︒-∠==︒-； 当∠BDC ＝90°时，若BD ＝AD ，则△ABC 存在二分割线，此时∠A ＝45°， 综上，∠A =45°或90°或90°－2α或1
452α︒-，或α＝45°时，45°＜∠BAC ＜90°．
【点睛】
本题考查的是二分割线的理解与作图，属于新定义题型，主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和定理等知识，正确理解二分割线的定义、熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解答的关键．
25．作图见解析，325
【分析】 作A 点关于BC 的对称点A'，A'A 与BC 交于点H ，再作A'M ⊥AB 于点M ，与BC 交于点N ，此时AN+MN 最小，连接AN ，首先用等积法求出AH 的长，易证△ACH ≌△A'NH ，可得A'N=AC=4，然后设NM=x ，利用勾股定理建立方程求出NM 的长，A'M 的长即为AN+MN 的最小值．
【详解】
如图，作A 点关于BC 的对称点A'，A'A 与BC 交于点H ，再作A'M ⊥AB 于点M ，与BC 交于点N ，此时AN+MN 最小，最小值为A'M 的长．
连接AN ，
在Rt △ABC 中，AC=4，AB=8，
∴2222AB AC =84=45++
∵11AB AC=BC AH 22
⋅⋅ ∴8545
∵CA ⊥AB ，A 'M ⊥AB ，
∴CA ∥A 'M
∴∠C=∠A 'NH ，
由对称的性质可得AH=A 'H ，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N
在△ACH 和△A'NH 中，
∵∠C=∠A 'NH ，∠AHC=∠A'HN ，AH=A 'H ，
∴△ACH ≌△A'NH （AAS ）
∴A'N=AC=4=AN ，
设NM=x ，
在Rt △AMN 中，AM 2=AN 2-NM 2=222416-=-x x
在Rt △AA'M 中，AA'=2AH=1655
，A 'M=A 'N+NM=4+x ∴AM 2=AA '2-A 'M 2=()221654-+⎝⎭
x ∴()2
221654=16-+-⎝⎭x x
解得125x = 此时AN MN +的最小值=A'M=A'N+NM=4+
125=325 【点睛】
本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．
26．（1）CF FH =，证明见解析；（2）依然成立，点E 与点C 之间的距离为333-．理由见解析.
【分析】
（1）做辅助线，通过已知条件证得ADG 与DEF 是等腰直角三角形．证出
CEF FGH ≌，利用全等的性质即可得到CF FH =.
（2）设AH ，DF 交于点G ，可根据ASA 证明△FCE ≌△HFG ，从而得到CF FH =，当ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==．利用勾股定理可以求DE 、CE 的长，即可求出CE 的长，即可求得点E 与点C 之间的距离．
【详解】
（1）CF FH =
证明：延长DF 交AB 于点G
∵在ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，
∴45A B ∠=∠=︒
∵DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，
∴90EDF ∠=︒，ADG 与DEF 是等腰直角三角形．
∴45AGD DEF ∠=∠=︒，AD DG =，90DCF CFD ∠+∠=︒，
∴135CEF FGH ∠=∠=︒，
∵点D 是AC 的中点，∴132
CD AD AC ===，∴CD DG = ∴CE FG =
∵FH CF ⊥于点F ，∴90CFG ∠=︒，∴90GFH CFD ∠+∠=︒
∴DCF GFH ∠=∠
∴CEF FGH ≌
∴CF FH =；
（2）依然成立
理由：设AH，DF交于点G，由题意可得出：DF=DE，
∴∠DFE=∠DEF=45°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠CBA=45°，
∵DF∥BC，
∴∠CBA=∠FGB=45°，
∴∠FGH=∠CEF=45°，
∵点D为AC的中点,DF∥BC，
∴DG=1
2
BC,DC=
1
2
AC，
∴DG=DC，
∴EC=GF，
∵∠DFC=∠FCB，
∴∠GFH=∠FCE，
在△FCE和△HFG中
CEF FGH
EC GF
ECF GFH
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△FCE≌△HFG(ASA)，
∴HF=FC.
由（1）可知ABC
△和CFH
△均为等腰直角三角形
当他们面积相等时，6
CF AC
==．
∴2233
DE DF CF CD
==-=
∴333
CE DE DC
=-=-
∴点E与点C之间的距离为333
-．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，学会利用全等和等腰三角形的性质，借助勾股定理解决问题.
27．（1）AB＝52）见解析；（3）CD+CF的最小值为7.
【分析】
（1）根据勾股定理可求AB 的长；
（2）过点D 作DF ⊥AO ，根据等腰三角形的性质可得OF ＝EF ，根据轴对称的性质等腰直角三角形的性质可得AF ＝DF ，设OF ＝EF ＝x ，AE ＝4﹣2x ，根据勾股定理用参数x 表示 DE ，CE 的长，即可证CE ＝2DE ；
（3）过点B 作BM ⊥OB ，在BM 上截取BM ＝AO ，过点C 作CN ⊥BM ，交MB 的延长线于点N ，根据锐角三角函数可得∠ABO ＝30°，根据轴对称的性质可得AC ＝AO ＝4，BO ＝BC ＝43，∠ABO ＝∠ABC ＝30°，∠OAB ＝∠CAB ＝60°，根据“SAS ”可证
△ACF ≌△BMD ，可得CF ＝DM ，则当点D 在CM 上时，CF +CD 的值最小，根据直角三角形的性质可求CN ，BN 的长，根据勾股定理可求CM 的长，即可得CF +CD 的最小值．
【详解】
（1）∵点A （0，4），B （m ，0），且m ＝8，
∴AO ＝4，BO ＝8，
在Rt △ABO 中，AB ＝2245AO BO +=
（2）如图，过点D 作DF ⊥AO ，
∵DE ＝DO ，DF ⊥AO ，
∴EF ＝FO ， ∵m ＝4，
∴AO ＝BO ＝4， ∴∠ABO ＝∠OAB ＝45°，
∵点C ，O 关于直线AB 对称，
∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°，AO ＝AC ＝OB ＝BC ＝4，
∴∠CAO ＝∠CBO ＝90°，
∵DF ⊥AO ，∠BAO ＝45°，
∴∠DAF ＝∠ADF ＝45°，
∴AF ＝DF ，
设OF ＝EF ＝x ，AE ＝4﹣2x ，
∴AF ＝DF ＝4﹣x ，
在Rt △DEF 中，DE ()2222242816EF DF x x x x +=
+-=-+ 在Rt △ACE 中，CE ()()
2222164222816AC AE x x x +=+-=-+ ∴CE 2DE ，
（3）如图，过点B 作BM ⊥OB ，在BM 上截取BM ＝AO ，过点C 作CN ⊥BM ，交MB 的延
长线于点N，
∵m＝3，∴OB＝3
∴tan∠ABO＝
3
43
AO
BO
==，
∴∠ABO＝30°
∵点C，O关于直线AB对称，
∴AC＝AO＝4，BO＝BC＝3，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠OAB＝∠CAB＝60°，
∴∠CAF＝120°，∠CBO＝60°
∵BM⊥OB，∠ABO＝30°，
∴∠ABM＝120°，
∴∠CAF＝∠ABM，且DB＝AF，BM＝AO＝AC＝4，
∴△ACF≌△BMD（SAS）
∴CF＝DM，
∵CF+CD＝CD+DM，
∴当点D在CM上时，CF+CD的值最小，
即CF+CD的最小值为CM的长，
∵∠CBO＝60°，BM⊥OB，
∴∠CBN＝30°，且BM⊥OB，BC＝3
∴CN＝3BN3CN＝6，
∴MN＝BM+BN＝4+6＝10，
在Rt△CMN中，CM2247
CN MN
+=，
∴CD+CF的最小值为7.
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，最短路径问题等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
28．(1)见解析(2) 见解析(3) 见解析（4）5
【解析】
【分析】
（1）由D是AB中点知AD=BD，结合DG=DF，∠ADG=∠BDF即可得证；
（2）连接EG ．根据垂直平分线的判定定理即可证明．
（3）由△ADG ≌△BDF ，推出∠GAB =∠B ，推出∠EAG =90°，可得EF 2=（8-x ）2+y 2，EG 2=x 2+（6-y ）2，根据EF =EG ，可得（8-x ）2+y 2=x 2+（6-y ）2，由此即可解决问题． （4）由EF =22
EC CF +=2247(8)()33x x -+-=
225(4)259
x -+知x =4时，取得最小值．
【详解】
解：（1）∵D 是边AB 的中点，
∴AD =BD ，
在△ADG 和△BDF 中， ∵AD BD ADG BDF DG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADG ≌△BDF （SAS ）；
（2）如图，连接EG ．
∵DG =FD ，DF ⊥DE ，
∴DE 垂直平分FG ．
∴EF =EG ．
（3）∵D 是AB 中点，
∴AD =DB ，
∵△ADG ≌△BDF ，
∴∠GAB =∠B
∵AB =10,BC =6,AC =8.
∴2AB = 2BC + 2AC
∴∠ACB =90°，
∴∠CAB +∠B =90°，∠CAB +∠GAB =90°，
∴∠EAG =90°，
∵AE =x ，AC =8，
∴EC =8-x ，
∵∠ACB =90°，
∴EF 2=（8-x ）2+y 2，
∵△ADG ≌△BDF ，
∴AG =BF ，
∵CF =y ，BC =6，
∴AG =BF =6-y ，
∵∠EAG =90°，
∴EG 2=x 2+（6-y ）2，
∵EF =EG ，
∴（8-x ）2+y 2=x 2+（6-y ）2，
∴y =473x -，（74＜x ＜254
）． （4）∵EC =8-x ，CF =y =
43x -73，
∴EF
=
=
= ∵（x -4）2≥0， ∴
225(4)259x -+≥25， ∴当x =4时，EF 取得最小值，最小值为5．
故线段EF 的最小值为5．
【点睛】
本题是三角形综合题，主要考查勾股定理以及逆定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
29．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
()1由等边三角形的性质可求6AB BC ==，132
BG BC ==，1DG =，由勾股定理可求AG ，AD 的长；
()2①想法1：过点A 作AM DF ⊥于点M ，作AH DE ⊥，交DE 的延长线于点H ，由角平分线的性质可得AH AM =，由“AAS ”可证Rt AHE ≌Rt AMF ，可得AE AF =； 想法2：延长DE 至N ，使DN DF =，由“SAS ”可证ADN ≌ADF ，可得AN AF =，AFD N ∠=∠，由四边形内角和为360，可得AEN AFD N ∠=∠=∠，可得。