【导学案】《数列求和之裂项求和》导学案

数学研讨活动公开课
《数列求和之裂项求和》导学案
一、新课导入
()11
111+-
=+n n n n 二、问题探究
例1（2015年全国卷I ） n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知20,243n n n n a a a S >+=+， （1）求{}n a 的通项公式：
（2）设1
1
n n n b a a += ,求数列{}n b 的前n 项和.
变式1：（湖北省武汉部分重点中学2020届高三起点考试）
已知数列{a n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 3＝3，S 3＝9 （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝log 223
3n a +，且{b n }为递增数列，若c n ＝1
4
n n b b +，求证：c 1+c 2+c 3+…+c n ＜1．
变式2：
已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12
111n n T S S S =
+++
，证明：34
n T <.
例2 （晋江市养正中学2021届高二年第一次月考试题2019.9.30）
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2n n S a n =-.
（1）证明数列{1n a +}是等比数列,并求数列{}n a 的通项公式；
（2）设11
11n n n n b a a a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .
变式1：（湖北省黄冈中学
2019届高三数学模拟试题1）
已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝14，a 3＋a 5＝564. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝1
(2n ＋1－1)·S n
，求数列{b n }的前n 项和T n .
变式2：
已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=2a 3+a 4，且S 5=62． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =
，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：≤T n ＜．
变式3：
已知数列{}n a ，{}n b ，其中1,511-==b a ，且满足)3(2111---=
n n n b a a ，)3(2
1
11----=n n n b a b ，
2*,≥∈n N n . （1）求证：数列{}n n b a -为等比数列；
（2）求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧⋅+-1123n n n a a 的前n 项和为n S .
例3
已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）令b n =•sin ，求数列{b n }的前n 项和为T n ．
变式1：正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
2n n n S a a =+（*n N ∈）
，设21
(1)2n
n n n
a c S +=-，则数列{}n c 的前2020项的和为__________．
三、拓展训练
拓展1：22(1)(1)11111()1(1)(1)11
n
n n
n n n n b n n n n n ++-=
-=-=-+-+--+（）（）（） 拓展2：已知,n a n =数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2222
123
357
21
n n
n T S S S S +=+++
+
，求.n T
拓展3：（浙江省名校联盟2020届高三第一次联考试题）
已知等比数列的公比，且，是，的等差中项．数列的通项公式，．
（1）求数列的通项公式； （2）证明：
．
拓展4：（摘自2012《福建中学数学》期刊：第11期的第26页）
四、知识归纳
裂项相消法的常见类型
分式型、等差数列型、指数型、根式型
裂项相消法的一般步骤
求通项 裂项 相消 求和
裂项相消法的常见裂项公式
{}n a 1q >13542a a a ++=39a +1a 5a {}n b n
n b =
Νn *∈n a 12n b b b ++
+<Νn *∈
（1） 1
11)1(1+-=+n n n n （3） ()⎪⎭⎫
⎝⎛+-=+k n n k k n n 1111
（3） ()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=+2112121n n n n （4）
（5）{}则公差为等差数列若数列,0,0,≠≠d a a n n
（6）
()
.111
,11n n n
n n k n k n k n -+=++-+=++特别地
（7）
（8） （9） （10） i
n i n i n C C C 1
11----=
（11） n(n+1)= （12） n(n+1)(n+2)=
六、课后作业布置：
1． 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足4421S a =-，3321S a =-. (1)求{}n a 的通项公式；
(2)记()21log n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12111
2n
T T T +++<….
2.设数列{}n a 满足10a =且
111
111n n
a a +-=--.
(1) 求{}n a 的通项公式； (2)
设1
,1n
n n k n k b b S ===<∑记S 证明：.
4.（2011年全国卷I ） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且2
12326231,9.a a a a a +==
求数列{}n a 的通项公式.
设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和.
5.数列{}n a 的前n 项和记为 11,2,n n n S a a S n +==+，等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且39T =，又 112233,,a b a b a b +++成等比数列． （Ⅰ）求 {}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求证：当n ≥2时，
2221211145
n b b b ++⋅⋅⋅+<. !)!1(!n n n n -+=⋅)!1(1!1)!1(+-=+n n n n ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-=-12112121121211412
n n n n n ()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=++211
1121211n n n n n n n ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=++111111n n
n n a a d a a。