2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第四章章末复习课

第四章导数应用
章末复习课
【学习目标】1•掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值2会用
导数解决一些简单的实际应用问题.
H知识梳理---------------------------
知识点一函数的单调性、极值与导数
1 •函数的单调性与导数
在某个区间(a, b)内，如果_____________ ，那么函数y= f(x)在这个区间内是增加的；如果
__________ ，那么函数y= f(x)在这个区间内是减少的.
2 •函数的极值与导数
(1)极大值：在点x= a附近，满足f(a)> f(x),当x<a时，______________ ,当x>a时，___________ ,则点a叫作函数的极大值点，f(a)叫作函数的极大值；
⑵极小值：在点x= a附近，满足f(a)w f(x),当x<a时， _____________ ,当x>a时，___________ ,则点a叫作函数的极小值点，f(a)叫作函数的极小值.
知识点二求函数y= f(x)在［a, b］上的最大值与最小值的步骤
1.求函数y= f(x)在(a, b)内的 ___________ .
2 •将函数y= f(x)的各极值与_______________________________________________________
比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
题型探究---------------------------
类型一导数中的数形结合思想
例1已知函数y = xf' (x)的图像如图所示(其中f' (x)是函数f(x)的导函数)，贝U y= f(x)的图像大致是()
反思与感悟研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要
素•对于原函数，要重点考查其图像在哪个区间内单调递增, 与原函数的单调区间是否一致. 在哪个区间内单调递减；而对
于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零, 在哪个区间内小于零，并考查这些区间
类型二构造函数求解
命题角度1比较函数值的大小 例2已知定义域为 R 的奇函数y = f(x)的导函数为y = f '
若 a = ?f (2), b =— ,2f(- 2), c = (In 》f(ln 寸)，则 a , b , A • a<c<b B • b<c<a C . a<b<c D • c<a<b 反思与感悟 本例中根据条件构造函数
g(x)= xf(x)，通过g ' (x)确定g(x)的单调性，进而确
定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数.
跟踪训练2 设f(x)、g(x)是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ' (x)g(x) — f(x)g ' (x)<0 , 则当a<x<b 时有(
)
A • f(x)g(x)>f(b)g(b)
B • f(x)g(a)>f(a)g(x)
C . f(x)g(b)>f(b)g(x)
D • f(x)g(x)>f(a)g(a) 命题角度2求解不等式
例3定义域为R 的可导函数y = f(x)的导函数f ' (x),满足f(x)<f ' (x)，且f(0) = 2,则不等 式f(x)>2e x 的解集为( )
A . (— a, 0)
B .(―汽 2)
C . (0 ,+a )
D . (2 ,+a )
反思与感悟 根据所求结论与已知条件，构造函数 g(x) =集，通过导函数判断
g(x)的单调
e
性，利用单调性得到 x 的取值范围.
跟踪训练3 函数f(x)的定义域为 R , f(— 1) = 2，对任意x € R , f ' (x)>2，贝U f(x)>2x + 4的 解集为( )
A . (— 1,1)
B . (— 1 ,+a )
C . (— a, — 1)
D . ( — m,+m )
类型三利用导数研究函数的极值与最值 例4 已知函数f(x)= x 3 + ax 2 + b 的图像上一点
P(1,0)，且在点P 处的切线与直线 3x + y = 0
跟踪训练1函数f(X )= ln x -
2x 2的大致图像是
(x),当 X M 0 时，f ' (x) + 氏<0,
x c 的大
小关系
平行.
(1)求函数f(x)的解析式；
⑵求函数f(x)在区间［0, t］(0<t<3)上的最大值和最小值；
⑶在(1)的结论下，关于x的方程f(x) = c在区间［1,3］上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围.
反思与感悟⑴求极值时一般需确定f' (x)= 0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定
单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．
(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．
跟踪训练4已知函数f(x)= ax3+ (a—1)x2+ 48(a—2)x+ b的图像关于原点成中心对称.
(1) 求a，b 的值；
(2) 求f(x)的单调区间及极值；
⑶当x€ [1,5]时，求函数的最值.
类型四导数的综合应用
例5 已知函数f(x) = x3—ax— 1.
(1) 若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；
(2) 是否存在实数a,使f(x)在(—1,1)上是减少的，若存在，求出a的取值范围，若不存在, 请说明理由.
4 7
反思与感悟在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f'(X)》0(或
f'(X)w 0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解)，然后检验参数的取值能否使f' (x)恒等于0,若能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f' (x)不能恒等于0, 则由f' (x) >0(或f' (x)< 0)恒成立解出的参数的取值范围来确定.
跟踪训练5 (1)若函数f(x)= 4x3—ax+ 3的单调递减区间是—?, * -则实数a的值是多少？
⑵若函数f(x)= 4x3—ax+ 3在―2, 1上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？
1. 已知函数f(x)= x3+ bx2+ cx的图像如图所示，
贝V x1 + x；等于()
8 C.3
2.
已知
f(x)
是定义在(0, )上的非负可导函数，且满足xf ' (x) + f(x )w 0，对任意的正数a , b , 若a<b ,则必有( ) A
. bf(b )w af(a) B . bf(a )w af(b) C
. af(a )w bf(b)
D . af(b) w bf(a)
3
. 设f ' (x)是函数f(x)的导函数， 将y = f(x)和y = f ' (x)的图像画在同一个直角坐标系中，
则 不可能正确的是( )
ax +1
4.
已知函数f(x)= 在(一2, +m
)内是减少的，则实数
a 的取值范围为 _________ .
x + 2
5. 已知函数f(x) = 2ln x +負a>0)，若当x € (0,+^ )时，f(x)>2恒成立，则实数 a 的取值 范围是 _________ .
厂规律与方法 --------------------------------- !
导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用， 例如函数的单调性、极值与最值
等问题，都可以通过导数得以解决.
不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，
还可以进
步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方 法.
16 D.亍
4 7
答案精析知识梳理
知识点一
1. f' (x)>0 f' (x)<0
2. (1)f' (x)>0 f' (x)<0 (2)f' (x)<0 f' (x)>0
知识点二
1. 极值
2. 端点处函数值f(a), f(b)
题型探究
例 1 C [当0<x<1 时，xf' (x)<0,
••• f' (x)<0，故y= f(x)在(0,1)上为减函数，
排除A、B选项.
当1<x<2 时，xf' (x)>0 ,
• f' (x)>0,
故y= f(x)在(1,2)上为增函数,
因此排除D.] 跟踪训练1 B [函数f(x)= In x-
1-x
f' (x)= 1 -x=
^x2的定义域为(0, ),
=2 X -X
x ■
令f' (x)>0，得1+ x 1-x >0.
x
又因为x>0，所以(1 + x)(1 —x)>0,
所以0<x<1.
同理，令f' (x)<0,解得x>1.
于是当0<x<1时，函数f(x)是增函数；
当x>1时，函数f(x)是减函数；
1
当x= 1时，f(x)=—2<0•结合以上特征可知应选
B.]
例 2 B [令g(x)= xf(x),
则g(- x) = (-x)f(- x)= xf(x),••• g(x)是偶函数.
g' (x)=
f(x) +
xf' (x),
•-f' (x)
+ 也
当x<0 时，xf' (x) + f(x)>0.
•g(x)在(0 ,+s)上是减函数.
2<1 n2<1<、2,
•g( 2)<g(ln 2)<g(》.
T g(x)是偶函数，
1
•g(- 2) = g( 2), g(ln ㊁)=g(ln 2),
1 1
•g(—2)<g(ln 2)<gg).
故选B.]
跟踪训练2 C [由条件，得
[gx]2
(a, b)上是减函数.
•但<也
<宜
g b g
• f(x)g(b)>f(b)g(x).]
例 3 C [设g(x)= ^4,
e
则g' (x)= f' X - fx
x
e
••• f(x)<f' (x), • g' (x)>0 ,
即函数g(x)单调递增.
•-f(0) = 2 ,••• g(0) = f(0)= 2,
则不等式等价于g(x)>g(0).
•••函数g(x)单调递增，
• x>0,即不等式的解集为(0,+^),
故选C.］
跟踪训练 3 B ［令g(x)= f(x)—2x—4, •/ f' (x)>2,
则g' (x) = f' (x) —2>0.
又由g( —1) = f( —1) — 2 X (—1) —4= 0,
得g(x)>0,
即g(x)>g( —1)的解为x>—1,
• f(x)>2x+ 4 的解集为(一1,+ a).］
例4 解(1)因为f' (x)= 3x2+ 2ax,曲线在P(1,0)处的切线斜率为f' (1) = 3+ 2a,即3+ 2a
=—3, a = — 3.
又函数过(1,0)点，即一2+ b = 0, b= 2.
3 2
所以a=—3, b = 2, f(x)= x —3x + 2.
3 2
(2) 由f(x) = x —3x + 2,得
f' (x)= 3x2—6x.
由f' (x)= 0,得x= 0 或x= 2.
①当0<t w 2 时，在区间(0, t)上，f' (x)<0, f(x)在［0 , t］上是减函数，所以f(x)max = f(0) = 2,
3 2
f(x) min =f(t) = t —3t + 2.
②当
f(x) min =f(2) = -2,
f(x) max 为f(0)与f(t)中较大的一个.
因为f(t)- f(0) = t3- 3t2= t2(t- 3)<0,
所以f(x) max =f(0) = 2.
3 2
(3) 令g(x)= f(x) —c= x —3x + 2 —c,
则g' (x) = 3x2—6x= 3x(x —2).
当x€ ［1,2)时，g' (x)<0 ; 当x€ (2,3］时，g' (x)>0.
要使g(x) = 0在［1,3］上恰有两个相异的实根，
g1》0，
则g 2 <0, 解得—2<c w 0.
g 3 > 0,
即实数c的取值范围为(一2,0］.
跟踪训练4解(1) •••函数f(x)的图像关于原点成中心对称, 则f(x)是奇函数，二f(—X)= —f(x),
即一ax3+ (a—1)x2—48(a—2)x+ b
=—ax3—(a—1)x2—48(a—2)x—b,
于是2(a—1)x + 2b = 0恒成立，
a —1= 0,
解得 a = 1, b = 0.
b = 0,
3
⑵由(1)得f(x) = x —48x,
• f' (x)= 3x2—48= 3(x+ 4)(x—4),
令f' (x)= 0,得X1 = —4, x2 = 4.
令f' (x)<0，得—4<x<4 ;令f' (x)>0 , 得x< － 4 或x>4.
f(x)的递减区间为(一4,4)，递增区间为(―g,— 4)和(4,+ a).
二f(x)极大值=f (—4) = 128,
f(x) 极小值= f(4)=—128.
(3)由(2)知,函数在[1,4]上是减少的,在[4,5]上是增加的, f(4)=—128, f(1)=—47, f(5)=—115 ,
•函数的最大值为—47,最小值为—128.
例 5 解(1)f' (x)= 3x2—a,
因为f(x)在R上是增函数，
所以f' (x) > 0在R上恒成立，
即3x2—a>0在R上恒成立.
即a w 3x2，而3x2> 0，所以a< 0.
当a= 0 时, f(x)= x3— 1 在R 上单调递增,符合题意.
所以 a 的取值范围是(—g, 0].
⑵假设存在实数a,使f(x)在(—1,1)上是减少的，
则f' (x)w 0在(—1,1)上恒成立.
即3x2—a w 0 在(—1,1)上恒成立,
即a>3x2,
又因为在(—1,1)上, 0<3x2<3,
所以a> 3.
2
当a= 3 时, f' (x)= 3x2—3,在(—1,1)上, f' (x)<0,
所以f(x)在(—1,1)上是减少的，
即a= 3 符合题意, 所以存在实数a，使f(x)在(—1,1)上是减少的，且a的取值范围是[3,+a).
跟踪训练 5 解(l)f ' (x)= 12X 2-a ,
••• x=W 为f ' (x)= 0的两个根,
a = 3. ⑵若f(x)在一1, 2上为单调增函数，则 f ' (x) >0在
即12x 2— a > 0在-2, 1上恒成立，
• a < 12x 2在—2, 1上恒成立，
2
• • a W (12x )min = 0.
当 a = 0 时，f ' (x)= 12x 2>0 恒成立(只有 x = 0 时 f ' (x) = 0).
• a = 0符合题意.
若f(x)在—1, *上为单调减函数，
则f ' (x)< 0在一2, 1上恒成立，
即12x 2— a < 0在—2, 1上恒成立，
• a > 12x 2在—2, 1上恒成立，
• a > (12x2)max = 3.
当 a = 3 时，f ' (x)= 12x 2 — 3= 3(4x 2— 1)W 0 恒成立(只有 x = g 时 f ' (x)= 0). 综上，a 的取值范围为(一a, 0] U [3 ,+s ).
当堂训练
1. C
2.A
3.D
4.(—a, 2)
5. [e ，+a ) •/f(x)的单调递减区间
为 2,
1
2,。