椭圆的综合问题(学生版)

椭圆的综合问题
一、直线与椭圆的位置关系
二、椭圆中的取值范围与最值问题
三、定值、定点、定直线与存在性问题
1、已知椭圆33:22=+y x C 。

过点)0,1(D 且不过点)1,2(E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3=x 交于点M 。

（1）求椭圆C 的离心率；
（2）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；
（3）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由。

2、如图所示，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为21,F F ，线段21,OF OF 的中点分别为,,21B B 且21B AB ∆是面积为4的直角三角形.
(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过1B 作直线l 交椭圆于Q P ,两点，使,22QB PB ⊥求直线l 的方程.
3、已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线方22
21(0)x y a b a b
+=>>12,F F 2e =
程为。

（I ）求椭圆的标准方程；
（II ）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。

4、已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x ，经过点)3,0(，离心率为21，左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -。

2x =1F l ,M
N 22F M F N += l
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线m x y l +-=2
1:与椭圆交于A ，B 两点，与以21F F 为直径的圆交于C ，D 两点，且满足
4
35=CD AB ，求直线l 的方程。

5、设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，
，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．
（Ⅰ）若6ED DF = ，求k 的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．
6、F1、F2分别是椭圆
2
21
4
x
y
+=的左、右焦点.
（Ⅰ）若r是第一象限内该数轴上的一点，
22
12
5
4
PF PF
+=-
，求点P的作标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角（其中O 为作标原点），求直线l的斜率k的取值范围.
7、过点C (0，1)的椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>
，椭圆与x 轴交于两点(,0)A a 、(,0)A a -，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．
（I ）当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长； （Ⅱ）当点P 异于点B 时，求证：OP OQ ⋅ 为定值．
8、已知椭圆
，过右焦点F 的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到
的距离为 （I ）求，的值； （II ）上是否存在点P ，使得当绕F 转到某一位置时，有成立？ 若存在，求出所有的P 的坐标与的方程；若不存在，说明理由。

22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>l C A B l O l 2
a b C l OP OA OB =+
l
〖过手训练〗
1、如图，椭圆1:2222=+b y a x E 的离心率是2
2，过点)1,0(P 的动直线l 与椭圆相交于A,B 两点。

当直线x l 平行于轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为22。

（1）求椭圆E 的方程；
（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得
PB PA QB QA =恒成立？
若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

2、设椭圆11:22
22=-+a
y a x E 的焦点在x 轴上。

（1）若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；
（2）设21,F F 分别是椭圆E 的左、右焦点，P 是椭圆E 上第一象限内的点，直线P F 2交y 轴于点Q ，并且Q F P F 11⊥，证明：当a 变化时，点P 在某定直线上
3、已知椭圆14
:22
=+y x G ，过点)0,(m 作圆122=+y x 的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点。

（1）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；
（2）将AB 表示为m 的函数，并求出AB 的最大值。

4、平面直角坐标系xOy 中，过椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x M 右焦点的直线03=-+y x 交M 于A,B 两点，P 是AB 的中点，且OP 的斜率为2
1。

（1）求M 的方程；
（2）C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线AB CD ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值。

5、设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点为F ，离心率为3
3，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3
34。

（1）求椭圆的方程；
（2）设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若k CB AD DB AC 求,8=⋅+⋅的值。