微分、变分、差分的确切定义与区别

微分、变分、差分的确切定义与区别
⼀元微分
定义
设函数y = f(x)在x.的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。

如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) ?f(x0)可表⽰为Δy = AΔx0
+o(Δx0)（其中A是不依赖于Δx的常数），⽽o(Δx0)是⽐Δx ⾼阶的⽆穷⼩，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于⾃变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。

通常把⾃变量x的增量Δx称为⾃变量的微分，记作dx，即dx = Δx。

于是函数y = f(x)的微分⼜可记作dy = f'(x)dx。

函数的微分与⾃变量的微分之商等于该函数的导数。

因此，导数也叫做微商。

⼏何意义
设Δx 是曲线y =f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx 在纵坐标上的增量。

当|Δx|很⼩时，|Δy－dy|⽐|Δy|要⼩得多(⾼阶⽆穷⼩)，因此在点M附近，我们可以⽤切线段来近似代替曲线段。

多元微分
同理，当⾃变量为多个时，可得出多元微分得定义。

变分法（calculus of variations）是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。

譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。

变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极⼤或极⼩值。

有些曲线上的经典问题采⽤这种形式表达：⼀个例⼦是最速降线，在重⼒作⽤下⼀个粒⼦沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的⼀点B。

在所有从A到B的曲线中必须极⼩化代表下降时间的表达式。

变分法的关键定理是欧拉－拉格朗⽇⽅程。

它对应于泛函的临界点。

在寻找函数的极⼤和极⼩值时，在⼀个解附近的微⼩变化的分析给出⼀阶的⼀个近似。

它不能分辨是找到了最⼤值或者最⼩值（或者都不是）。

变分法在理论物理中⾮常重要：在拉格朗⽇⼒学中，以及在最⼩作⽤原理在量⼦⼒学的应⽤中。

变分法提供了有限元⽅法的数学基础，它是求解边界值问题的强⼒⼯具。

它们也在材料学中研究材料平衡中⼤量使⽤。

⽽在纯数学中的例⼦有，黎曼在调和函数中使⽤狄⼒克雷原理。

同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者⾟⼏何。

变分⼀词⽤于所有极值泛函问题。

微分⼏何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。

极⼩曲⾯（肥皂泡）上也有很多研究⼯，称为Plateau问题。

最优控制的理论是变分法的⼀个推⼴。

差分是微分的近似,以差商代替微商变分是泛函中的极值问题。