2016秋数学北师大版必修4练习：2.7.1-2 点到直线的距离公式 向量的应用举例 含解析

[A基础达标］
错误!一个人骑自行车行驶速度为v1,风速为v2，则逆风行驶的速度的大小为（）
A．v1－v2B．v1＋v2
C．｜v1|－|v2| D。

错误!
解析：选C。

根据速度的合成可知．
错误!若错误!＝（2,2）,错误!＝（－2，3)分别表示F1，F2，则｜F1＋F2|为( ）
A．（0，5）B．25
C．2错误!D．5
解析：选D.因为F1＋F2＝（0,5)，
所以｜F1＋F2|＝错误!＝5。

错误!过点A（2，3)且垂直于向量a＝（2，1)的直线方程为( ) A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0
解析：选A。

设所求直线上任一点P（x，y）,则错误!⊥a.
又因为AP→＝（x－2，y－3）,
所以2(x－2)＋（y－3）＝0，
即所求的直线方程为2x＋y－7＝0。

错误!若A i(i＝1,2，3，4，…，n)是△AOB所在平面内的点，且错误!·错误!＝错误!·错误!.
给出下列说法:
①｜错误!|＝｜错误!｜＝…＝｜错误!｜＝｜错误!|;
②|错误!｜的最小值一定是|错误!|;
③点A、A i在一条直线上．
其中正确的个数是( ）
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B。

由错误!·错误!＝错误!·错误!，
可得(错误!－错误!）·错误!＝0，即错误!·错误!＝0，
所以错误!⊥错误!，即点A i在边OB过点A的垂线上．
故三个命题中,只有③正确,故选B。

5．已知△ABC中，A（2，－1），B(3，2），C（－3，－1），BC
边上的高为AD，则错误!等于( )
A．（－1,2）B．（1，－2）
C．（1，2) D．(－1，－2）
解析：选A。

设D(x，y）,则错误!＝（x－2，y＋1）,错误!＝（x－3，
y－2)，错误!＝(－6，－3）．
因为错误!⊥错误!,错误!∥错误!.
所以错误!解得错误!所以错误!＝（－1，2)．
错误!已知三个力F1＝（3，4)，F2＝(2，－5）,F3＝（x,y）,满足F1＋F2＋F3＝0，若F1与F2的合力为F，则合力F与力F1夹角的余弦
值为________．
解析：因为F1＋F2＋F3＝0,F1＋F2＝F，
所以F＝－F3,因为F3的坐标为（－5,1），
所以F＝－F3＝（5，－1)，
设合力F与力F1的夹角为θ，
则cos θ＝错误!＝错误!＝错误!.
答案：错误!
错误!已知A,B是圆心为C，半径为错误!的圆上两点,且|AB｜＝错误!,则错误!·错误!等于________．
解析：由已知得△ABC为正三角形，向量错误!与错误!的夹角为
120°。

所以错误!·错误!＝错误!·错误!cos 120°＝－错误!。

答案：－错误!
8．已知｜a|＝错误!,|b｜＝4,｜c｜＝2错误!，且a＋b＋c＝0，则a·b
＋b·c＋c·a＝________．
解析：（a＋b＋c）2＝｜a｜2＋｜b｜2＋|c｜2＋2(a·c＋b·c＋a·b）＝0,所以a·b＋b·c＋c·a＝－错误!.
答案：－错误!
9．在△ABC中，错误!·错误!＝｜错误!－错误!｜＝6,M为BC边的中点，求中线AM的长．
解：因为|错误!－错误!｜＝6，所以（错误!－错误!)2＝36。

即错误!2＋错误!2－2错误!·错误!＝36.
又因为错误!·错误!＝6，所以错误!2＋错误!2＝48.
又因为错误!＝错误!（错误!＋错误!)，
所以错误!2＝错误!（错误!2＋错误!2＋2错误!·错误!）＝错误!×（48＋12)＝15，
所以｜错误!|＝错误!，即中线AM的长为错误!。

10．已知点A（－1，0），B(0,1)，点P（x,y）为直线y＝x－1上的一个动点．
(1)求证:∠APB恒为锐角；
(2）若四边形ABPQ为菱形，求错误!·错误!的值．
解：（1）证明：因为点P（x，y)在直线y＝x－1上，
所以点P(x，x－1)，
所以错误!＝(－1－x,1－x），错误!＝（－x,2－x),
所以错误!·错误!＝2x 2－2x ＋2＝2（x 2－x ＋1）
＝2错误!＞0,
所以cos∠APB ＝错误!＞0，
若A ,P ，B 三点在一条直线上，则错误!∥错误!，
得到（x ＋1）（x －2)－（x －1）x ＝0,方程无解,
所以∠APB ≠0，所以∠APB 恒为锐角．
（2）因为四边形ABPQ 为菱形，所以｜错误!|＝｜错误!|，
即错误!＝错误!,
化简得到x 2－2x ＋1＝0，
所以x ＝1，所以P （1,0），
设Q (a ,b )，因为错误!＝错误!，
所以(a －1,b )＝（－1，－1），所以⎩
⎨⎧a ＝0，，b ＝－1， 所以错误!·错误!＝（0，－2）·（1,－1）＝2.
[B 能力提升］
1．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行,直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40 m/s ，则鹰的飞行速率为（ )
A.错误! m/s
B 。

错误! m/s
C 。

错误! m/s
D 。

错误! m/s
解析：选C。

设鹰的飞行速度为v1，鹰在地面上的影子的速度为v2，则v2＝40 m/s，因为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下,故｜v1|＝错误!＝错误!（m/s)，故选C。

2．已知△ABC的面积为10，P是△ABC所在平面上的一点，满足错误!＋错误!＋2错误!＝3错误!，则△ABP的面积为________．解析：由错误!＋错误!＋2错误!＝3错误!，得错误!＋错误!＋2错误!＝3（错误!－错误!)，所以4错误!＋2（错误!－错误!）＝0，所以2错误!＝错误!,由此可得PA 与CB平行且|CB｜＝2｜PA｜,故△ABP的面积为△ABC的面积的一半，故△ABP的面积为5。

答案：5
3．在平面直角坐标系xOy中，已知向量错误!＝（6，1）,错误!＝（x,y），错误!＝（－2，－3),且错误!∥错误!。

（1)求x与y间的关系；
(2)若错误!⊥错误!，求x与y的值及四边形ABCD的面积．
解：(1)由题意得错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝（x＋4，y－2）,错误!＝（x，y)，
因为错误!∥错误!，所以（x＋4）y－(y－2）x＝0，
即x＋2y＝0.①
(2）由题意得错误!＝错误!＋错误!＝(x＋6，y＋1),
错误!＝错误!＋错误!＝（x－2,y－3）,
因为错误!⊥错误!，所以错误!·错误!＝0,
即（x＋6)（x－2）＋(y＋1）（y－3）＝0，
即x2＋y2＋4x－2y－15＝0，②
由①②得错误!或错误!
当错误!时，错误!＝（8，0),错误!＝（0，－4),
则S四边形ABCD＝错误!|错误!｜｜错误!|＝16，
当错误!时,错误!＝（0，4）,错误!＝（－8,0),
则S四边形ABCD＝错误!｜错误!｜｜错误!|＝16，
综上错误!或错误!
四边形ABCD的面积为16。

4．(选做题)已知e1＝（1，0)，e2＝（0,1），现有动点P从P0（－1，2）开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动,速度为｜e1＋e2｜；另一动点Q从Q0（－2,－1)开始,沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e1＋2e2｜，设P、Q在t＝0 s时分别在P0、Q0处,问当错误!⊥错误!时所需的时间为多少？
解：e1＋e2＝（1，1）,｜e1＋e2｜＝错误!，
其单位向量为错误!；
3e1＋2e2＝(3，2），｜3e1＋2e2|＝错误!，
其单位向量为错误!.
依题意,|错误!|＝错误!t，｜错误!｜＝错误!t,
所以错误!＝｜错误!｜错误!＝(t,t),
错误!＝｜错误!|错误!＝(3t，2t），
由P0（－1，2)，Q0（－2，－1），
得P(t－1，t＋2），Q（3t－2,2t－1)，
所以错误!＝（－1,－3），错误!＝(2t－1，t－3），因为错误!⊥错误!，所以错误!·错误!＝0，
即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2.
即当错误!⊥错误!时所需的时间为2 s。