高考理科数学二轮复习《函数与方程》检测试卷及答案解析

课时跟踪检测（五）基本初等函数、函数与方程
[A 级——“12＋4”保分小题提速练]
1．若f (x )是幂函数，且满足f (9)
f (3)
＝2，则1
9＝(
)
A.12
B.14C ．2
D ．4
2．(2017·云南模拟)设a ＝60.7，b ＝log 70.6，c ＝log 0.60.7，则a ，b ，c 的大小关系为(
)A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．c ＞a ＞b
D ．a ＞c ＞b
3．函数f (x )＝|log 2x |＋x －2的零点个数为(
)
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．(2017·河南适应性测试)函数y ＝a x －a (a ＞0，a ≠1)的图象可能是(
)
5．已知奇函数y f (x )，x ＞0，
g (x )，x ＜0.
若f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)对应的图象如图所示，则g (x )＝(
)
12
－x
B 1
2x
C ．2－x
D ．－2x
6．已知f (x )＝a x 和g (x )＝b x 是指数函数，则“f (2)＞g (2)”是“a ＞b ”的(
)
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是(
)
A ．(－2，－1)
B ．(－1,0)
C ．(0,1)
D ．(1,2)
8．已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝(
)
A ．0
B ．2
C ．5
D ．7
9．(2018届高三·湖南四校联考)设函数f (x )log 2x ，x ＞0，g (x )，x ＜0，
若f (x )为奇函数，
则g －14(
)
A ．－
1
4
B.14
C ．－2
D ．2
10．(2017·杭州二模)已知直线x ＝m (m ＞1)与函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，g (x )＝log b x (b ＞0且b ≠1)的图象及x 轴分别交于A ，B ，C 三点，若AB ―→＝2BC ―→，则(
)A ．b ＝a 2B ．a ＝b 2C ．b ＝a 3
D ．a ＝b 3
11．已知f (x )2x ＋1，x ≤0，|ln x |，x ＞0，
则方程f [f (x )]＝3的根的个数是(
)
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3．12．(2017·合肥模拟)已知函数f (x )2x ＋1，x ＜0，
|12
x 2－2x ＋1
|
，x ≥0.方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0(b ≠0)有6个不同的实数解，则3a ＋b 的取值范围是
(
)A ．[6,11]B ．[3,11]C ．(6,11)
D ．(3,11)
13．函数y ＝log a (x －3)＋3(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点________．
解析：因为函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点(1,0)，所以函数y ＝log a (x －3)＋3(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点(4,3)．
答案：(4,3)
14．(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________.
15．已知函数f (x )为偶函数且f (x )＝f (x －4)，又在区间[0,2]上f (x )＝
x 2－3
2x ＋5，0≤x ≤1，
x ＋2－x
，1<x ≤2，
函数g (x )x |
＋a ，若F (x )＝f (x )－g (x )恰有2个
零点，则a ＝________.
16．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (毫克/升)与时间t (小时)的关系为P ＝P 0e －kt .如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．
[B 级——中档小题强化练]
1．(2017·福州模拟)已知a ＝16ln 8，b ＝1
2ln 5，c ＝ln 6－ln 2，则a ，b ，c 的大
小关系为(
)
A ．a ＜b ＜c
B ．a ＜c ＜b
C ．c ＜a ＜b
D ．c ＜b ＜a 2．已知函数f (x )＝ln e x －e －x
2
，则f (x )是(
)
A ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
B．奇函数，且在R上单调递增
C．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减D．偶函数，且在R上单调递减
3．(2017·西宁一检)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)1
2x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2
∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是()
－∞，－1
2 B.－∞，
1
4
C.1
2，＋∞ D.
1
4，＋∞
4．(2017·沈阳模拟)已知函数f(x)2x＋2
2，x≤1，
|log2(x－1)|，x＞1，
则函数F(x)＝f[f(x)]
－2f(x)－3
2的零点个数是()
A．4B．5
C．6D．7
5.(2018届高三·西安八校联考)如图所示，已知函数y＝log24x图象上的两点A，B和函数y＝log2x图象上的点C，线段AC平行于y轴，当△ABC为正三角形时，点B的横坐标为________．
6．已知函数f(x)＝|2x－a
2x
|在[0,1]上单调递增，则a的取值范围为________．
课时跟踪检测（五）基本初等函数、函数与方程[A级——“12＋4”保分小题提速练]
1．若f(x)是幂函数，且满足f(9)
f(3)＝2，则f 1
9＝()
A.1 2
B.1 4
C．2D．4
解析：选B设f(x)＝xα，由f(9)
f(3)＝
9α
3α＝3
α＝2，得α＝log32，∴f
1
9＝
1
932＝1
4
.
2．(2017·云南模拟)设a＝60.7，b＝log70.6，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为() A．c＞b＞a B．b＞c＞a
C．c＞a＞b D．a＞c＞b
解析：选D因为a＝60.7＞1，b＝log70.6＜0,0＜c＝log0.60.7＜1，所以a＞c＞b.
3．函数f(x)＝|log2x|＋x－2的零点个数为()
A．1B．2
C．3D．4
解析：选B函数f(x)＝|log2x|＋x－2的零点个数，就是方程
|log2x|＋x－2＝0的根的个数．
令h(x)＝|log2x|，g(x)＝2－x，画出两函数的图象，如图．
由图象得h(x)与g(x)有2个交点，∴方程|log2x|＋x－2＝0的解
的个数为2.
4．(2017·河南适应性测试)函数y＝a x－a(a＞0，a≠1)的图象可能是()
解析：选C由函数y＝a x－a(a＞0，a≠1)的图象过点(1,0)，得选项A、B、D一定不可能；C中0＜a＜1，有可能，故选C.
5．已知奇函数y＝f(x)，x＞0，
g(x)，x＜0.
若f(x)＝a x(a＞0，a≠1)对
应的图象如图所示，则g(x)＝()
A.1
2x B
1
2
C．2－x D．－2x
解析：选D由图象可知，当x＞0时，函数f(x)单调递减，则0＜a＜1，∵f(1)＝1 2
∴a＝1
2，即函数f(x)
1
2，当x＜0时，－x＞0，则f(－x)
1
2x＝－g(x)，即g(x)＝－
1
2
－x＝－2x，故g(x)＝－2x，x＜0，选D.
6．已知f(x)＝a x和g(x)＝b x是指数函数，则“f(2)＞g(2)”是“a＞b”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选C由题可得，a＞0，b＞0且a≠1，b≠1.
充分性：f(2)＝a2，g(2)＝b2，
由f(2)＞g(2)知，a2＞b2，
再结合y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，
可知a＞b，故充分性成立；
必要性：由题可知a＞b＞0，
构造函数h(x)＝f(x)
g(x)＝
a x
b x＝
a
b，显然a
b＞1，
所以h(x)单调递增，
故h(2)＝a2
b2＞h(0)＝1，
所以a2＞b2，故必要性成立．
7．函数f(x)＝e x＋x－2的零点所在的一个区间是()
A．(－2，－1)B．(－1,0)
C．(0,1)D．(1,2)
解析：选C法一：∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1
＞0，∴f(0)f(1)＜0，故函数f(x)＝e x＋x－2的零点所在的一个区间是(0,1)，
选C.
法二：函数f(x)＝e x＋x－2的零点，即函数y＝e x的图象与y＝－x＋2
的图象的交点的横坐标，作出函数y＝e x与直线y＝－x＋2的图象如图所示，由图可知选C.
8．已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝()
A ．0
B ．2
C ．5
D ．7
解析：选C
∵f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1＞0，且函数
f (x )＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上为单调递增函数，∴x 0∈[2,3]，即a ＝2，b ＝3，∴a ＋b ＝5.
9．(2018届高三·湖南四校联考)设函数f (x )log 2x ，x ＞0，g (x )，x ＜0，
若f (x )为奇函数，则
g －14(
)
A ．－
1
4
B.14
C ．－2
D ．2
解析：选D
法一：当x ＞0时，f (x )＝log 2x ，
∵f (x )为奇函数，
∴当x ＜0时，f (x )＝－log 2(－x )，即g (x )＝－log 2(－x )，∴g －14log 214＝2.
法二：－
14f －14f 1
4＝－log 214
＝－log 22－
2＝2.
10．(2017·杭州二模)已知直线x ＝m (m ＞1)与函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，g (x )＝log b x (b ＞0且b ≠1)的图象及x 轴分别交于A ，B ，C 三点，若AB ―→＝2BC ―→
，则(
)
A ．b ＝a 2
B ．a ＝b 2
C ．b ＝a 3
D ．a ＝b 3
解析：选C
由于AB ―→＝2BC ―→，则AC ―→＝3BC ―→
，则点A 的坐标为(m,3g (m ))，又点A
在函数f (x )＝log a x 的图象上，故log a m ＝3log b m ，即log a m ＝log b m 3，由对数运算可知b ＝a 3.
11．已知f (x )2x ＋1，x ≤0，|ln x |，x ＞0，
则方程f [f (x )]＝3的根的个数是(
)
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
解析：选B
令f (x )＝t ，则方程f [f (x )]＝3即为f (t )＝3，解得t ＝
e －3或e 3，作出函数
f (x )的图象(如图所示)，由图象可知方程f (x )＝e －3有3个解，f (x )＝e 3有2个解，则方程f [f (x )]＝3有5个实根．
12．(2017·合肥模拟)已知函数f (x )＝2x ＋1，x ＜0，
|12x 2
－2x ＋1
|
，x ≥0.方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝
0(b ≠0)有6个不同的实数解，则3a ＋b 的取值范围是(
)
A ．[6,11]
B ．[3,11]
C ．(6,11)
D ．(3,11)
解析：选D
作出函数f (x )的图象如图所示，
对于方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0，可令f (x )＝t ，那么方程根的个数就是f (x )＝t 1与f (x )＝t 2
的根的个数之和，结合图象可知，要使总共有6个根，需要一个方程有4个根，另一个方程有2个根，从而可知关于t 的方程t 2－at ＋b ＝0有2个根，分别位于区间(0,1)与(1,2)内，
b ＞0，
1－a ＋b ＜0，
4－2a ＋b ＞0，
画出可行域如图所示，目标函数z ＝3a ＋b 1－a ＋b ＝0，4－2a ＋b ＝0
的交点A (3,2)时取得最大值11，经过B (1,0)时取得最小值3.故3a ＋b 的取值范围为(3,11)．
13．函数y ＝log a (x －3)＋3(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点________．
解析：因为函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点(1,0)，所以函数y ＝log a (x －3)＋3(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点(4,3)．
答案：(4,3)
14．(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________.解析：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝12log 23＋1
3log 23log 32＋1
2log 32＝56log 23×3
2log 32＝54.答案：
5
4
15．已知函数f (x )为偶函数且f (x )＝f (x －4)，又在区间[0,2]上f (x )＝
x 2－3
2x ＋5，0≤x ≤1，
x ＋2－x
，1<x ≤2，
函数g (x )x |
＋a ，若F (x )＝f (x )－g (x )恰有2个零点，则a
＝________.
解析：由题意可知f (x )是周期为4的偶函数，画出函数f (x )与g (x )的大致图象(图略)．若F (x )＝f (x )－g (x )恰有2个零点，则有g (1)＝f (1)，解得a ＝2.
答案：2
16．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (毫克/升)与时间t (小时)的关系为P ＝P 0e
－kt
.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%
需要花费的时间为________小时．
解析：前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t ＝5时，P ＝0.9P 0，代入得(e －k )5＝0.9，
∴e －k
＝50.9＝0.915，∴P ＝P 0e －
kt ＝P 当污染物减少19%时，污染物剩下81%，
此时P ＝0.81P 0，代入得0.81t ＝10，即需要花费10小时．
答案：10
[B 级——中档小题强化练]
1．(2017·福州模拟)已知a ＝16ln 8，b ＝1
2ln 5，c ＝ln 6－ln 2，则a ，b ，c 的大小关系
为(
)A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a
解析：选B 因为a ＝16ln 8，b ＝1
2
ln 5，c ＝ln 6－ln 2，所以a ＝ln 2，b ＝ln 5，c ＝
ln
6
2
＝ln 3.又函数y ＝ln x 在(0，＋∞)上为单调递增函数，由2＜3＜5，得ln 2＜ln 3＜ln 5，所以a ＜c ＜b .
2．已知函数f (x )＝ln e x －e －
x
2
，则f (x )是(
)
A ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
B ．奇函数，且在R 上单调递增
C ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D ．偶函数，且在R 上单调递减解析：选A
要使函数有意义，则e x ＞e －x ，解得x ＞0，即函数的定义域是(0，＋∞)，
故函数是非奇非偶函数．又y ＝e x 与y ＝－e －x
在(0，＋∞)上递增，所以f (x )在(0，＋∞)上递
增，故选A.
3．(2017·西宁一检)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝1
2x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是(
)A.
－∞，－
12
B.－∞，
14
C.1
2，＋∞ D.1
4
，＋∞解析：选D
对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)⇔f (x 1)min ≥g (x 2)min .又f (x )min
＝f (0)＝0，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，则0≥14－m ，解得m ≥1
4
.
4．(2017·沈阳模拟)已知函数f (x )2x ＋2
2，x ≤1，|log 2(x －1)|，x ＞1，则函数F (x )＝f [f (x )]－2f (x )
－3
2
的零点个数是()
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析：选A
令f (x )＝t ，则函数F (x )可化为y ＝f (t )－2t －3
2
，则函数F (x )的零点问题可
转化为方程f (t )－2t －32＝0有根的问题．令y ＝f (t )－2t －32＝0，即f (t )＝2t ＋3
2，如图①，由
数形结合得t 1＝0,1＜t 2＜2，如图②，再由数形结合得，当f (x )＝0时，x ＝2，有1个解，当f (x )＝t 2时，有3个解，所以y ＝f [f (x )]－2f (x )－3
2
共有4个零点．
5.(2018届高三·西安八校联考)如图所示，已知函数y ＝log 24x 图象上的两点A ，B 和函数y ＝log 2x 图象上的点C ，线段AC 平行于y 轴，当△ABC 为正三角形时，点B 的横坐标为________．
高考理科数学二轮复习《函数与方程》检测试卷及答案解析
11解析：依题意，当AC ∥y 轴，△ABC 为正三角形时，|AC |＝log 24x －log 2x ＝2，点B 到直线AC 的距离为32
×2＝3，设点B (x 0,2＋log 2x 0)，则点A (x 0＋3，3＋log 2x 0)．由点A 在函数y ＝log 24x 的图象上，得log 24(x 0＋3)＝3＋log 2x 0，则4(x 0＋3)＝8x 0，x 0＝3，即点B 的横坐标是 3.
答案：3
6．已知函数f (x )＝|2x －a 2x |
在[0,1]上单调递增，则a 的取值范围为________．
解析：令2x ＝t ，t ∈[1,2]，则y ＝|t －a t |在[1,2]上单调递增．当a ＝0时，y ＝|t |＝t 在[1,2]上单调递增显然成立；当a >0时，函数y ＝|t －a t |
，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[a ，＋
∞)，此时a ≤1，即0<a ≤1时成立；当a <0时，函数y ＝|t －a t |＝t －a t ，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[－a ，＋∞)，此时－a ≤1，即－1≤a <0时成立．综上可得a 的取值范围是
[－1,1]．
答案：[－1,1]。