2018年全国高考冲刺模拟高三错题重组(6)数学试题(解析版)

2018年全国高考冲刺模拟高三错题重组（6）数学试题（解析版）
1. 设集合{
}
2
0M x x x =-， 1
{|
1}N x x
=<，则 A. M N ϕ⋂= B. M N ϕ⋃= C. M N = D. M N R ⋃= 【答案】C
【解析】{
}{
}
2
0|01M x x x x x x =-=或
{
}
1|1|01N x x x x x ⎧⎫
=<=⎨⎬⎩⎭
或
则M N = 故选C
【要点回扣或易错点】集合的运算。

2．已知复数()2
11i z i
+=
-，则z =（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5 【答案】
B
故选B.
【要点回扣或者易错点】复数的基本运算，注意虚部的概念.
3．若3sin()5πα+=
，α是第三象限的角，则
sin
cos
22sin cos 22
πα
πα
παπα++-=---
（ ）
A ．
12 B ．1
2
- C ．2 D ．2- 【答案】B.
【解析】由题意3sin 5α=-，因为α是第三象限的角，所以4cos 5α=-，
因此
2
22
sin
cos
cos
sin
(cos
sin )1sin 1222222cos 2sin cos cos sin cos sin 222222
παπααααα
απαπαααααα++-+++====------. 【要点回扣或者易错点】用诱导公式时符号的判定是易错点.
4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质？你认为比较恰当的是（ ）
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.
A ．①③
B ．②③ C. ①② D ．①②③ 【答案】D 【解析】
各侧面都是全等的正三角形，∴三个结论都正确，故选D.
【要点回扣或者易错点】类比推理 5．如图给出的是计算
的值的一个框图，则判断框内可填写
A.
? B.
C.
D.
【答案】A
写?，故选A ．
【要点回扣或者易错点】程序框图. 6．将函数sin 6y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象上各点的横坐标变为原来的
1
2
（纵坐标不变），再往上平移1个单位，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增（ ） A. ,33ππ⎛⎫-
⎪⎝⎭ B. ,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭ C. ,36ππ⎛⎫-
⎪⎝⎭
D. 2,
63ππ
⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【答案】C
【解析】将函数πsin 6y x ⎛⎫=+
⎪⎝
⎭的图象上各点的横坐标变为原来的12，可得πsin 26y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
的图象，再
往上平移1个单位，得函数πsin 216y x ⎛
⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
的图象. ∵πsin 216y x ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭的单调区间与函数πsin 26y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
相同 ∴令πππ2π22π,Z 262k x k k -
+≤+≤+∈，解得： ππ
ππ,Z 36
k x k k -+≤≤+∈. 当0k =时，该函数的单调增区间为ππ,36⎛⎫
- ⎪⎝
⎭. 故选C.
【要点回扣】1.三角函数的图象变换；2.三角函数的性质．
7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若α∥β，β∥γ， m ⊥α，则m ⊥γ； ④若m αγ⋂=，β⋂γ=n ，m ∥n ，则α∥β.
其中正确命题的序号是
A ．①和③
B ．②和③
C ．③和④
D ．①和④ 【答案】A
【要点回扣或者易错点】空间直线与平面的位置关系.
8．已知αθθsin 2cos sin =+，βθ2
sin 22sin =，则（ ） A ．αβcos 2cos = B ．αβ2
2cos 2cos =
C ．αβ2cos 22cos =
D ．02cos 22cos =+αβ 【答案】C
【解析】2sin cos 2sin 1sin 24sin θθαθα+=⇒+=，所以2212sin 4sin βα+=，
11cos22(1cos2)βα+-=-，cos22cos2βα=，故选C.
考点：三角恒等变换
【要点回扣或者易错点】三角恒等变换
9．已知2201sin 22x a dx π
⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰，则9
12ax ax ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
展开式中，x 的一次项系数为（ ） .A 6316-
.B 6316 .C 638- .D 63
8
【答案】A
【要点回扣或者易错点】1、定积分；2、二项式定理..
10．已知等差数列{}n a 的公差不为0， 11a =，且248
,,a a a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，则n S = A.
()12
n n + B.
()2
12
n + C. 21
2n + D. ()34
n n +
【答案】A
【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ． ∵248,,a a a 成等比数列，
∴2428a a a =⋅，即()()()2
11137a d a d a d +=+⋅+， ∴()()()2
13117d d d +=+⋅+， 解得1d =． ∴()()112
2
n n n n n S n -+=+
=
．选A ．
【要点回扣或者易错点】数列的通项公式
11．已知F 是抛物线2
x 4y =的焦点， P 为抛物线上的动点，且点A 的坐标为()0,1-，则
PF PA
的最小值
是（ ） A.
14 B. 12 C. 22
D. 32 【答案】C
设切点()
2,P a a ，由214y x =的导数为1
2y x '=，则PA 的斜率为11222a a a a
+⋅==. ∴1a =，则()2,1P . ∴2PM =， 22PA = ∴2sin 2
PM PAM PA
∠==
故选C ．
【要点回扣或者易错点】抛物线的性质.
12．定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之
和． 如：1111236
=++，1111124612=+++，1111112561220=++++，……依此类推可得：
1111111111111126123042567290110132156
m n =++++++++++++，
其中n m ≤，*
,m n ∈N ．设n y m x ≤≤≤≤1,1，则1
2+++x y x 的最小值为（ ）
A ．223
B ．25
C ．78
D ．3
34
【答案】C
依此类推可得：1111111111111126123042567290110132156
m n =
++++++++++++ 11111111111111111111111()()()()()()()()()()2233456677889910101111121213
m n =+-+-+++-+-+-+-+-+-+-+-所以111111
,,13,20134520
m n m n ==-===，即113,120x y ≤≤≤≤.又21111x y y x x +++=+++，把
11y x ++看成点(,),(1,1)x y --连线的斜率，结合n m ≤，*,m n ∈N ．在满足条件的整点中，(13,1),(1,1)--连线的斜率最小为
111,1317+=+故12+++x y x 最小值为78
，选C .
【要点回扣或者易错点】1.归纳推理；2.简单线性规划的应用；3.裂项相消法
13．若曲线2
2
5x y +=与曲线()2222200x y mx m m +-+-=∈R 相交于,A B 两点，且两曲线在A 处的
切线互相垂直，则m 的值是_____________． 【答案】5±
【解析】由已知可得圆1C 的圆心1(0,0)C ，半径15r =，圆2C 的圆心2(,0)C m ，半径225r =，
22221212||255C C r r m m =+⇒=⇒=±．
【要点回扣或者易错点】圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系. 14．已知函数()f x 对任意的x R ∈，都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫
+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
函数()1f x +是奇函数，当1122x -≤≤时， ()2f x x =，则方程()1
2
f x =-在区间[]3,5-内的所有零点之和为_____________． 【答案】4
∴()()1f x f x -=，从而()()21f x f x -=-- ∴()()1f x f x +=-，即()()()21f x f x f x +=-+= ∴函数()f x 的周期为2，且图象关于直线1
2
x =对称. 画出函数()f x 的图象如图所示：
∴结合图象可得()12f x =-区间[]3,5-内有8个零点，且所有零点之和为1
2442
⨯⨯=. 故答案为4.
【要点回扣或者易错点】1、函数性质；2、周期函数.
15．已知抛物线2
8y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，若16AB =，且AF BF <,则
AF =__________．
【答案】842-
【解析】由题意可设过抛物线2
8y x =的焦点F 的直线方程为()2y k x =-.
联立()2
2{
8y k x y x
=-=，得()22224840k x k x k -++=. 设()11,A x y ， ()22,B x y ，则2122
48
k x x k
++=. ∵16AB =
∴122216x x +++=，即22
48
12k k
+=. ∴21k =，则21240x x -+=. ∴1282
6422
x ±=
=± ∵AF BF <
∴1642x =-， 2642x =+ ∴6422842AF =-+=- 故答案为842-.
【要点回扣或者易错点】直线、圆与抛物线的关系.
16．已知三个正数,,a b c 满足3a b c a ≤+≤，223()5b a a c b ≤+≤，则2b c
a
-的最小值是 ▲ ． 【答案】185
- 【解析】
【要点回扣或者易错点】线性规划.
17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知()
cos cos 3sin cos 0C A A B +-=. （1）求角B 的大小.
（2）若1a c +=，求b 的取值范围.
【答案】（1）
π3 （2）1
12
b ≤<
【要点回扣或者易错点】正弦定理、余弦定理的应用;
18．抛掷三枚不同的具有正、反两面的金属制品123A A A 、、，假定1A 正面向上的概率为1
2
，2A 正面向上的概率为1
3
，3A 正面向上的概率为t(0<t<1)，把这三枚金属制品各抛掷一次，设ξ表示正面向上的枚数。

(1)求ξ的分布列及数学期望E ξ(用t 表示)； (2)令*6(21)cos()()56n n a n E n N t
π
ξ=-∈+,求数列{}n a 的前n 项和. 【答案】（I ）
6
65t
+；（II ）n S n n )1(-= 【解析】（I ）ξ的所以可能取值为1,2,3 622)1(3221)1(t t P -=-⨯⨯=
=ξ +-⨯⨯==)1(3
2
21)2(t P ξ+-⨯⨯)1(3121t 633221t t -=⨯⨯
6
3121)3(t
t P =⨯⨯==ξ
所以ξ的分布列为
=
)(ξE 6
65t
+ （II ）)12()1(cos )12(--=-=n n n a n n π
当n 为偶数时，n n n S n =++--+++-++-=]12)32([)75()31(
当n 为奇数时，n n n n S n -=--+-+--+++-++-=)12(]32)52([)75()31( 综上n S n n )1(-=
【要点回扣或者易错点】1.概率与统计，2.数列求和.
19．在长方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别是1,AD DD 的中点，
2AB BC ==，过11A C B 、、三点的的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为40
3
． （1）求证：EF ∥平面11A BC ； （2）求1A A 的长；
（3）在线段1BC 上是否存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直，如果存在，求线段1A P 的长，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析 (2)41=AA (3)2
29
1=P A
【要点回扣或者易错点】线面平行的判定定理，等体积求点线距，三角形相似.
20. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且530S =， 10110S =.
（1）求n S ；
（2）记12111n n
T S S S =+++，求n T . 【答案】（1）2n S n n =+；（2）111n T n =-
+. 【解析】试题分析：（1）由基本量法，得到5110151030{ 1045110S a d S a d =+==+=，解得12{ 2
a d ==，所以2n S n n =+；（2）()111111
n S n n n n ==-++，利用裂项相消法，求得111n T n =-+。

试题解析：
（1）5110151030{ 1045110S a d S a d =+==+=，解得12{ 2
a d ==，所以2n S n n =+；
（2）()111111
n S n n n n ==-++， 所以1111111122311n T n n n ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=-
+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

【要点回扣或者易错点】等差、等比数列的定义及性质；不等式恒成立问题、数列单调性判定及最值求法.
21. 已知函数()3
44f x ax x =-+， a R ∈， ()'f x 是函数()f x 的导函数，且()'13f =-. （1）求a 的值；
（2）求函数()f x 的极值.
【答案】(1) 13a =；(2) ()f x 的极大值为283，极小值为43
-. 【解析】试题分析：（1）求出()2'34f x ax =-，利用()'1343f a =-=-可得a 的值；（2）求出()'f x ，
分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间， ()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；根据单调性可求得函数()f x 的极值.
【要点回扣或者易错点】导数与函数的单调性之间的关系．
22. 已知圆22
O:4x y +=,点()1,0,F P 为平面内一动点，以线段FP 为直径的圆内切于圆O ,设动点P 的轨迹为曲线C .
(Ⅰ)求曲线C 的方程；
(Ⅱ) ,M N 是曲线C 上的动点，且直线MN 经过定点102⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，，问在y 轴上是否存在定点Q ，使得MQO NQO ∠=∠，若存在，请求出定点Q ，若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）22
143
x y +=；(Ⅱ) 存在定点0,6（）
. 试题解析：（Ⅰ）设PF 的中点为S ，切点为T ，连OS ST ，，则OS SF OT 2+==，取F 关于y 轴的对称点F'，连F'P ，故F'P FP 2OS SF 4+=+=（）．
所以点B 的轨迹是以F'， F 为焦点，长轴长为4的椭圆．
其中， a 2c 1,==，曲线C 方程为22
143
x y +=. (Ⅱ)假设存在满足题意的定点Q ，设()0,,Q m 设直线l 的方程为12
y kx =+， ()()1122,M x y N x y ，，．由22
1,43{ 12
x y y kx +==+消去x ，得()22344110.k x kx ++-= 由直线l 过椭圆内一点10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
作直线故Δ0>，由求根公式得： 121222
411,,3434k x x x x k k --+=⋅=++ 由得MQO NQO ∠=∠,得直线得MQ 与NQ 斜率和为零.故
()12121212121212
11122220,kx x m x x kx m kx m y m y m x x x x x x ⎛⎫+-++-+- ⎪--⎝⎭+=+== ()()12122224611114220.23423434k m k kx x m x x k m k k k ---⎛⎫⎛⎫+-+=⋅+-⋅== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
存在定点0,6（），当斜率不存在时定点0,6（）
也符合题意．
【要点回扣或者易错点】椭圆的定义与性质、直线与椭圆位置关系.。