2016-2017学年安徽省池州市第一中学高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)

2016-2017学年安徽省池州市第一中学高二下学期期中考试
数学（文）试题
一、选择题
1．若集合{}
234,,,A i i i i = （i 是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B 等于 （ ）
A ．{}1-
B ．{}1
C ．{}1,1-
D ．φ 【答案】C
【解析】由已知得{},1,,1A i i =--，故A B ={}1,1-，故选C ．
【考点】1、复数的概念；2、集合的运算．
2．下列函数中既是奇函数，又在区间[]
1,1-上单调递减的是（ ） A. ()sin f x x = B. ()1f x x =-+ C. ()()
12x x f x a a -=+ D. ()2lg 2x
f x x
-=+ 【答案】D
【解析】.A y sinx =是奇函数，但在区间[]
11-， 上单调递增，故A 错误； .B a b ＜ 不是函数的解析式，故B 错误； ()
1.2x x C y a a -+＝
为偶函数，故C 错误； 2.2x
D y ln x
-+＝ 既是奇函数又在区间[-1，1]上单调递减，故D 正确；故选D
3．设()0sin f x x =， ()()10'f x f x =， ()()21'f x f x =，…， ()()1'n n f x f x -=，
n N ∈，则()2017f x =（ ）
A. sin x
B. sin x -
C. cos x
D.
cos x -
【答案】C 【解
析
】
s i n ==-
''='（），（），（），（）， 420171n n f x f x f x f x
cosx +∴=∴==（）（），（）（）．故答案是C ． 4．对命题“正三角形的内切圆内切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的（ ）
A. 一条中线上的点，但不是重心
B. 一条垂线上的点，但不是垂心
C. 一条角平分线上的点，但不是内心
D. 中心 【答案】D
【解析】由平面中关于正三角形的内切圆的性质：“正三角形的内切圆切于三边的中点”，
根据平面上关于正三角形的内切圆的性质类比为空间中关于内切球的性质， 可以类比在空间几何中有：
“正四面体的内切球切于四面体各正三角形的位置是各正三角形的中心” 故选A ．
5．设111111M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=---
⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，且1a b c ++=（a ， b ， c 均为正数）
，由综合法得M 的取值范围是（ ）
A. 10,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B. 1,18⎡⎫
⎪⎢⎣⎭ C. []1,8 D. [
)8,+∞
【答案】D
【解析】根据题意， 1a b c ++= ，则
111a b c b c a a a +++-=-=≥ ，同理得到
111a b c a c b b b +++-=-=≥
111a b c b a c c c +++-=-=≥
1111118M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴=---≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
当且仅当1
3
a b c ===
时等号成立，故M 的取值范围是[8+∞，）．选D 点睛：本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．
6．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）
与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，根据表提供的数据，求出y 关于x
的线性回归方程为0.70.5ˆ3y
x =+，则下列结论错误的是（ ）
A. 产品的生产能耗与产量呈正相关
B. t 的取值必定是3.15
C. 回归直线一定过()4.5,3.5
D. A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约
增加0.7吨
【答案】B
【解析】由题意， 3456
4.50.70.354
x y x +++=
==+，，
0.7 4.50.35 3.54 3.5 2.54 4.53y t ∴=⨯+=∴=⨯---=，，
故选：B ．
7．将正奇数1,3,5,7，…，排成五列（如表），按此表的排列规律，89所在的位置是（ ）
A. 第一列
B. 第二列
C. 第三列
D. 第四列 【答案】D
【解析】依题意，第三列中的数是以3为首项，8为公差的等差数列，∴第n 列31885n a n n =+-⨯=-（）， 当12n = 时， 12812591a =⨯-=， 即第十二行第三列的数为91；又奇数行自左向右是依次递增2的，偶数行自左向右是依次递减2的，∴89
所在的位置是第十二行第四列故选：D ．
点睛：本题考查数列的函数特性，考查观察与分析、运算能力，属于中档题． 8．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点()02,M y ，
若点M 到抛物线焦点的距离为3，则OM 等于（ ）
A.
B. C. 4 D. 【答案】B
【解析】∵抛物线经过点02M y （，）， ∴抛物线的开口向右．设抛物线的方程为220y px p =（＞）， ∵点02M y （，） 到抛物线焦点的F 距离为3，∴根据抛物线的定义，得22
p MF =+
解得2p =，由此可得抛物线的方程为2
4y x =． 将点M 坐标代入
抛物线方程，得2
428y =⨯=， 解得y =± ，M 坐标为2±（，
OM ∴== 故答案为B
点睛：本题已知抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离为3，求该点到抛物线顶点的距
离．着重考查了抛物线的定义与标准方程、两点间的距离公式等知识，属于中档题． 9．执行如图所示的程序框图，若输入的a ， b ， k 分别为1，2,3，则输出的M =（ ）
A.
203 B. 165 C. 72 D. 158
【答案】D
【解析】试题分析：由程序框图知：第一次循环133
1,2,,2222
M a b n =+====；第二次循环
2838
2,,,33323
M a b n =+
====；第三次循环
3315815,,,428838M a b n =
+====，不满足3n ≤，跳出循环，输出15
8
M =，故选D.
【考点】1、程序框图；2、循环结构.
10．经过椭圆2
212x y +=的一个焦点作倾斜角为45︒的直线l ，交椭圆于A ， B 两点，设O 为坐标原点，则OA OB ⋅等于（ ）
A. 3-
B. 13-
C. 13-或3-
D. 13
± 【答案】B
【解析】由2
212x y += ，得22222211a b c a b ===-=，， ，焦点为10±（，）． 设
直线l 过右焦点，倾斜角为45︒ ，直线l 的方程为1y x =-．
代入2
212
x y +=得22
2120x x +--=（）， 即2340x x -=． 设1122A x y B x y （，），（，）， 则
1212403x x x x ⋅=+=，， 1212121241111133
y y x x x x x x =-⋅-=-++=-=-（）（）（），
121211
033
OA OB x x y y ⋅=+=-=-． 故选B
点睛：本题主要考查了椭圆的应用．当涉及过焦点的直线时，常需设出直线方程与椭圆
方程联立利用韦达定理来解决．
11．设a ， b 是两个实数，给出下列条件：①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>；
④222a b +>；⑤1ab >．其中能推出：“a ， b 中至少有一个大于1”的条件是（ ）
A. ②③
B. ①②③
C. ③
D. ③④⑤
【答案】C 【解析】①中若a ＝
34，b ＝1
2
，则a ＋b>1，故①不能；②中若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②不能；③能，④中若a ＝b ＝－2，则a 2＋b 2>2，故④不能；⑤中若a ＝b ＝－2，则
ab>1，故⑤不能．∴只有③能，选C. 12．设函数是奇函数
（
）的导函数，
，当
时，
，则
使得成立的的取值范围是（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】A
【解析】试题分析：考虑取特殊函数，是奇函数，且
，
，
当
时，
>0，满足题设条件.直接研究函数
，
图象如下图，可知选B 答案.
【考点】1、函数的奇偶性；2、导数在研究函数的单调性中的应用；3、导数在研究函数的极值中的应用.
【思路点睛】本题主要考查了函数的奇偶性、导数在研究函数的单调性中的应用和导数在研究函数的极值中的应用，考查学生综合知识能力，渗透着转化与化归的数学思想，属中档题.其解题的方法运用的是特值法，将抽象问题具体化，找出与已知条件符合的特殊函数，分析其函数的图像及其性质，进而得出所求的结果，其解题的关键是特值函数的正确选取.
二、填空题 13．若复数z 满足1z
i i
=-，其中i 为虚数单位，则z =__________． 【答案】1i + 【解析】
(),111z
i z i i i i
=∴=-⋅=+- 14．若正实数,x y ，满足26x y xy ++=，则xy 的最小值是 ．
【答案】18
【解析】
试题分析：由基本不等式知266
xy x y
=++≥，设2
xy t
=
，则26
t≥
，解得t≥xy的最小值为18，当且仅当2x y
=时等式成立．【考点】1、基本不等式；2、二次不等式的解法．
15．在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有22
cos cos1
αβ
+=.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体
1111
ABCD A BC D
-
中，对角线
1
AC与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则__________．
【答案】222
cos cos cos2
αβγ
++=
【解析】将平面中的二维性质，类比推断到空间中的三维性质．由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是αβ
，，则
有221
cos cos
αβ
+=，则由此可以类比推断出空间性质，∵长方体
1111
ABCD A BC D
-
中，如图
对角线
1
AC与过点A的三个面
1111
A B C D A A B B A A D D
，、所成的角分别为αβγ
，，，11
111
AB AD
AC
cos cos cos
AC AC AC
αβγ
∴===
，，，
222
22211
2
1
AC AB AD
cos cos cos
AC
αβγ
++
∴++=，
令同一顶点出发的三个棱的长分别为a b c
，，，则有
222222222 22211
2222
1
2
AC AB AD a b a c b c
cos cos cos
AC a b c
αβγ
+++++++
++===
++
故答案为：2222
cos cos cos
αβγ
++=．
点睛：本题考查类比推理及棱柱的结构特征，线面角的定义，综合性强是一个常考的题型．
16．一个圆经过椭圆
22
1
164
x y
+=的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .
【答案】22
325()24
x y -+=
【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则222(4)2a a -=+，解得3
2
a =
，故圆的方程为22325()24
x y -+=
. 【考点】椭圆的几何性质；圆的标准方程
三、解答题
17．已知复平面内点A 、B 对应的复数分别是21sin z i θ=+，
22cos cos2z i θθ=-+，其中()0,2θπ∈，设AB 对应的复数为z . （Ⅰ）求复数z ；
（Ⅱ）若复数z 对应的点P 在直线1
2y x =
上，求θ的值. 【答案】（1）()212sin i θ--（2）6πθ=， 56π， 76π， 116π
.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得 21z z z =-从而求得z 的值． （Ⅱ）由于复数z 对应的点P 在直线12y x =
上，求得2
1sin 4
θ=的值，从而求得的θ值． 试题解析：（Ⅰ） ()()
222
21cos sin cos2112sin z z z i i θθθθ=-=--+-=--． （Ⅱ）点P 的坐标为()
2
1,2sin θ--，由点P 在直线12y x =
，得212sin 2
θ-=-， ∴2
1sin 4θ=
，∴1sin 2
θ=±， 又∵()0,2θπ∈，∴6
π
θ=
，
56π， 76π， 116
π
. 点睛：本题主要考查两个复数代数形式的加减法，根据三角函数的值求角，属于基础题
18．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． （1）2
2
sin 13cos 17sin13cos17+- ； （2）2
2
sin 15cos 15sin15cos15+-； （3）2
2
sin 18cos 12sin18cos12+-； （4）22sin (18)cos 48sin(18)cos48-+--； （5）22sin (25)cos 55sin(25)cos55-+--．
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 【答案】 （Ⅰ）
34
（Ⅱ）22
3sin cos (30)sin cos(30)4αααα+---=
【解析】试题分析：
（I ）选择（2）求常数相对容易，可直接利用二倍角正弦公式和同角三角函数平方关系结合特殊角三角函数值求得答案．（II ）根据（I ）的计算结果，可得三角恒等式为：
223
sin cos (30)sin cos(30)4
αααα+---=
，进而根据两角差的余弦公式，展开化简后可得答案
试题解析：（Ⅰ）由（2）得22
sin 15cos 15sin15cos15+-13
1sin 3024=-
= （2）三角恒为等式：22
3sin cos (30)sin cos(30)4
αααα+---=； 证明：22sin cos (30)sin cos(30)αααα+---
22sin (cos30cos sin30sin )sin (cos30cos sin30sin )αααααα=++-+
2211
sin sin )sin sin )22
αααααα=++-+
2225313
sin cos cos cos sin 4424
ααααααα=+-=. 【考点】归纳推理；类比推理；三角函数恒等式的证明
19．已知,,a b c R +
∈，求证：
3
a b c
++≥。

【答案】证明略
【解析】试题分析：证明不等式可采用分析法，综合法等，本题结合其特点可首先利用分析法寻求证明思路，然后用综合法加以证明
3a b c ++≥，只需证： 2
22233a b c a b c ++++⎛⎫
≥ ⎪⎝⎭
, 只需证：
只需证：
只需证：
，而这是显然成立的，
3
a b c ++≥
成立。

【考点】不等式证明
20．已知抛物线2
4(0)y ax a =>的焦点为A ，以()4,0B a +为圆心， AB 长为
半径画圆，在x 轴上方交抛物线于M 、N 不同的两点．
（Ⅰ）求a 的取值范围；
（Ⅱ）求AM AN +的值．
【答案】（1）()0,1a ∈（2）8
【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知抛物线的焦点坐标为(),0A a ，则4AB =，圆的方程为()2
2
416x a y ⎡⎤-++=⎣⎦，然后联立抛物线与圆的方程，得到关于x 的一元二次
方程，利用判别式，可求实数a 的取值范围； （2）求出两根之和，即可得到AM AN + 的值． 试题解析：（Ⅰ）由题意知抛物线的焦点坐标为(),0A a ， 则4AB =，圆的方程为()2
2
416x a y ⎡⎤-++=⎣⎦，
将24(0)y ax a =>代入上式，得()2
2
2480x a x a a +-++=，
∴()(
)2
2
44480a a a
∆=--+>，解得01a <<，即()0,1a ∈．
（Ⅱ）∵A 为焦点，设()11,M x y ， ()22,N x y ，
根据（Ⅰ）中的()2
2
2480x a x a a +-++=，得1282x x a +=-，
∴()()121228228AM AN x a x a x x a a a +=+++=++=-+=.
点睛：本题主要考查抛物线的基本性质、等差关系的确定等，考查综合运用能力和计算能力
21．某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120
分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如图22⨯列联表，且已知在
甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为3
．
（Ⅰ）请完成列联表；
（Ⅱ）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？通过计算作出回答． 参考公式与临界值表： ()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++．
【答案】（1）见解析（2）不能认为 【解析】试题分析：（Ⅰ）由于从甲、乙两个理科班全部110人中随机抽取人为优秀的概率为
3
11
，可得两个班优秀的人数，乙班优秀的人数，甲班非优秀的人数110102030=-++=（） ．即可完成表格． （Ⅱ）假设成绩与班级无关，根据列联表中的数据可求得2
K ，和临界值表比对后即可得到答案． 试题解析：（Ⅰ）
（Ⅱ）根据列联表中的数据，得到()2
2110103020507.48610.82860503080
K ⨯⨯-⨯=
≈<⨯⨯⨯，
因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．
点睛：本题考查了列联表、独立性检验，独立性检验的应用的步骤为：根据已知条件将数据归结到一个表格内，列出列联表，再根据列联表中的数据，代入公式2
K ，计算出k 值，然后比较即可得到答案．
22．已知()0,2A -，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>> F 是椭圆E
的右焦点， AF 的斜率为2
， O 为坐标原点. （1）求椭圆E 的方程；
（2）设过点A 的动直线l 与E 交于P ， Q 两点，当OPQ ∆面积最大时，求l 的方程.
【答案】（I ）2214x y +=；（II ）2y x =-或.
【解析】试题分析：设出F ，由直线AF 的斜率为
3
求得c ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存
在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF
， ()0,2A -
所以2c =
c =
又2222
c b a c a ==- 解得2,1a b ==，
所以椭圆E 的方程为2
214
x y +=. （2）解：设()()1122,,,P x y Q x y
由题意可设直线l 的方程为： 2y kx =-， 联立2
21{42,
x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，
当()216430k ∆=->，所以234k >
，即k <
或k >时 121222
1612,1414k x x x x k k +==++. 所以
PQ =
=
= 点O 到直线
l 的距离d =
所以12OPQ S d PQ ∆==
， 0t =>，则2243k t =+，
244144OPQ t S t t t
∆==≤=++，
当且仅当2t =2=，
解得k =时取等号， 满足234
k >
所以OPQ ∆的面积最大时直线l 的方程为： 2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.。