苏教版数学必修2直线的倾斜角与斜率

《直线的倾斜角和斜率》教学案例
一、相关背景介绍
建构主义理论认为，学习是学生在原有认知基础上主动建构新知识的过程.这一建构过程需要学生将原有知识与新知识（包括思想、观点、方法）进行有效组合与沟通.而学生知识、方法的迁移，水平、能力的提高均依赖于这个过程.从这个意义上说，数学学习实际上是指学生对数学现象的领悟和实质理解。

直线的倾斜角和斜率一节需要学生从原来的一次函数迁移和建构新知识,并熟练利用新知识解决问题.从新的数学课程标准出发，强调数学课堂教学应以学生发展为目标，关注学生的可持续发展，这是本节课的要旨.我们应力图通过本节课促进学生有效的学习，使学生对知识的真正理解和个性化发展成为可能.
二、本节课教学目标
1.知识与技能: (1)了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念；(2) 使学生深刻理解直线的倾斜角与斜率的概念，理解它们之间的联系；(3)掌握过两点的直线的斜率公式，并会求直线的倾斜角和斜率.
2.过程与方法：通过让学生经历阅读、理解、探索求解的过程，渗透化归转化的思想、数形结合的思想。

寻求合理、有效的途径，解决数学问题.
3.情感、态度、价值观：使学生领会数学的抽象性和严谨性，培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神.
4.重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式；难点：斜率概念的学习和过两点的直线的斜率公式的建立.
三、设计理念
1.首先通过复习一次函数的表达式、图象、性质，导入新课，引导学生深入探究二元一次方程与一次函数的对应关系.
2.首先利用旧知识建构直线的倾斜角和斜率的概念，并从更深层次研究，重点解决倾斜角和斜率的范围及其求法.
3. 例1的设计意图是：使学生熟练对已知直线的倾斜角求斜率问题的处理，其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定.通过该问题的解决使学生进一步理解直线的倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的.
例2的设计意图是：让学生独立思考解答，探求对问题的讨论，思考、交流、表达，体现学生主体参与合作学习。

要求学生综合运用数学概念解题，提高他们抽象思维能力，问题延伸思考，主要针对较好学生，让他们课后继续钻研，提高分析问题、解决问题能力，也体现了分层教学的思想.
例3和例4的设计意图是：综合使用倾斜角和斜率的概念解决问题，重点训练学生处理综合题的能力，体现本节的更高要求.
4.通过当堂定时检测练习,检查学生的知识掌握情况,以便适时调整课堂教学，解决学生的学习困难提高课堂效果.
四、课堂教学实录
（一）数学情境：
1．复习一次函数的表达式、图象、性质.
2．已知一次函数21
=+,试判断点)3,1(A和点)1,3(B是否在函数
y x
的图象上，解答的理论依据是什么？（学生讨论回答，教师总结导入新课）
初中研究一次函数时，在平面直角坐标系中，画出的一次函数图象是一条直线，例如函数21
y x
=+的图象是直线l（画图）.这时，满足函数式21
=+的每一对x、y的值都是直线l上的点的坐标，
y x
例如数对（0，1）满足函数式，在直线l上就有一点A，它的坐标是（0，1）；而直线l上每一点的坐标都满足函数式，例如直线l上点P的坐标是（1，3），数对（1，3）满足函数式.
一般地，一次函数y kx b
=+的图象是一条直线，它是以满足
=+ =+的每一对x、y的值为坐标的点构成的，由于函数式y kx b y kx b
也可以看作二元一次方程，所以我们也可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.
(二)数学建构：
1．讲授“直线的方程”和“方程的直线”的概念.
以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.
在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念和定义，并通过方程来研究直线的有关问题.为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率.
2．讲授直线的倾斜角与斜率的概念.
在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴
绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.
倾斜角不是︒90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜
率,常用k 表示.
说明：①当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角
为︒0；②直线倾斜角的取值范围是0180α︒≤<︒；③倾斜角是︒90的直线没有斜率.
3．研究用两点的坐标来表示直线12P P 的斜率:(1)设直线12P P 的
倾斜角是α,斜率是k ，向量21P P 的方向是向上的.向量21P P 的坐标是
),(1212y y x x --.过原点作向量OP =21P P ，则点P 的坐标是
),(1212y y x x --，而且直线OP 的倾斜角也是α
.根据正切函数的定义，121
2tan x x y y --=α 即.1
212x x y y k --=(12x x ≠）；同样，当向量12P P 的方向向上时，12211221tan y y y y x x x x α--==-- 即121
2x x y y k --=.综上所述，我们得到经过两
点111222(,)(,)P x y P x y 、的直线的斜率公式 1212x x y y k --=
(12x x ≠）（本节图见课本）.
(2)直线上的向量21P P 及与它平行的向量都称为直线的方向向
量.直线12P P 的方向向量21P P 的坐标是),(1212y y x x --，当直线12P P 与x 轴不垂直时, 12x x ≠.此时，向量1221
1P P x x -也是直线12P P 的方向向量，
且它的的坐标是212121
1(,)x x y y x x ---，即(1,)k ，其中k 是直线12P P 的斜率. (三)数学应用：
例1.（如右图）直线1l 的倾斜角130α=︒,直线
12l l ⊥，求21l l 、的斜率.
解：1l 的斜率113
tan tan 303k α==︒=，
∵2l 的倾斜角29030120α=︒+︒=︒，
∴2l 的斜率2tan120tan(18060)tan603k =︒=︒-︒=-︒=-
说明：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及
到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定.
课堂练习：课本P 37练习1
要求：通过练习向学生进一步强调直线的倾斜角和斜率都是反
映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的.
例2.(课本P 37练习2)已知直线的倾斜角的取值范围，利用正
切函数的性质，讨论直线的斜率及其绝对值的变化情况：①090α︒<<︒； ②90180α︒<<︒.
例3.已知直线的倾斜角为90α︒+，求此直线的斜率k .
选题意图：考查直线的倾斜角与斜率之间的关系.
解：(1)当0α=︒时，k 不存在.(2)当90α≠︒时，
tan(90)cot k αα=︒+=-.
说明：应注意直线的倾斜角是90°时，直线的斜率不存在.
例4.已知直线1l 的倾斜角115α=︒，直线1l 与2l 的交点为A ，把直
线2l 绕着点A 按逆时针方向旋转到和直线1l 重合时所转的最小正角为60°，求直线2l 的斜率2k .
选题意图：考查斜率的定义.
解：设直线2l 的倾斜角为2α,则由题意知：21801560α︒-+︒=︒,
2135α=︒,
∴k 2=tan α2=tan （180°－45°）=－tan45°=－1.
说明：列出α2所满足的方程是求α2的关键.
(四)随堂检测：
1.直线的倾斜角为α,若sin α=
53,则直线的斜率是
( ) (A) 43 (B) 34 (C) 43± (D) 34± 2.下列命题中：⑴若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α；
⑵若直线的倾斜角为α，则α],0[π∈；⑶直线的斜率为k ,则直线的倾斜角为arctan k ；⑷倾斜角和斜率都是反映直线相对于X 轴正方向的倾斜程度。

其中正确的命题个数是 （ ）
(A) 0 (B)1 (C)2
(D)3
3.已知直线1l 的斜率为31，直线2l 的倾斜角是直线1l 的倾斜角
的2倍，则直线2l 的斜率为 .
4.设直线的倾斜角α的范围是区间]65,
3[ππ，则直线斜率k 的取
值范围是 . 5.直线l 的斜率为k ，且,31≤≤-k 试求直线l 的倾斜角的范围.
(五)小结：
通过本节学习，要求大家掌握已知直线的倾斜角求斜率，理解斜率公式的推导，为下一节斜率公式的应用打好基础.
(六)作业：课本习题7.1 1,2.
五、教学反思
本节课的教学环节，设计合理环环紧扣.数学情境中的复习导入，加强学生对函数与方程思想的理解，方便建构数学概念,为突出重点和突破难点做了有益的铺垫.数学建构给出了本节数学知识点并实施教学和探究,这是本节的关键一环.例题教学是对本节数学知识的具体应用,深入而扎实，从不同的角度和层面加深了学生对倾斜角和斜率的有关概念性质的理解，对数学应用能力的培养，同时对提高他们的思维能力是极有好处的.学生课堂上的反映热烈，积极参与，回答问题踊跃.针对新课程标准，课堂程序是老师精心设计和安排的，但留有足够的让学生发现问题、提出问题，从而解决问题的空间，这对培养学生的创新意识和能力很有帮助，在课堂上，既让学生有一定的时间体会探索，发散思维，甚至充分暴露思维的错误，又能按时完成课时进度，落实各个知识点.。