甘肃省靖远一中2019届高三数学9月月考试题理

靖远一中届高三台月份月考试卷
高三理科数学
注意事项：
．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
．已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()2
1
0f x x x
=+
>，则()1f -=（ ） ．2- ． ．
．
．如表是我国某城市在年月份至月份个月最低温与最高温（C ︒）的数据一览表．
已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据这一览表，则下列结论错误的是（ ） ．最低温与最高位为正相关
．每月最高温和最低温的平均值在前个月逐月增加 ．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在月
．月至月的月温差（最高温减最低温）相对于月至月，波动性更大
此
卷
只
装
订
不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
．已知()2
1i =1i z
-+（i 为虚数单位）
，则复数z =（ ） ．1i + ．1i - ．1i -+ ．1i --
．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列，若11a =，则4s =（ ） ．
．
．
．
．已知集合2{20}P x x x =|-≥，}{12Q x x =|<≤，则()R C P Q =（ ） ．[0,1)
．(0,2]
．(1,2)
．[1,2]
．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ） ．
．
．
．
．三次函数()3
23212
f x ax x x =-++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间
()1,3上的最小值是（ ）
．83
．
116
．
113 ．53
．已知()2sin13,2sin77=︒︒a ，1-=a b ，a 与-a b 的夹角为3
π
，则⋅=a b （ ） ．
．
．
．
．平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆()2
221x y -+=上的点的最小距离与其到直线1x =-的距离相等，则P 点的轨迹方程是（ ）
．28y x = ．28x y = ．24y x = ．24x y =
．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（ ） ．
．
．2+
．4+
．已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>，点M ，N ，F 分别为椭圆C 的左顶点、上顶点、左
焦点，若90MFN NMF ∠=∠+︒，则椭圆C 的离心率是（ ）
．已知ABC △是由具有公共直角边的两块直角三角板（Rt ACD △与Rt BCD △）组成的三角形，如左下图所示．其中，45CAD ∠=︒，60BCD ∠=︒．现将Rt ACD △沿斜边AC 进行翻折成1D AC △（1D 不在平面ABC 上）．若M ，N 分别为BC 和1BD 的中点，则在ACD △翻折过程中，下列命题不正确的是（ ）
．在线段BD 上存在一定点E ，使得EN 的长度是定值 ．点N 在某个球面上运动
．对于任意位置，二面角1D AC B --始终大于二面角1D BC A -- ．存在某个位置，使得直线1AD 与DM 所成角为60︒
二、填空题：（本大题共题，每小题分，满分分，将答案填在答题纸上） ．设x ，y 满足约束条件1
400
x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，则3z x y =-的取值范围为．
．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．
．在数列{}n a 中，113a =，()
113,3n n n n a a a ++=∈N +，且13n n b a =+．记12n n P b b b =⨯⨯
⨯，
12n n S b b b =+++，则13n n n P S ++=．
．如图，在ABC △
中，sin 2ABC ∠=，点D 在线段AC 上，且2AD DC =
，BD =
，则ABC △的面积的最大值为．
三、解答题（本大题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ．（分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos cos sin A B C
a b c
+=． （）证明：sin sin sin A B C =；
（）若222
65
b c a bc +-=，求tan B ．
．（分）如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，
4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．
（）证明MN ∥平面PAB ;
（）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．
．（分）某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满元，可选择返回元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从个装有个白球、个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立．
（）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得元现金奖励的概率；
（）某顾客已购物元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回元现金，还是选择参加次抽奖？说明理由；
（）若顾客参加次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？
．（分）已知中心在原点O ，左、右焦点分别为1F ，2F A ，B 是椭圆上两点．
（）若直线AB 与以原点为圆心的圆相切，且OA OB ⊥，求此圆的方程；
（）动点P 满足：3OP OA OB =+，直线OA 与OB 的斜率的乘积为1
3
-，求动点P 的轨迹方程．
．（分）设函数()3
f x x ax b =--，R x ∈，其中,R a b ∈．
（）求()f x 的单调区间；
（）若()f x 存在极值点0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，求证：1020x x +=； （）设0a >，函数()()g x f x =，求证：()g x 在区间[]1,1-上的最大值不小于1
4
．
请考生在、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． ．（分）【选修：坐标系与参数方程】
以直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为x t
y at =⎧⎨=⎩
（t 为参数），曲线1C 的方程为()4sin 12ρρθ-=，定点()6,0A ，点P 是曲线1C 上的动点，Q 为AP 的中点．
（）求点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程；
（）直线l 与曲线2C 相交于B ，C 两点，若BC ≥，求实数a 的取值范围．
．（分）【选修：不等式选讲】 已知函数()2f x x a x =++-．
（）当3a =时，求不等式()7f x ≥的解集；
（）若()4f x x ≤-的解集包含[]0,2，求a 的取值范围．
高三理科数学答 案
一、选择题． ．【答案】 ．【答案】 ．【答案】 ．【答案】 ．【答案】 ．【答案】
．【答案】 ．【答案】 ．【答案】 ．【答案】 ．【答案】 ．【答案】 二、填空题． ．【答案】[]2,4- ．【答案】
1
4
．【答案】
．【答案】三、解答题．
．【答案】（）见解析；（）． 【解析】（）根据正弦定理，可设
(0)sin sin sin a b c
k k A B C
===>，则sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =．代入
cos cos sin A B C
a b c
+=中，有cos cos sin sin sin sin A B C k A k B k C +=， 变形可得sin sin sin cos cos sin sin A B A B A B A B =+=+（）．在ABC △中，由A B C ++=π， 有sin
sin sin A B C C +=π-=（）（），所以sin sin sin A B C =． （）由已知，2
2
2
65b c a bc +-=，根据余弦定理，有2223
cos 25b c a A bc +-=
=．
所以4
sin 5
A =．由（），sin sin sin cos cos sin A
B A B A B =+，
所以443
sin cos sin 555
B B B =+，故
sin 4co tan s B B B ==．
．【答案】（）见解析； 【解析】（）由已知得2
23
AM AD ==．
取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN BC ∥，1
22
TN BC ==．
又AD BC ∥，故=TN AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT ∥． 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB ．
（）取BC 的中点E ，连结AE ．由AB AC =得AE BC ⊥，从而AE AD ⊥，
且AE =
以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．由题意知，()0,0,4P ，()0,2,0M
，)
C
，N ⎫
⎪⎪⎝⎭，()0,2,4PM =-，52PN ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭
，5AN ⎛⎫
= ⎪⎪
⎝⎭
． 设(),,x y z =n 为平面PMN 的一个法向量，则0
0PM PN ⋅=⋅⎪
⎨⎪=⎧⎩n n ，即240 20y z y z ⎧=+-=- 可取()0,2,1=n ，于是85
cos ,AN
AN AN
⋅〈〉=
=
n n n ．
．【答案】（）
2
5
；（）见解析；（）元． 【解析】（）因为从装有个球的箱子中任摸一球的结果共有110C 种，摸到红球的结果共有14C 种，所以顾客参加一次抽奖获得元现金奖励的概率是14
110C 42C 105
==．……分
（）设X 表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则
()3 0.4X B -，，所以()30.4 1.2E X np ==⨯=．由于顾客每中奖一次可获得元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为1.2100120⨯=元．由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值元小于直接返现的元， 所以商场经理希望顾客参加抽奖．……………分 （）设顾客参加次抽奖摸中红球的次数为Y ．
由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则()10 0.4Y B -，
． 于是，恰好k 次中奖的概率为()1010C 0.40.6k k k
P Y k -==⨯⨯，0 1 10k =，
，…，． 从而
()()
()21113P Y k k P Y k k
=⨯-=
=-， 1 2 10k =，
，…，， 当 4.4k <时，()()1P Y k P Y k =-<=； 当 4.4k >时，()()1P Y k P Y k =->=，
则()4P Y =最大．所以，最有可能获得的现金奖励为4100400⨯=元． 于是，顾客参加次抽奖，最有可能获得元的现金奖励．………………分
．【答案】（）22
34
x y +=
；
（）(22
330x y x +=≠． 【解析】（）设椭圆方程为()22
2210x y
a b a b +=>>
，由已知222
2c a c b a c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩
，得1a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，
∴椭圆方程为2
213
x y +=．
①当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，
代入椭圆方程得()()2
2
2
136310k x kmx m +++-=．∴122613km
x x k -+=+，()2122
3113m x x k -⋅=+．
∵OA OB ⊥，∴0OA OB ⋅=，
即()()()
()22
1212121212121x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++
()()22
22
2
316101313m km k
km m k
k --⎛⎫=+⋅
++= ⎪++⎝⎭
，即22
4330m k --=． ∵AB
与以原点为圆心的圆相切，∴圆半径r =
，
则22
2
3
14
m r k ==+，∴圆的方程为2234x y +=． ②当直线AB 的斜率存在时，易知AB
方程为x =
2234
x y +=
． （）设(),P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由3OP OA OB =+得12
12
33x x x y y y =+⎧⎨=+⎩
又直线OA ，OB 的斜率积为1
3
-，∴121213y y x x =-，即121230x x y y +=． ∵A ，B 在椭圆上，∴221113x y +=，2
22213x
y +=联立得12
12
121222
112222
33303333x x x y y y x x y y x y x y ⎧=+⎪
=+⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪+=⎩消去1x ，1y ，2x ，2y ，
得22330x y +=．当OA 斜率不存在时，即10x =，得11y =±，20y =
，2x =
此时x =±同理OB
斜率不存在时，x =±，∴P
点的轨迹方程为(22
330x y x +=≠．
．【答案】（）见解析；（）见解析；（）见解析．
【解析】（）解：由()3f x x ax b =--，可得()23f x x a ='-，下面分两种情况讨论： ①当0a ≤时，有()230f x x a '=-≥恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞． ②当0a >时，令()0f x '=
，解得x =
或x = 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
所以()f x 的单调递减区间为⎛ ⎝⎭，单调递增区间为,⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭
． （）证明：因为()f x 存在极值点，所以由（）知0a >且00x ≠．由题意，得()2
00
30f x x a '=-=，即2
03a x =
，进而()3
000023
a f x x ax
b x b =--=--，又()()3
000000082282233
a a f x x ax
b x ax b x b f x -=-+-=-+-=--=，且002x x -≠，
由题意及（）知，存在唯一实数1x 满足()()10f x f x =，且10x x ≠，因此102x x =-，所以10+2=0x x ． （）证明：设()g x 在区间[]1,1-上的最大值为M ，{}max ,x y 表示x ，y 两数的最大值，下面
分三种情况讨论：（）当3a ≥时，11≤-<≤
，由（）知，()f x 在区间[]1,1-上单调递减，所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为()()1,1f f ⎡⎤-⎣⎦，
因此()(){}{}{}
max |1|,|1|max 1,1max 1,1M f f a b a b a b a b =-=---+-=-+-- 1+0
10
a b
b a b
b -≥⎧=⎨
--<⎩所以12M a b =-+≥．
（）当
334a ≤<时，11≤-<<<≤
由（）和（）知()1f f f ⎛-≥= ⎝⎭⎝⎭，()1f f f ⎛≤= ⎝⎭⎝⎭
，
所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为,f
f ⎡
⎤
⎛⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，
因此max ,max M f f b b ⎧⎫⎛⎧⎫⎪
⎪== ⎨
⎬⎨⎬ ⎩⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭
231
max ,944b b b ⎫=+-=≥⨯⎬⎭．
（）当304a <<
时，11-<<<，由（）和（）知，
()1f f f ⎛-<= ⎝⎭⎝⎭，()1f f f ⎛>= ⎝⎭⎝⎭
， 所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为()()1,1f f ⎡⎤-⎣⎦，因此，
()(){}{}{}
1max |1|,|1|max 1,1max 1,114
M f f a b a b a b a b a b =-=-+---=-+--=-+>
． 综上所述，当0a >时，()g x 在区间[]1,1-上的最大值不小于14
． ．【答案】（）()()22314x y -+-=；（）30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
【解析】（）由题意知，曲线的直角坐标方程为．设点，． 由中点坐标公式得，代入中， 得点的轨迹的直角坐标方程为．
（）直线的普通方程为，由题意可得，解得，
即实数的取值范围是．
．【答案】（）；（）．
【解析】（）当时，，当时，由得，
解得；
当时，无解；当时，由得，解得，所以的解集为．
（）等价于当时，等价于，由条件得且，即．故满足条件的的取值范围为．。