【步步高】2014-2015学年高中数学第一章 1.1.2余弦定理(一)导学案新人教A版必修5

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【教育资料】《步步高学案导学设计》-2014学年高中数学人教a版必修4【配套备课资源】第1章 1.2.1(一)学

§1.2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数(一)一、基础过关 1． sin 1 860°等于( )A.12B ．－12C.32D ．－32 2．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－23．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D ．54．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动23π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，12 5．设角α的终边经过点(－6t ，－8t ) (t ≠0)，则sin α－cos α的值是( )A.15B ．－15C ．±15D ．不确定6．已知sin θ·tan θ<0，则角θ位于第________象限．7．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________． 8．化简下列各式：(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4；(2)a 2sin 810°－b 2cos 900°＋2ab tan 1 125°. 二、能力提升9．已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为 ( )A.5π6 B.2π3 C.5π6D.11π610．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________.11．角α的终边上一点P 的坐标为(4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值． 12. 判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan ⎝⎛⎭⎫－23π4； (3)sin (cos θ)cos (sin θ)(θ为第二象限角)．三、探究与拓展13．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos 2θ答案1．C 2.C 3.A 4.A 5.C 6.二或三 7.－2<a ≤3 8．(1)原式＝－1 (2)原式＝(a ＋b )2 9．D 10.211．解由题意有x ＝4a ，y ＝－3a ，故r ＝(4a )2＋(－3a )2＝5|a |.(1)当a ＞0时，α是第四象限的角，所以 sin α＝y r ＝－3a 5a ＝－35，cos α＝x r ＝45，故2sin α＋cos α＝－25.(2)当a <0时，α是第二象限的角，所以 sin α＝y r ＝－3a －5a ＝35，cos α＝x r ＝－45，故2sin α＋cos α＝25.12．解 (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin 340°<0，cos 265°<0， ∴sin 340°cos 265°>0.(2)∵π<4<3π2，∴4是第三象限角，∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角．∴sin 4<0，tan ⎝⎛⎭⎫－23π4>0，∴sin 4tan ⎝⎛⎭⎫－23π4<0.(3)∵θ为第二象限角，∴0<sin θ<1<π2，－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0，cos(sin θ)>0， ∴sin (cos θ)cos (sin θ)<0.13．C。

【步步高学案导学设计】2014-2015学年高中数学(人教A版,必修二)第1章 1.1.2 课时作业]

1.1.2简单组合体的结构特征【课时目标】1．正确认识由柱、锥、台、球组成的简单几何体的结构特征．2．能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．1．定义：由____________________组合而成的几何体叫做简单组合体．2．组合形式一、选择题1．如图，由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是()A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B．该组合体仍然关于轴l对称C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D．该组合体中的球和半球只有一个公共点2．右图所示的几何体是由哪个平面图形通过旋转得到的()3．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是() A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥4．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由() A．一个圆台、两个圆锥构成B．两个圆台、一个圆锥构成C．两个圆柱、一个圆锥构成D．一个圆柱、两个圆锥构成5．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥组合体D．不能确定6．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是()A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(1)(5)二、填空题7．下列叙述中错误的是________．(填序号)①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．8．如图所示为一空间几何体的竖直截面图形，那么这个空间几何体自上而下可能是__________________．9．以任意方式截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是________．三、解答题10．如图是一个数学奥林匹克竞赛的奖杯，请指出它是由哪些简单几何体组合而成的．11．如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．能力提升12．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是()13．已知圆锥的底面半径为r，高为h，且正方体ABCD－A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长．组合体的结构特征有两种组成：(1)是由简单几何体拼接而成；(2)是由简单几何体截去一部分构成．要仔细观察组合体的组成，柱、锥、台、球是最基本的几何体．1．1．2简单组合体的结构特征答案知识梳理1．简单几何体2．截去或挖去一部分作业设计1．A2．A3．D4．D5．A6．D[一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．]7．①②③④ 8．圆台和圆柱(或棱台和棱柱) 9．球体10．解将该几何体分解成简单几何体可知，它是由一个球、一个四棱柱和一个四棱台组合而成．11．解先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：12．B 13．解如图所示，过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，设圆锥内接正方体的棱长为x ，则在轴截面中，正方体的对角面A 1ACC 1的一组邻边的长分别为x 和2x ．因为△V A 1C 1∽△VMN ，解得2x 2r ＝h －x h，所以2hx ＝2rh －2rx ，解得x ＝2rh2r ＋2h．即圆锥内接正方体的棱长为2rh2r ＋2h．。

【步步高】2014届高考数学一轮复习习题课正弦定理与余弦定理备考练习苏教版

习题课正弦定理与余弦定理一、基础过关1．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝44°，则此三角形解的情况为________．2．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，sin C ＝________. 3．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝________.4．若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝________.5．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．6．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________．7．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin A －B sin C. 8．在△ABC 中,a ,b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．二、能力提升9．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是________．(从“锐角”、“直角”、“钝角”中选择)10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．11．在△ABC 中，已知a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C ＝________.12．已知△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝(sin C ，sin B cos A )，n ＝(b,2c )，且m ·n ＝0.(1)求A 的大小；(2)若a ＝23，c ＝2，求△ABC 的面积S 的大小．三、探究与拓展 13．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，求tan C tan A ＋tan C tan B的值．答案1．两解 2.23913 3. 2 4.11165. 3 6．12 7．证明右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin A sin C ·cos B －sin B sin C ·cos A ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c2 ＝左边．所以a 2－b 2c 2＝sin A －Bsin C .8．解 (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .①由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以cos A ＝－12，故A ＝120°.(2)由①得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，又sin B ＋sin C ＝1，故sin B ＝sin C ＝12.因为0°＜B ＜90°，0°＜C ＜90°，故B ＝C .所以△ABC 是等腰钝角三角形．9．锐角 10.π6 11.45°或135°12．解 (1)∵m ·n ＝0，∴(sin C ，sin B cos A )·(b,2c )＝0.∴b sin C ＋2c sin B cos A ＝0.∵b sin B ＝csin C ，∴bc ＋2bc cos A ＝0.∵b ≠0，c ≠0，∴1＋2cos A ＝0.∴cos A ＝－12.∵0＜A ＜π，∴A ＝2π3.(2)在△ABC 中，∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴12＝b 2＋4－4b cos 2π3.∴b 2＋2b －8＝0.∴b ＝－4(舍)或b ＝2.∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×2×32＝ 3.13．解由b a ＋ab ＝6cos C 得b 2＋a 2＝6ab cos C .化简整理得2(a 2＋b 2)＝3c 2，将tan C tan A ＋tan Ctan B 切化弦，得sin C cos C ·(cos A sin A ＋cos Bsin B )＝sin C cos C ·sin A ＋Bsin A sin B＝sin C cos C ·sin Csin A sin B＝sin 2Ccos C sin A sin B .根据正、余弦定理得sin 2C cos C sin A sin B＝c 2ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 232c 2－c 2＝4. 故tan C tan A ＋tan C tan B ＝4.。

【步步高学案导学设计】2014-2015学年高中数学(人教A版,必修四) 第一章三角函数 1.6 课时作业]

§1.6 三角函数模型的简单应用课时目标 1.会解三角形和利用三角形建立数学模型，解决实际问题.2.会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．1．三角函数的周期性y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝________； y ＝A cos(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝________； y ＝A tan(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝________. 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的性质 (1)y max ＝________，y min ＝________.(2)A ＝________________，k ＝________________________________. (3)ω可由________________确定，其中周期T 可观察图象获得．(4)由ωx 1＋φ＝________，ωx 2＋φ＝________，ωx 3＋φ＝______，ωx 4＋φ＝____________，ωx 5＋φ＝________中的一个确定φ的值． 3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．一、选择题1. 如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A.150 sB.1100s C ．50 s D ．100 s 2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) B ．f (x )＝9sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N *) C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)3．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( ) A ．3或0 B ．－3或0 C ．0 D ．－3或34. 如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )5．设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]B ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0,24]D ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫πt ＋π，t ∈[0,24]6．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝⎛⎭⎫23，34内，则正整数m 的值是________． 7．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________． 8．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式时s ＝3cos ⎝⎛⎭⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l 等于________．三、解答题9. 如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？10据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数型y＝A sin ωt＋B的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y＝A sin ωt＋B的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)能力提升11．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(2，－2)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为()12．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝__________，其中t ∈[0,60].1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用． 2．三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．§1.6 三角函数模型的简单应用答案知识梳理 1.2π|ω| 2π|ω| π|ω|2．(1)A ＋k －A ＋k (2)y max －y min 2 y max ＋y min 2 (3)ω＝2πT (4)0 π2 π 32π 2π3．周期作业设计 1．A 2.A3．D [因为f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以直线x ＝π6是函数f (x )图象的对称轴．所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6ω＋φ＝3sin ⎝⎛⎭⎫k π＋π2＝±3.因此选D.] 4．C [d ＝f (l )＝2sin l2.]5．A [在给定的四个选项A 、B 、C 、D 中，我们不妨代入t ＝0及t ＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.] 6．26,27,28解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34，∴8π<m <9π，且m ∈Z ，∴m ＝26,27,28. 7．80解析 T ＝2π160π＝180(分)，f ＝1T＝80(次/分)．8.g 4π2 解析 T ＝2πgl＝1.∴ g l ＝2π.∴l ＝g4π2.9．解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝⎛⎭⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6.由OP 在时间t (s)内所转过的角为⎝⎛⎭⎫5×2π60t ＝π6t . 由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋2.当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2.(2)令z ＝4sin ⎝⎛⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＝1，令π6t －π6＝π2，得t ＝4，故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.10．解 (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B 的一个周期为12小时，因此ω＝2πT ＝π6.又y min ＝7，y max ＝13，∴A ＝12(y max －y min )＝3，B ＝12(y max ＋y min )＝10.∴函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10 (0≤t ≤24)．(2)由题意，水深y ≥4.5＋7，即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0,24]，∴sin π6t ≥12，π6t ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0,1， ∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．11．C [∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝π4.按逆时针转时间t 后得∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4，此时P 点纵坐标为2sin(t －π4)，∴d ＝2|sin(t －π4)|.当t ＝0时，d ＝2，排除A 、D ；当t ＝π4时，d ＝0，排除B.]12．10sin πt60解析将解析式可写为d ＝A sin(ωt ＋φ)形式，由题意易知A ＝10，当t ＝0时，d ＝0，得φ＝0；当t ＝30时，d ＝10，可得ω＝π60，所以d ＝10sin πt60.。

《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版必修5【配套备课资源】1.1.2(一)

填一填·知识要点、记下疑难点
1.1.2（一）
1．余弦定理
平方平方三角形中任何一边的______等于其他两边的______和减去这两
本课时栏目开关
夹角 b ＋c 两倍边与它们______的余弦的积的______．即a2＝____________ 2 2 －2bccos A a2＋b2 a2＋c2－2accos B ___________，b ＝______________________，c ＝_________
解 ∵c>a，c>b，∴角 C 最大．由余弦定理，
本课时栏目开关
得 c2＝a2＋b2－2abcosC，
1 即 37＝9＋16－24cosC，∴cosC＝－2，
∵0° <C<180° ，∴C＝120° .
∴△ABC 的最大内角为 120° . 小结已知三边求三角时，余弦值是正值时，角是锐角，余弦值是负值时，角是钝角．
我们知道已知两边和一边的对角，或者已知两角和一角的对边
定理及其应用．
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一问题利用向量法证明余弦定理
1.1.2（一）
如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角
形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三
本课时栏目开关
角形.如何利用已知的两边和夹角计算出三角形的另一边呢? 探究如图所示,设 CB ＝a， CA ＝b, AB ＝c，
研一研·问题探究、课堂更高效
1.1.2（一）
跟踪训练 3 在△ABC 中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断三角形的形状．
解由余弦定理知 b2＋c2－a2 c2＋a2－b2 cosA＝，cosB＝， 2bc 2ca a2＋b2－c2 cosC＝， 2ab 代入已知条件得 b2＋c2－a2 c2＋a2－b2 c2－a2－b2 a· ＋b· ＋c· ＝0， 2bc 2ca 2ab

【步步高】2015届高考数学总复习正弦定理和余弦定理学案理北师大版

第五章解三角形与平面向量学案23正弦定理和余弦定理导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．自主梳理1．三角形的有关性质(1)在△ABC中，A＋B＋C＝________；(2)a＋b____c，a－b<c；(3)a>b⇔sin A____sin B⇔A____B；(4)三角形面积公式：S△ABC＝12ah＝12ab sin C＝12ac sin B＝_________________；(5)在三角形中有：sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或________________⇔三角形为等腰或直角三角形；sin(A＋B)＝sin C，sin A＋B2＝cosC2.2．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容________________＝2Ra2＝____________，b2＝____________，c2＝____________.变形形式①a＝__________，b＝__________，c＝__________；②sin A＝________，sin B＝________，sin C＝________；③a∶b∶c＝__________；④a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin Acos A＝________________；cos B＝________________；cos C＝_______________.解决①已知两角和任一边，求另一角和其他①已知三边，求各角；的问题两条边．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.自我检测1．(2010·上海)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形2．(2010·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C＝23sinB，则A等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．(2011·烟台模拟)在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，△ABC 的面积为3，则边a 的值为( ) A ．27 B.21 C.13D ．34．(2010·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2， sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．5．(2010·北京)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.探究点一正弦定理的应用例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ； (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c .变式迁移1 (1)在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________；(2)在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝________. 探究点二余弦定理的应用例2 (2011·咸宁月考)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a 2＋c 2－b 2＝ac .(1)求角B 的大小；(2)若c ＝3a ，求tan A 的值．变式迁移2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3，b ＝13，a ＋c ＝4，求a .探究点三正、余弦定理的综合应用例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．变式迁移3 (2010·天津)在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C .(1)证明：B ＝C ；(2)若cos A ＝－13，求sin ⎝⎛⎭⎫4B ＋π3的值．1．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用．2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．3．在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法．“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·湖北)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于 ( ) A ．－223B.223C ．－63D.632.在△ABC 中AB ＝3，AC =2，BC 10则AB → AC →等于 ( ) A ．－32B ．－23C.23D.323．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形4．(2011·聊城模拟)在△ABC 中，若A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，则角B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．135°D ．45°或135°5．(2010·湖南)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°， c ＝2a，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定题号 1 2 3 4 5 答案6．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 的形状为________________．7．(2010·广东)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.8．(2011·龙岩模拟)在锐角△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，且BD ∶DC ∶AD ＝2∶3∶6，则∠BAC 的大小为________．三、解答题(共38分)9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 25A =，AB →AC →=3. (1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值．10．(12分)(2010·陕西)在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．11．(14分)(2010·重庆)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc .(1)求sin A 的值；(2)求2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫B ＋C ＋π41－cos 2A的值．答案自主梳理1．(1)π (2)> (3)> > (4)12bc sin A (5)A ＋B ＝π2 2.a sin A ＝b sin B ＝csin C b 2＋c 2－2bc cos A a 2＋c 2－2ac cos B a 2＋b 2－2ab cos C ①2R sin A 2R sin B 2R sin C ②a 2R b2Rc2R ③sin A ∶sin B ∶sin C b 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 22ac a 2＋b 2－c 22ab自我检测 1．C 2.A 3.C4.π6 5.1 课堂活动区例1 解题导引已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况．具体判断方法如下：在△ABC 中．已知a 、b 和A ，求B .若A 为锐角，①当a ≥b 时，有一解；②当a ＝b sin A 时，有一解；③当b sin A <a <b 时，有两解；④当a <b sin A 时，无解．若A 为直角或钝角，①当a >b 时，有一解；②当a ≤b 时，无解．解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，sin A ＝32. ∵a >b ，∴A >B ，∴A ＝60°或A ＝120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， c ＝b sin Csin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝b sin C sin B ＝6－22.综上，A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22，或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22. (2)∵B ＝60°，C ＝75°，∴A ＝45°. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得b ＝a ·sin B sin A ＝46，c ＝a ·sin C sin A ＝43＋4.∴b ＝46，c ＝43＋4. 变式迁移1 (1)102(2)60°或120°解析 (1)∵在△ABC 中，tan A ＝13，C ＝150°，∴A 为锐角，∴sin A ＝110. 又∵BC ＝1.∴根据正弦定理得AB ＝BC ·sin C sin A ＝102.(2)由b >a ，得B >A ，由a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin A a ＝25650×22＝32，∵0°<B <180° ∴B ＝60°或B ＝120°.例2 解 (1)∵a 2＋c 2－b 2＝ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)方法一将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a . 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝5714.∵0<A <π， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝2114， ∴tan A ＝sin A cos A ＝35.方法二将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a .由正弦定理，得sin B ＝7sin A . 由(1)知，B ＝π3，∴sin A ＝2114.又b ＝7a >a ，∴B >A ， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝5714.∴tan A ＝sin A cos A ＝35.方法三 ∵c ＝3a ，由正弦定理，得sin C ＝3sin A . ∵B ＝π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝2π3－A ，∴sin(2π3－A )＝3sin A ，∴sin2π3cos A －cos 2π3sin A ＝3sin A ， ∴32cos A ＋12sin A ＝3sin A ， ∴5sin A ＝3cos A ， ∴tan A ＝sin A cos A ＝35.变式迁移2 解由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac . 又∵a ＋c ＝4，b ＝13，∴ac ＝3，联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝4ac ＝3，解得a ＝1，c ＝3，或a ＝3，c ＝1.∴a 等于1或3.例3 解题导引利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．解方法一 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B ) ⇔a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦定理，得sin 2A cos A sin B ＝sin 2B cos B sin A ， ∴sin A sin B (sin A cos A －sin B cos B )＝0， ∴sin 2A ＝sin 2B ，由0<2A <2π，0<2B <2π，得2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即△ABC 是等腰三角形或直角三角形．方法二同方法一可得2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正、余弦定理，即得a 2b ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ×a 2＋c 2－b 22ac， ∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0， ∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴三角形为等腰三角形或直角三角形．变式迁移3 解题导引在正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R 中，2R 是指什么？a ＝2R sinA ，b ＝2R sinB ，c ＝2R sinC 的作用是什么？(1)证明在△ABC 中，由正弦定理及已知得 sin B sin C ＝cos Bcos C. 于是sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0.因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0.所以B ＝C .(2)解由A ＋B ＋C ＝π和(1)得A ＝π－2B ，故cos 2B ＝－cos(π－2B )＝－cos A ＝13.又0<2B <π，于是sin 2B ＝1－cos 22B ＝223.从而sin 4B ＝2sin 2B cos 2B ＝429， cos 4B ＝cos 22B －sin 22B ＝－79.所以sin ⎝⎛⎭⎫4B ＋π3 ＝sin 4B cos π3＋cos 4B sin π3＝42－7318.课后练习区1．D 2.D 3.B 4.B 5.A 6．等边三角形解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴ac ＝a 2＋c 2－ac ， ∴(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，又B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． 7．1解析由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°知，B ＝60°. 由正弦定理知，1sin A ＝3sin 60°，即sin A ＝12.由a <b 知，A <B ，∴A ＝30°，C ＝180°－A －B ＝180°－30°－60°＝90°，∴sin C ＝sin 90°＝1. 8.π4 解析设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β，则tan α＝13，tan β＝12， ∴tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋121－13×12＝1. ∵∠BAC 为锐角，∴∠BAC 的大小为π4. 9．解 (1)因为cos A 2＝255，所以cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45.……………………………………………………(4分) 又由AB →·AC →＝3得bc cos A ＝3，所以bc ＝5，因此S △ABC ＝12bc sin A ＝2.…………………………………………………………………(8分) (2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－165bc ＝20，所以a ＝2 5.………(12分) 10．解在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得，cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，…………………………………………………………………(6分) ∴∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.…………………………………………………………(8分) 在△ABD 中，AD ＝10，B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B， ∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.…………………………………………………………………………(12分) 11．解 (1)∵3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝423bc . 由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝223，……………………………………………(4分) 又0<A <π，故sin A ＝1－cos 2A ＝13.……………………………………………………(6分) (2)原式＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫π－A ＋π41－cos 2A………………………………………………………(8分) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫A －π42sin 2A＝2⎝⎛⎭⎫22sin A ＋22cos A ⎝⎛⎭⎫22sin A －22cos A 2sin 2A …………………………………………(11分) ＝sin 2A －cos 2A 2sin 2A ＝－72. 所以2sin (A ＋π4)sin (B ＋C ＋π4)1－cos 2A＝－72.……………………………………………………(14分)。

【步步高】2014-2015学年高中数学第一章 1.1.1正弦定理(二)导学案新人教A版必修5

1.1.1 正弦定理(二)课时目标1．熟记正弦定理的有关变形公式；2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 的常见变形：(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ； (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.2．三角形面积公式：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B .一、选择题1．在△ABC 中，sin A ＝sin B ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形答案 D2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案 B解析由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C .3．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，403 答案 D解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C .∴0<c ≤403.4．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形答案 A解析由a ＝2b cos C 得，sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0，∴B ＝C .5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6 答案 B解析 ∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6＝k (k >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝4k c ＋a ＝5k a ＋b ＝6k，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72kb ＝52kc ＝32k.∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.6．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12D ．4 答案 A解析设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，得R ＝1，由S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1.二、填空题7．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.答案 2 3解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3. 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝________.答案 2解析由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得3sin 60°＝1sin B，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a >b ，得A >B ，∴B ＝30°，故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.9．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2csin C＝________.答案 7解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝2， ∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C ＝2＋1＋4＝7. 10．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.答案 12 6解析 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12×63×12sin C ＝183，∴sin C ＝12，∴c sin C ＝asin A＝12，∴c ＝6.三、解答题11．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.证明因为在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B2R sin B －2R sin C cos A＝B ＋C －sin C cos B A ＋C －sin C cos A ＝sin B cos C sin A cos C ＝sin Bsin A＝右边．所以等式成立，即a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.12．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．解设三角形外接圆半径为R ，则a 2tan B ＝b 2tan A ⇔a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A ⇔4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2B sin A cos A⇔sin A cos A ＝sin B cos B ⇔sin 2A ＝sin 2B⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．能力提升13．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90° 答案 C解析设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°，∴sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A＝sin 120° cos A －cos 120°sin A sin A＝32tan A ＋12＝3＋12＝32＋12， ∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°. 14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .解 cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35，故B 为锐角，sin B ＝45.所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.。

【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考课件第一章§1.2.1顺序结构

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1．2.1
【学习要求】
顺序结构
1．了解常用流程图符号(输入输出框，处理框，判断框，起止
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框，流程线等)的意义； 2．能用流程图表示顺序结构； 3.能识别简单的流程图所描述的算法．【学法指导】通过实例理解流程图是算法的一种表达方式，弄清各种图形符号的意义，明确每个图形符号的使用环境，在学习用流程图描述算法的过程中，发展有条理地思考与表达的能力，提高逻辑思维能力.
解算法如下：
本课 S1 时栏目 S2 开关 S3
输入自变量 x 的值；计算 y←ln x；输出 y 的值．
流程图如图：
练一练·当堂检测、目标达成落实处
① 1．下面的流程图是顺序结构的是_______.
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解析
由于表示的是依次执行的几个步骤，故①为顺序
结构．
练一练·当堂检测、目标达成落实处
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 4 观察问题 2 中的流程图，你能知道这个流程图中包含算
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法的哪几种结构？
答包含了算法的顺序结构、选择结构和循环结构．
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二例1
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流程图中的顺序结构
写出作△ABC 的外接圆的一个算法．
本课时栏目开关
你能根据这一具体的流程图给流程图下个怎样的定义？
答流程图的概念：流程图是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序．
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 3 说出下列图形符号的名称和所表达的意义？(阅读教材 P7

【步步高】-高中数学第一章 1

研一研·问题探究、课堂更高效
(3)由于存在整数 3只有两个正因数 1 和 3，所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题. 小结特称命题是含有存在量词的命题，判定一个特称命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可.
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 2 判断下列命题的真假： (1)∃x0∈Z，x30<1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)有一个实数 α，tan α 无意义. 解 (1)∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1， ∴“∃x0∈Z，x30<1”是真命题. (2)真命题，如梯形. (3)真命题，当 α＝π2时，tan α 无意义.
对于 D，∀x∈R,2x＞0，正确.
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3.用量词符号“∀”“∃”表述下列命题： (1)凸 n 边形的外角和等于 2π. (2)有一个有理数 x0 满足 x20＝3. (3)对任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1. 解 (1)∀x∈{x|x 是凸 n 边形}，x 的外角和是 2π. (2)∃x0∈Q，x20＝3. (3)∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1.
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问题 2 怎样判定一个全称命题的真假？答案要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合 M 中的一个 x0，使得 p(x0)不成立即可.
研一研·问题探究、课堂更高效例 1 判断下列全称命题的真假： (1)所有的素数是奇数； (2)∀x∈R，x2＋1≥1； (3)对每一个无理数 x，x2 也是无理数. 解 (1)2 是素数，但 2 不是奇数. 所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题. (2)∀x∈R，总有 x2≥0，因而 x2＋1≥1. 所以，全称命题“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题. (3) 2是无理数，但( 2)2＝2 是有理数. 所以，全称命题“对每一个无理数 x，x2 也是无理数”是假命题. 小结判断全称命题的真假，要看命题是否对给定集合中的

【步步高】高中数学第一章习题课正弦定理和余弦定理课件新人教A必修5

3bc＋2 2bc
3bc＝ 23，
∵A为△ABC的内角，∴A＝30°，故选A.
试一试·扫描要点、基础更牢固
2．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若c·cos B
＝b·cos C，且cos A＝23，则sin B等于
(D )
A．±
6 6
6 B. 6
C．±
30 6
30 D. 6
本
解析由c·cos B＝b·cos C，结合正弦定理得，
目开关
∴A＝3π.又sin A＝2sin Bcos C.
∴a＝2b·a2＋2ba2b－c2＝a2＋ba2－c2，
∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等边三角形．
研一研·题型解法、解题更高效
题型三利用正、余弦定理解关于三角形的综合问题
例3 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，
cos B＝35，且A→B·B→C＝－21.
_钝__角__；c2<a2＋b2⇔C为锐角．
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4．三角形常用面积公式
1
本讲
(1)S＝ 2aha (ha表示a边上的高)；
栏目
1 (2)S＝ 2absin C
＝
1 2acsin
B
＝
1 2bcsin
A
；
开关
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
试一试·扫描要点、基础更牢固
1－342＝
7 4.
开
关由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sin Asin C.
于是tan1
A＋tan1
C＝csoins
AA＋csoins
CC＝sin

【步步高】-高中数学第1章1

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【典型例题】例 1 已知圆内接四边形 ABCD 的边长 AB＝2，BC＝6，CD
＝DA＝4，求圆内接四边形 ABCD 的面积．解连接 BD，则四边形的面积 S＝S△ABD＋S△CBD＝12AB·ADsin A＋12BC·CDsin C. ∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C. ∴S＝12(AB·AD＋BC·CD)·sin A＝16sin A. 由余弦定理，得在 ABD 中，
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3.如图，在△ABC 中，D 是边 AC 上的点，且 AB ＝AD,2AB＝ 3BD，BC＝2BD，则 sin C 的值
6 为6 .
解析
设
AB＝a，∴AD＝a，BD＝
2a3，BC＝2BD＝
4a ， 3
cos A＝AB22＋ABA· D2A－DBD2＝2a22－a243a2＝13，
所以①＝②，得AADB＝CBCD.即BBCA＝DADC成立.
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探究点二利用余弦定理证明中线长定理问题已知三角形的三边，能否计算三角形三边上的中线长？探究已知△ABC，角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，
求证：△ABC 中，BC 边上的中线 MA＝12 2b2＋2c2－a2. 证明如图所示，BM＝MC＝a2. 在△ABM 中，由余弦定理得 c2＝MA2＋a22－2MA·a2·cos∠AMB. 在△ACM 中，由余弦定理得 b2＝MA2＋a22－2MA·a2·cos∠AMC ∵cos∠AMB＋cos∠AMC＝0，
故救援船到达 D 点需要 1 小时.
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1．若平行四边形两邻边的长分别是 3和 6，它们的夹角是 45 ° ，则这个平行四边形的两条对角线的长分别是 3和 15 .

【步步高】高中数学第一章 1.2.1-1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)同

§1.2 导数的计算1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)一、基础过关1．下列结论中正确的个数为 ( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227； ③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0B ．1C ．2D ．32．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为 ( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2 3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于 ( )A ．4B ．－4C ．5D ．－54．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定5．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于( ) A ．64B ．32C ．16D ．8 6．若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________.7．曲线y ＝14x 3在x ＝1处的切线的倾斜角的正切值为______．二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A.1eB ．－1eC ．－eD ．e 9．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________. 10．求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3； (4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4. 11．求与曲线y ＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直于点P 的直线方程．12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．三、探究与拓展13．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，试求f 2 014(x )．答案1．D 2．B 3．A 4．B 5．A6．10ln 107．－348．D9．ln 2－110．解 (1)y ′＝(x x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32′ ＝32x 32－1＝32x . (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1 ＝－4x －5＝－4x5. (3)y ′＝(5x 3)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1 ＝35x －25＝355x2. (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. (5)∵y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1 ＝2sin x 2cos x2＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x .11．解 ∵y ＝3x 2， ∴y ′＝(3x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23′＝23x －13， ∴y ′|x ＝8＝23×8－13＝13. 即在点P (8,4)处的切线的斜率为13. ∴适合题意的直线的斜率为－3.从而适合题意的直线方程为y －4＝－3(x －8)，即3x ＋y －28＝0.12．解根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x－y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 13．解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，∴f 2 014(x )＝f 2(x )＝－sin x .。

【步步高】高中数学第一章 1

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探究点三直线与平面平行的性质问题 1 如果一条直线与平面平行，那么这条直线是否与这
个平面内的所有直线都平行？这条直线与这个平面内的多少条直线平行？答如果一条直线与平面平行，这条直线不会与这个平面内的所有直线都平行，但在这个平面内却有无数条直线与这条直线平行．
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探究点一空间中直线与平面之间的位置关系问题 1 一支笔所在的直线和一个作业本所在平面有几种位
置关系？答有三种位置关系：(1)直线在平面内； (2)直线与平面相交； (3)直线与平面平行．
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问题 2 如图，线段 A′B 所在直线与长方体 ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置关系？答线段 A′B 在平面 A′ABB′内，与平面 D′DCC′平行，与其余四个面相交．
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例 2 已知空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，求证：EF∥平面 BCD. 证明连接 BD，在△ABD 中，因为 E，F 分别是 AB，AD 的中点，
所以 EF∥BD，又因为 BD⊂平面 BCD， EF⊄平面 BCD，所以 EF∥平面 BCD.
小结直线与平面的位置关系有且只有三种：即：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．其中直线与平面相交或平行的情况，统称为直线在平面外，记作 a⊄α.
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例 1 下列命题中正确的个数是
()
①若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内，则 l∥α.
②若直线 l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 内的任意一条直
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1．1.2 余弦定理(一) 课时目标
1．熟记余弦定理及其推论；
2．能够初步运用余弦定理解斜三角形．
1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .
2．余弦定理的推论
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
. 3．在△ABC 中：
(1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝90°；
(2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝60°；
(3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝135°.
一、选择题
1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A. 3 B ．3
C. 5 D ．5
答案 A
2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( )
A.π3
B.π6
C.π4
D.π12
答案 B
解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角，
由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
＝72＋32－132
2³7³43
＝32.∴C ＝π6
. 3．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( )
A ．1 B. 2 C ．2 D ．4
答案 C
解析 b cos C ＋c cos B ＝b ²a 2＋b 2－c 22ab ＋c ²c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 2
2a
＝a ＝2. 4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( )
A.14
B.34
C.24
D.23
答案 B
解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，
∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ²2a ＝34
. 5．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c
(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形
答案 B
解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b
2c ，
∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理．
故△ABC 为直角三角形．
6．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )
A ．135°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
答案 B
解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，
∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C .
由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，
∴sin C ＝cos C ，
∴C ＝45° .
二、填空题
7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________.
答案 120°
8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________.
答案 30°
解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C
＝22＋42－2³2³4³cos 60°
＝12
∴c ＝2 3.
由正弦定理：a
sin A ＝c
sin C 得sin A ＝12.
∵a <c ，∴A <60°，A ＝30°.
9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________．答案 120°
解析易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，
则cos θ＝a 2＋b 2－a 2＋ab ＋b 22
2ab ＝－1
2，
∴θ＝120°.
10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π
3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.
答案－2 3
解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2
－2ac cos B ＝13，
∴cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab ＝－1
13，sin C ＝12
13，
∴tan C ＝－12＝－2 3.
三、解答题
11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．
解由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22²AB ²AC ＝92＋82－722³9³8＝23
，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫AC 22＋AB 2－2²AC 2²AB cos A ＝42＋92－2³4³9³23＝49 ⇒x ＝7.
所以，所求中线长为7.
12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )
＝1.
(1)求角C 的度数；
(2)求AB 的长；
(3)求△ABC 的面积．
解 (1)cos C ＝cos[π－(A ＋B )]
＝－cos(A ＋B )＝－12
，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.
(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，
∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝23，
ab ＝2.
∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，
∴AB ＝10.
(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32. 能力提升
13．(2010²潍坊一模)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．答案 3
解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22³BC ³AC ＝22
， ∴sin C ＝22
. ∴AD ＝AC ²sin C ＝ 3.
14．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状．
解由余弦定理知
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac
， cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
，代入已知条件得
a ²
b 2＋
c 2－a 22bc ＋b ²a 2＋c 2－b 22ac ＋c ²c 2－a 2－b 2
2ab
＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0，
展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.
∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2.
根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．
1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两边和夹角，解三角形．
(2)已知三边求三角形的任意一角．
2．余弦定理与勾股定理
余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．。

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