(集合论)离散数学习题参考答案3

第二部分 集合论
第八次：（函数）P161 3,4,6,11,19,24,25
3 (1) 双射，反函数
,({}){},({}){};118844f f f f −−===2(2) 双射，反函数
:,()log ,({}){},({,}){,};111121201f R R f x x f f −+−−→===(3) 单射，
({}){,},({,}){};155623f f −=<><>=(4) 单射，
({,}){,},({,}){,};123571301f f −==(5) 满射，
({,}){,},({}){,};11212111f f −−==−(6) 单射，((,))(,([,])[,];11311101044422
f f −== (7) 单射，({,}){,},({}){};112101232
f f −==1 (8) 单射，((,))(,),({,}){,};1110112323
f f −=+∞= 4（1）是单射，但不是满射；
（2）不是单射，也不是满射；
（3）不是单射，也不是满射；
（4）是满射但不是单射；
（5）是单射但不是满射；
（6）不是单射，也不是满射；
6. (1) f: A->B ,不是单射，也不是满射；
(2) 不是从A 到B 的函数，因为dom f ≠N;
（3）f: A->B, 不是单射，因为f(<0,1>)=f(<0,2>)=0. 是满射；
(4) f: A->B, 不是单射，也不是满射；
(5) f: A->B, 是单射，不是满射；
(6) f: A->B, 是单射、满射、双射；
（7）f: A->B, 不是单射，也不是满射；
(8) 不是从A 到B 的函数，因为dom f ≠R;
(9) 不是从A 到B 的函数，因为ran f 不⊆N;11. (1) 是函数，单满射都不是 (2) 不是函数 (3) 不是函数 (4) 是函数，单射 (5) 不是函数
19. (1) ,
()(())()224281g f x f g x x x x ==+−=++D 4+()(())22242f g x g f x x x ==−+=D
(2) 都不是单射，也不是满射和双射。

(3) g 和h 都是双射函数，都有反函数，即：
:, (); :, ()11114g R R g x x h R R h x −−−−→=−→=
24. 函数不是唯一的，可能的一个结果：
（1） f={<1,a>,<2,b>,<3,c>};
（2） f(x)=2x;
（3） f(x)=|x|-1;
(4) f(x)=e x
25. 先证单射。

假设存在<x,y>,<u,v>使得
(,)(,),,2222,,,2222x y x y u v u v f x y f u v x y u v x y u v x u ,y v x y u v +−+−<>=<>⇒<
>=<>++−−⇒==⇒==⇒<>=<> 再证满射。

任取<u,v >∈R×R , 存在<u+v,u-v>∈R×R , 且f(<u+v,u-v>)=<u,v> 综上所述，f 是双射函数。