费县数学一模二模试卷高三

一、选择题
1. 已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x$，则$f'(1)=\text{______}$。

A. -2
B. 0
C. 2
D. 3
答案：A
解析：$f'(x)=3x^2-6x+2$，代入$x=1$，得$f'(1)=-2$。

2. 在三角形ABC中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，则$\cos A=\text{______}$。

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{3}{4}$
C. $\frac{1}{4}$
D.
$\frac{1}{3}$
答案：A
解析：由余弦定理得$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{49+64-
25}{2\times7\times8}=\frac{1}{2}$。

3. 若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，公差为$d$，且$a_1=1$，$S_5=15$，则$d=\text{______}$。

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：B
解析：由等差数列前$n$项和公式得$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，代入$a_1=1$，$S_5=15$，得$15=\frac{5(1+a_5)}{2}$，解得$a_5=7$，由等差数列通项公式得
$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_5=7$，得$7=1+4d$，解得$d=2$。

4. 设函数$f(x)=\frac{x}{x+1}$，则$f'(1)=\text{______}$。

A. 1
B. $\frac{1}{2}$
C. 0
D. $-\frac{1}{2}$
答案：B
解析：$f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}$，代入$x=1$，得
$f'(1)=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$。

5. 已知等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，公比为$q$，且$a_1=2$，
$S_4=40$，则$q=\text{______}$。

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
答案：B
解析：由等比数列前$n$项和公式得$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，代入$a_1=2$，$S_4=40$，得$40=\frac{2(1-q^4)}{1-q}$，解得$q=3$。

二、填空题
6. 若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，公差为$d$，且$a_1=1$，$S_6=21$，则$S_9=\text{______}$。

答案：36
解析：由等差数列前$n$项和公式得$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，代入$a_1=1$，$S_6=21$，得$21=\frac{6(1+a_6)}{2}$，解得$a_6=7$，由等差数列通项公式得
$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_6=7$，得$7=1+5d$，解得$d=1$，代入$S_9$的表达式
得$S_9=\frac{9(1+a_9)}{2}=36$。

7. 若函数$f(x)=x^3-3x^2+2x$在区间$[0,2]$上的最大值为$\text{______}$。

答案：3
解析：求导得$f'(x)=3x^2-6x+2$，令$f'(x)=0$，得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$，由导数的符号变化可知$f(x)$在$x=1$处取得最大值，代入$f(x)$的表达式得
$f(1)=3$。

8. 已知等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，公比为$q$，且$a_1=2$，
$S_5=40$，则$a_3=\text{______}$。

答案：8
解析：由等比数列前$n$项和公式得$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，代入$a_1=2$，$S_5=40$，得$40=\frac{2(1-q^5)}{1-q}$，解得$q=2$，代入等比数列通项公式得$a_3=a_1q^2=2\times2^2=8$。

三、解答题
9. 已知函数$f(x)=\frac{x}{x+1}$，求$f(x)$在区间$[0,2]$上的最大值和最小值。

答案：最大值为$\frac{2}{3}$，最小值为0。

解析：求导得$f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}$，令$f'(x)=0$，得$x=1$，由导数的符
号变化可知$f(x)$在$x=1$处取得最大值，代入$f(x)$的表达式得
$f(1)=\frac{2}{3}$，又因为$f(x)$在$x=0$处取得最小值，代入$f(x)$的表达式得$f(0)=0$。

10. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，公差为$d$，且$a_1=1$，
$S_6=21$，求$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$的表达式。

答案：$S_n=\frac{n(1+n)}{2}$。

解析：由等差数列前$n$项和公式得$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，代入$a_1=1$，$S_6=21$，得$21=\frac{6(1+a_6)}{2}$，解得$a_6=7$，由等差数列通项公式得$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_6=7$，得$7=1+5d$，解得$d=1$，代入$S_n$的表达式得$S_n=\frac{n(1+n)}{2}$。