【备战】2012高考数学 应考能力大提升13.1

备战2012数学应考能力大提升
典型例题
例1 求过点(5,2),(3,2)M N 且圆心在直线32-=x y 上的圆的方程
解：设圆心为(,)x y ，而圆心在线段MN 的垂直平分线4x =上，
即4
,23x y
x =⎧⎨=-⎩得圆心为(4,5)，r ==22(4)(5)10x y ∴-+-=
例2 设10,x y -+=求229304341062222+--+++-++=y x y x y x y x d
的最小值 解：229304341062222+--+++-++=y x y x y x y x d
=(3,5)A -和(2,15)B 到直线10,x y -+=上的点的距离之和，作(3,5)A -关于直线10,x y -+=
对称的点'(4,2)A -，则'min d A B ==
创新题型
1．已知以点C (t ，2t
)(t ∈R，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ， 其中O 为原点．
(1)求证：△OAB 的面积为定值；
(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．
2、已知圆M 过两点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．
(1)求圆M 的方程；
(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆M 的两条切线，A 、B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．
答案
2.【解析】：(1)设圆M 的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，
根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－1－b )2＝r 2
(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2
a ＋
b －2＝0，
解得：a ＝b ＝1，r ＝2，
故所求圆M 的方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝4.
(2)由题知，四边形PAMB 的面积为
S ＝S △PAM ＋S △PBM ＝12|AM ||PA |＋12|BM ||PB |.
又|AM |＝|BM |＝2，|PA |＝|PB |，
所以S ＝2|PA |，
而|PA |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，
即S ＝2|PM |2－4.
因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，
即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小， 所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|
32＋42＝3，
所以四边形PAMB 面积的最小值为
S＝2|PM|2－4＝232－4＝2 5.。