不定积分的分部积分法省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件

x
arctan
x
1
x x
2
dx
x arctan x 1
2
d (1 x2 ) 1 x2
x arctan x 1 ln(1 x2 ) c 2
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练习 求积分 x arctan xdx.
解 令 u arctan x , xdx d x2 dv
x arctan
xdx
x2 2
arctan
1 x
dx
x sin(ln x) x cos(ln x) xd[cos(ln x)]
x[sin(ln x) cos(ln x)] sin(ln x)dx
sin(ln
x)dx
x [sin(ln 2
x)
cos(ln
x)]
C.
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例5 求 arctan xdx
解 arctan xdx x arctan x xd (arctan x)
解 u x2 , e xdx de x dv,
x2e xdx x2dex x2e x 2 xe xdx
（再次使用分部积分法）
x2e x 2( xe x e x ) C .
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例3 求 x ln xdx
解
x
ln
xdx
1 2
ln
xd
(
x2
)
1 [x2 ln x x2d ln x] 1 [x2 ln x x2 1 dx]
e x (sin x cos x) e x sin xdx 注意循环形式
e
x
sin
xdx
ex 2
(sin
x
cos
x)
C
.
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练习 求积分 sin(ln x)dx.
解 sin(ln x)dx x sin(ln x) xd[sin(ln x)]
x sin(ln
x)
x cos(ln
x)
x2 2
cos x
x2 sin xdx 2
显然，u,v 选择不妥，积分更难进行.
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例2 求Байду номын сангаасxexdx
解 设u x, dv exdx 则 du dx, v ex
xexdx xdex xex exdx
xex ex c (x 1)ex c
练习 求积分 x2e xdx.
上午好
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dx
思索：求（1）
1 1 x2
（2）
x dx 2 3x2
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第三节 不定积分分部积分法
利用两个函数乘积求导法则.
设函数u u( x)和v v( x)具有连续导数,
uv uv uv, uv uv uv,
uvdx uv uvdx, udv uv vdu.
x
2 x
2
2
d
(arctan
x)
x2 arctan x
2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 arctan x
2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
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小结
合理选择 u, v ，正确使用分部积
分公式
uvdx uv uvdx
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思索题：
已知 sin x 是 f (x) 原函数，求
x
xf '(x)dx
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分部积分公式
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例1 求积分 x cos xdx .
解 令 u x, cos xdx d sin x dv
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C.
假如 令 u cos x, xdx 1 dx2 dv
2
x cos xdx
2
2
x
1 x2 ln x 1 xdx 1 x2 ln x 1 x2 c
2
2
2
4
总结：使用分部积分公式关键是正确选择 u和dv，普通标准是（1）v要轻易求得；
（2）vdu 要比 udv 轻易求得。
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例4 求积分 e x sin xdx.
解 e x sin xdx sin xde x e x sin x e xd(sin x) e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x e x sin x (e x cos x e xd cos x)