人教A版数学必修三练习：学业质量标准检测3

第三章学业质量标准检测
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是(C)
A．对立事件
B．不可能事件
C．互斥但不对立事件
D．既不互斥又不对立事件
[解析]甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．2．已知小红的钱包中有2枚“壹分”，2枚“贰分”，3枚“伍分”的硬币，她随意地从钱包中取出2枚硬币观察其面值．这一试验的基本事件总数n等于(A) A．6B．7
C．8D．9
[解析]由题意知，基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,5)，(2,2)，(2,5)，(5,5)，故6个，故选A．3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的是二等品或三等品”的概率为(D)
A．0.7B．0.65
C．0.35D．0.3
[解析]由题意知事件A、B、C互为互斥事件，记事件D＝“抽到的是二等品或三等品”，
则P (D )＝P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝0.2＋0.1＝0.3，故选D ．
4．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷56粒，则这批米内夹谷约为 ( B )
A ．1 365石
B ．336石
C ．168石
D ．134石
[解析] 设这批米内夹谷约为x 石，则根据题意得到x 1 524＝56
254
⇒x ＝336.
5．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( D )
A ．2
3
B ．2
5
C ．3
5
D ．910
[解析] 五人录用三人共有10种不同方式，分别为：{丙，丁，戊}，{乙，丁，戊}，{乙，丙，戊}，{乙，丙，丁}，{甲，丁，戊}，{甲，丙，戊}，{甲，丙，丁}，{甲，乙，戊}，{甲，乙，丁}，{甲，乙，丙}．
其中含甲或乙的情况有9种，故选D ．
6．一个袋子中装有编号分别为1,2,3,4的4个小球，现有放回地摸球，规定每次只能摸一个球，若第一次摸到的球的编号为x ，第二次摸到的球的编号为y ，构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为 ( A )
A ．3
16
B ．1
8
C ．1
18
D ．16
[解析] 由题意可知两次摸球得到的所有数对(x ，y )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)(4,3)，(4,4)，共16个，其中满足xy ＝4的数对有(1,4)，(2,2)，(4,1)，共3个．故所求事件的概率为316
.
7．设p 在[0,5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为( C ) A ．1
5
B ．2
5
C ．3
5
D ．45
[解析] 0≤p ≤5且方程有实根满足p 2－4≥0，则2≤p ≤5，所以对应的概率为P ＝5－2
5－0
＝35
. 8．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以7
10为概率的事件是( C )
A ．恰有2件一等品
B ．至少有一件一等品
C ．至多有一件一等品
D ．都不是一等品
[解析] 将3件一等品编号为1,2,3；2件二等品编号为4,5.从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P 1＝6
10；恰有2件一等品的
取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)，故恰有2件一等品的概率为P 2＝3
10，其对立事件是“至多有1
件一等品”，概率为P 3＝1－P 2＝1－310＝7
10
.
9．如图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为1
2的正方形ABCD ，向半圆内任投一点，
则该点落在正方形内的概率为( C )
A ．1
2
B ．1π
C ．1
2π
D ．1π
2
[解析] 设事件A 为“该点落在正方形内”，则S G ＝π2，SG 1＝(12)2＝1
4，
∴P (A )＝SG 1S G ＝1
4π2
＝1
2π
.
10．袋里装有大小相同的黑、白两色的手套，黑色手套3只，白色手套2只．现从中随机地取出2只手套，如果2只是同色手套则甲获胜，2只手套颜色不同则乙获胜．则甲、乙获胜的机会是( C )
A ．一样多
B ．甲多
C ．乙多
D ．不能确定
[解析] 乙获胜的概率为35，甲获胜的概率为2
5
，乙获胜的概率大于甲获胜的概率．
11．一个球形容器的半径为3 cm ，里面装满纯净水，因不小心混入了1个感冒病毒，从中任取1 mL 水含有感冒病毒的概率为( C )
A ．1
3
B ．1
3π
C ．1
36π
D ．49π
[解析] 纯净水的体积为4
3π×33＝36π(cm 3)＝36π(mL)，任取1 mL 水含有感冒病毒的概率
P ＝136π
.
12．为了调查某厂2 000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是( C )
A ．1
10
B ．7
15
C ．8
15
D ．1315
[解析] 根据频率分布直方图可知产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4，
设生产产品件数在[10,15)内的2人分别是A ，B ，设生产产品件数在[15,20)内的4人分别为C ，D ，E ，F ，
则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．
2位工人不在同一组的结果有(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，共8种．
则选取这2人不在同一组的概率为8
15
.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m ，第二次出现的点数记为n ，方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
mx ＋ny ＝32x ＋3y ＝2
只有一组解的概率是__1718__.
[解析] 方程组只有一组解，除了⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝3，⎩
⎪⎨⎪
⎧
m ＝4n ＝6.这两种情况之外都可以，故所求概率
P ＝6×6－26×6
＝17
18.
14．设A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{1,3,5,7,9}，集合C 是从A ∪B 中任取2个元素组成的集合，则C A ∩B 的概率是__3
28
__.
[解析] 由题意知，A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7,9}，含8个元素，A ∩B ＝{1,3,5}，含3个元素，从A ∪B 中任取2个元素，共有28种情况，从A ∩B 中任取2个元素，共有3种情况，所以C A ∩B 的概率P ＝3
28
.
15．为了调查新疆阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到这种动物400只作过标记后放回．一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中作过标记的有2只，估算该保护区有鹅喉羚__160 000__只．
[解析] 设保护区内有鹅喉羚x 只，每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的，所以400x ＝2
800，
解得x ＝160 000.
16．某校组织“中国诗词”竞赛，在“风险答题”的环节中，共为选手准备了A 、B 、C 三类不同的题目，选手每答对一个A 类、B 类或C 类的题目，将分别得到300分、200分、100分，但如果答错，则相应要扣去300分、200分、100分，根据平时训练经验，选手甲答对A 类、B 类或C 类题目的概率分别为0.6、0.75、0.85，若要每一次答题的平均分更大一些，则选手甲应选择的题目类型应为__B__.(填A 、B 或C )
[解析] 选手甲选择A 类题目，得分的均值为：0.6×300＋0.4×(－300)＝60； 选手甲选择B 类题目，得分的均值为：0.75×200＋0.25×(－200)＝100； 选手甲选择C 类题目，得分的均值为：0.85×100＋0.15×(－100)＝70， ∴若要每一次答题的平均分更大一些，则选手甲选择的题目类型应为B ．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)一个口袋内装有大小相同的1个白球和已编有号码的3个黑球，从中摸出2个球．
(1)共有多少种不同的结果？
(2)2个球均为黑球有多少种不同结果？ (3)2个球均为黑球的概率是多少？
[解析] (1)共有6种不同的结果，分别为(黑1，黑2)、(黑1，黑3)、(黑2，黑3)、(白，黑1)、(白、黑2)、(白、黑3)．
(2)2个球均为黑球有3种不同的结果．
(3)由于6种结果是等可能的，其中2个球均为黑球(记为事件A )有3种不同的结果， ∴P (A )＝36＝1
2
.
18．(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率．
[解析] (1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．
用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P (A )＝615＝2
5
.
(2)基本事件同(1)．用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P (B )＝8
15
.
19．(本小题满分12分)据《中国新闻网》10月21日报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3 600人进行调查(若所选择的在校学生的人数低于被调查人群总数的80%，则认为本次调查“失效”)，就“是否取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：
(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？
(2)已知y ≥657，z ≥55，求本次调查“失效”的概率．
[解析] (1)∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，∴120＋x
3 600＝0.05，解得x ＝60.
∴持“无所谓”态度的人数为3 600－2 100－120－600－60＝720.
∴应在持“无所谓”态度的人中抽取720×360
3 600
＝72人．
(2)∵y ＋z ＝720，且y ，z ∈N ，y ≥657，z ≥55，故满足条件的(y ，z )有(657,63)，(658,62)，(659,61)，(660,60)，(661,59)，(662,58)，(663,57)，(664,56)，(665,55)，共9种情况．
记本次调查“失效”为事件A ，若调查“失效”，则2 100＋120＋y <3 600×0.8，解得y <660.
∴事件A 包含(657,63)，(658,62)，(659,61)，共3种情况，∴P (A )＝39＝1
3
.
20．(本小题满分12分)某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级，现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下
(1)在抽取的20(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．
[解析] (1)由频率分布表得 0．05＋m ＋0.15＋0.35＋n ＝1. 即m ＋n ＝0.45.
由抽取的20零件中，等级为5的恰有2个得 n ＝2
20
＝0.1， 所以m ＝0.45－0.1＝0.35.
(2)由(1)得，等级为3的零件有3个，记为x 1，x 2，x 3，等级为5的零件有2个，记为y 1，y 2，从中任意抽取2个零件，所有可能结果为：(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 1，y 1)，(x 1，y 2)，(x 2，x 3)，(x 2，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 1)，(x 3，y 2)，(y 1，y 2)共计10种，记事件A 为“从零件x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取2件，其等级相等”，则A 包含的基本事件为(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 3)，(y 1，y 2)共4个．
故所求概率P (A )＝4
10
＝0.4.
21．(本小题满分12分)有一天，小明去公园玩，被公园门口的一种游戏所吸引，其游戏规则是：如图是一个转盘，游戏者免费转一下，转盘停止后，找到指针所指的数，从这一格的下一格开始，顺时针数与该数相同数目的格子停止，按照停止的格子上的提示得到或付出相应的钱数．你想来试试吗？
[解析] 假设指针所指的数为3，则按规则可得到3元(数字12位置中的奖励)，同理，指针所指的数为5,7,11,13,15中的一个时，同样可得3元．但指针所指的数为除3,5,7,11,13,15之外的数时，就要罚3元．例如，若指针所指的数为10，按规则从这一格的下一格开始数，顺时针数10个位置到位置16，则要罚3元．
设得到钱的概率为P 1，付出钱的概率为P 2，则 P 1＝616＝38，P 2＝1016＝58
.
上述概率说明，如果玩很多次的话，平均每8次能得到3×3＝9(元)，却要付出5×3＝15(元)，亏6元．所以玩的次数越多，亏得越多，建议这种游戏还是不玩为好．
22．(本小题满分12分)砂糖橘是柑橘类的名优品种，因其味甜如砂糖故名．某果农选取一片山地种植砂糖橘，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位：kg)，获得的所有数据按照区间[40,45]，(45,50]，(50,55]，(55,60]进行分组，得到频率分布直方图如图．已知样本中产量在区间(45,50]上的果树株数是产量在区间(50,60]上的果树株数的4
3
倍．
(1)求a 、b 的值；
(2)从样本中产量在区间(50,60]上的果树里随机抽取两株，求产量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中的概率．
[解析] (1)样本中产量在区间(45,50]上的果树有a ×5×20＝100a (株)，
样本中产量在区间(50,60]上的果树有(b ＋0.02)×5×20＝100(b ＋0.02)(株)，依题意，有100a ＝43×100(b ＋0.02)．即a ＝4
3
(b ＋0.02)．①
根据频率分布直方图可知 (0.02＋b ＋0.06＋a )×5＝1，②.
解①②组成的方程组得a ＝0.08，b ＝0.04.
(2)样本中产量在区间(50,55]上的果树有0.04×5×20＝4(株)，分别记为A 1，A 2，A 3，A 4，产量在区间(55,60]上的果树有0.02×5×20＝2(株)，分别记为B 1，B 2.
从这6株果树中随机抽取两株共有15种情况：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)．
其中产量在(55,60]上的果树至少有一株被抽中共有9种情况：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)．
记“从样本中产量在区间(50,60]上的果树里随机抽取两株，产量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中为事件M ”，则P (M )＝915＝35.
由Ruize收集整理。

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