【人教版】六安市舒城中学2020届高三数学上学期第三次统考(期中)试题理

舒城中学2018-2019学年度第一学期第三次统考
高三理数
（时间：120分钟 满分：150分）
一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内)
1．已知集合{|(1)0}A x x x =-≤，{|1}x B x e =>，则
B A
C R ⋂）（
( )
A. [1,)+∞
B. (1,)+∞
C. (0,1)
D. [0,1]
2．已知函数()sin f x x x =-，则不等式(1)(22)0f x f x ++->的解集是
( )
A. 1
(,)3
-∞-
B. 1(,)3
-+∞
C. (,3)-∞
D. (3,)+∞
3．如图，直线l 和圆c ，当l 从0l 开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数.这个函数图像大致是
( )
4.若关于x 的方程
()13
log 32x
a x -=-有解，则实数a 的最小值为 （ ）
A.4
B.8
C.6
D.2
5.要得到函数2y x =
的图象，只需将函数24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
的图象上所有的点
( ) A.向左平行移动4π
个单位长度 B.向右平行移动
8π
个单位长度 C.向右平行移动4
π
个单位长度
D.向左平行移动8
π
个单位长度
6．在ABC ∆中，若()()()sin 12cos sin A B B C A C -=+++∆，则ABC 的形状一定是（ ）
A.等边三角形
B.不含60o
的等腰三角形 C.钝角三角形
D.直角三角形
7.已知函数()4sin cos (0)22x x f x
ωωω=>·
)4sin cos (0)2
2x
x
f x ωωω=>在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大
值，则ω的取值范围为
( )
A.(]0,1
B.30,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C.13,24
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D.[)1,+∞
8．已知点A （1），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转6
π
至OB ，设点C （4，0），∠COB=α，则tan α等于
( )
9.已知1sin 54πα⎛⎫-=
⎪⎝⎭，则3cos 25πα⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
( )
A.7
8-
B.
7
8
C.
1
8
D.18
-
10．若函数()cos f x kx x =-在区间2(,)63
ππ
单调递增，则k 的取值范围是
( )
A [1,)+∞
B 1
[,)2
-
+∞ C (1,)+∞ D 1
(,)2
+∞
11.已知函数()22ln f x x x
=-与
()()
sin g x x ωϕ=+有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函
数
()
g x =
（ ）
A.sin 2x ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
B.sin 2x ππ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
C.sin 2x ππ⎛⎫+
⎪⎝⎭ D.sin 22x ππ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
12.已知函数2(0),
()ln (0).x e x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩
则下列关于函数()11(0)y f f kx k =++≠⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断正确的是
( )
A.当k>0时，有3个零点；当k<0时，有4个零点
B.当k>0时，有4个零点；当k<0时，有3个零点 C .无论k 为何值，均有3个零点
D.无论k 为何值，均有4个零点
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．函数3sin(2)4
y x π
=+
的图象向左平移(0)2
π
ϕϕ<<
个单位后，所得函数图象关于原点成中心对称，则ϕ=
14 已知函数f(x)满足())(13x f x f -=+,且在(]3-,0上,⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤<-+--≤<-+=0
23,2|2|233,3cos 1)(x x x x x f π
则=))2
39
(
(f f _____________________________. 15.设锐角ABC ∆三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若 b=1，则c 的取值范围为
16．已知函数()ln ()2f x x e a x b =+--，其中e 为自然对数的底数.若不等式()0f x ≤对(0,)x ∈+∞恒成立，
则
b
a
的最小值等于____________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分10分）已知函数(
))22sin cos cos sin 2
f x x x x x =+
-. （1）求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭及()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
的最值.
18. （本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2
2222b a c =-
(1)证明：b C a A c =-cos 2cos 2 ； (2)若3
1
tan ,1==A a ，求△ABC 的面积S
19．（本小题满分12分）
设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)经过点），（2
13，离心率为2
3.
(1)求C 的方程；
cos cos )2sin ,
a B
b A
c C +=
20．（本小题满分12分）
我们常常称恒成立不等式:01ln >-≤x x x （，当且仅当1=x 时等号成立）为“灵魂不等式”，它在处理某些函数问题中常常发挥重要作用. （1）试证明这个不等式；
（2）设函数x x ax ax x f ln )(2
--=，且在定义域内恒有,0)(≥x f 求实数a 的值.
21．（本小题满分12分）
如图1，四边形ABCD 为等腰梯形， 2,1AB AD DC CB ====，将A D C ∆沿AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，E 为AB 的中点，连接,DE DB （如图2）. （1）求证： BC AD ⊥；
（2）求直线DE 与平面BCD 所成的角的正弦值.
22.（本小题满分12分）
已知函数2
()42f x x x =++，()(()2)x
g x e f x '=⋅-.
(1)设两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x ，且120x x <<，若函数()f x 的图象分别在点A B 、 处的两条切线互
相垂直，求21x x -的最小值；
(2) 若对任意[)∞+-∈,2x ，()()f x kg x ≤恒成立，求实数k 的取值范围.
舒城中学2018-2019学年度第一学期第三次统考
高三理数
（时间：120分钟 满分：150分）
命题： 审题： 磨题：
一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内)
1．已知集合{|(1)0}A x x x =-≤，{|1}x
B x e =>，则()R A B =ð( )
A. [1,)+∞
B. (1,)+∞
C. (0,1)
D. [0,1]
2．已知函数()sin f x x x =-，则不等式(1)(22)0f x f x ++->的解集是( ) A. 1(,)3-∞- B. 1(,)3
-+∞ C. (,3)-∞ D. (3,)+∞
3．如图，直线l 和圆c ，当l 从0l 开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数.这个函数图像大致是( )
4.若关于x 的方程
()13
log 32x
a x -=-有解，则实数a 的最小值为（ ） A.4 B.8 C.6 D.2
5.要得到函数2y x =
的图象，只需将函数24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
的图象上所有的点
( ) A.向左平行移动4π个单位长度 B.向右平行移动8π
个单位长度 C.向右平行移动4π个单位长度 D.向左平行移动8
π
个单位长度
6．在ABC ∆中，若()()()sin 12cos sin A B B C A C -=+++∆，则ABC 的形状一定是（ ） A.等边三角形
B.不含60o
的等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
7.已知函数()4sin
cos
(0)2
2x
x
f x ωωω=>在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大
值，则ω的取值范围为( )
A.(]0,1
B.30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦
C.13,24⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D.[)1,+∞
8．已知点A （，1），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转
6
π
至OB ，设点C （4，0），∠COB=α，则tan α等于( )
9.已知1sin 54πα⎛⎫-=
⎪⎝⎭，则3cos 25πα⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
( ) A.78- B.78 C.18 D.18
-
10．若函数()cos f x kx x =-在区间2(,)63
ππ
单调递增，则k 的取值范围是( )
A [1,)+∞
B 1[,)2
-+∞ C (1,)+∞ D 1
(,)2+∞
11.已知函数()22ln f x x x =-与
()()
sin g x x ωϕ=+有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函
数
()
g x = （ ）
A.sin 2x ππ⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
B.sin 2x ππ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
C.sin 2x ππ⎛⎫+
⎪⎝⎭ D.sin 22x ππ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
12.已知函数2(0),
()ln (0).
x e x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩则下列关于函数()11(0)y f f kx k =++≠⎡⎤⎣⎦
的零点个数的判断正确的是( )
A.当k>0时，有3个零点；当k<0时，有4个零点
B.当k>0时，有4个零点；当k<0时，有3个零点 C .无论k 为何值，均有3个零点
D.无论k 为何值，均有4个零点
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．函数3sin(2)4
y x π
=+
的图象向左平移(0)2
π
ϕϕ<<
个单位后，所得函数图象关于原点成中心对称，则ϕ=
14 已知函数f(x)满足())(13x f x f -=+,且在(]3-,0上,⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤<-+--≤<-+=0
23,2|2|233,3cos 1)(x x x x x f π
则=))2
39
(
(f f _____________________________. 15.设锐角ABC ∆三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,
cos cos )2sin ,a B b A c C +=1,b =则c 的取值范
围为 .
16．已知函数()ln ()2f x x e a x b =+--，其中e 为自然对数的底数.若不等式()0f x ≤对(0,)x ∈+∞恒成立，
则
b
a
的最小值等于____________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. （本小题满分10分）已知函数())22sin cos cos sin f x x x x x =+
-. （1）求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭及()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
的最值.
18. （本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2
2222b a c =-
(1)证明：b C a A c =-cos 2cos 2 ； (2)若3
1
tan ,1==A a ，求△ABC 的面积S
19．（本小题满分12分）
设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，离心率为32.
(1)求C 的方程；
(2)设直线l 与C 相切于点T ，且交两坐标轴的正半轴于A ，B 两点，求|AB |的最小值．
20．（本小题满分12分）
我们常常称恒成立不等式:01ln >-≤x x x （，当且仅当1=x 时等号成立）为“灵魂不等式”，它在处理某些函数问题中常常发挥重要作用. （1）试证明这个不等式；
（2）设函数x x ax ax x f ln )(2
--=，且在定义域内恒有,0)(≥x f 求实数a 的值.
21．（本小题满分12分）
如图1，四边形ABCD 为等腰梯形， 2,1AB AD DC CB ====，将A D C ∆沿AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，E 为AB 的中点，连接,DE DB （如图2）.
（1）求证： BC AD ⊥；
正弦值.
（2）求直线DE 与平面BCD 所成的角的
22.（本小题满分12分）
已知函数2
()42f x x x =++，()(()2)x
g x e f x '=⋅-.
(1)设两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x ，且120x x <<，若函数()f x 的图象分别在点A B 、 处的两条切线互
相垂直，求21x x -的最小值；
(2) 若对任意[)∞+-∈,2x ，()()f x kg x ≤恒成立，求实数k 的取值范围.
舒城中学2018-2019学年度第一学期第三次统考
高三理数参考答案
BCDCB DCBAB AC
13．83π 14．5 15．2⎛ ⎝
16． 1
2e -
17（1）f(x)=
12sin2x+2cos2x=sin(2x+3π),则f(6
π
)=2,
22k π
π-
+≤2x +
3π22
k π
π≤+，k Z ∈
单调递增区间[-512π+k π,12
π
+ k π],k Z ∈.
（2）由x ∈,44ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
则2x+3π∈5[,]66ππ-，sin(2x+3π)∈[-12,1],所以值域为 [-12,1],
18．解（Ⅰ）证明：因为2c 2
－2a 2
＝b 2
，
所以2c cos A －2a cos C ＝2c ·b 2＋c 2－a 22bc －2a ·a 2＋b 2－c 2
2ab
＝b 2＋c 2－a 2b －a 2＋b 2－c 2b ＝2c 2－2a 2
b
＝b ．
…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）和正弦定理以及sin B ＝sin(A ＋C )得 2sin C cos A －2sin A cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 即sin C cos A ＝3sin A cos C ，
又cos A cos C ≠0，所以tan C ＝3tan A ＝1，故C ＝45°．
…8分
再由正弦定理及sin A ＝
1010得c ＝a sin C
sin A
＝5， 于是b 2＝2(c 2－a 2
)＝8，b ＝22，从而S ＝ 1 2
ab sin C ＝1．
…12分
19．解： (1)由题可知⎩⎪⎨⎪⎧
c a ＝32
，
a 2＝
b 2＋
c 2，
则a 2＝4b 2
，
∵椭圆C 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，∴⎩⎪⎨⎪⎧
3a 2＋14b 2＝1，a 2＝4b 2，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝1.
所以椭圆C 的方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)设直线l 的方程为x m ＋y n
＝1(m >0，n >0)，
由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
4＋y 2
＝1，
x m ＋y
n ＝1，
消去x 得，(m 2＋4n 2)y 2－2m 2ny ＋n 2(m 2
－4)＝0.
∵直线l 与C 相切，∴Δ＝4m 4n 2－4n 2(m 2＋4n 2)(m 2－4)＝0，化简得m 2＋4n 2－m 2n 2
＝0， ∵m >2，∴n 2
＝
m 2m 2－4.∵m 2
＋n 2
＝m 2
＋m 2
m 2－4＝5＋m 2
－4＋4m 2－4
≥9， 当且仅当m 2－4＝
4
m 2
－4
时“＝”成立，即m ＝6，n ＝ 3. ∴|AB |＝m 2
＋n 2
≥3，故|AB |的最小值为3. 20. 解析：（1）
法1（图象法）：在同一坐标系下作出曲线x x f ln )(=和直线1-=x y ，发现它们均经过定点)0,1(，且1)1(='f ，即直线1-=x y 是曲线x x f ln )(=在定点)0,1(处的切线.
故01ln >-≤x x x （，当且仅当1=x 时等号成立）. ……………6分 法2（导数法）：令)0(1ln )(>+-=x x x x g ，则x
x
x x -=
-='111)(g .显然)(x g 在)1,0(内单增，在),1(+∞内单减， 因此).1()(max g x g =于是0)1()(=≤g x g .
即)0(1ln >-≤x x x ,当且仅当1=x 时等号成立. ……………6分
（2）函数)(x f 的定义域是),0(+∞. 因为)ln ()(x a ax x x f --=，所以0)(≥x f 等价于0ln ≥--x a ax ，即
a ax x -≤ln . ……………8分
当1>x 时，1ln -≥
x x a . 由对数型灵魂不等式)1(1ln >-≤x x x 知， 11
ln <-x x
，因此.1≥a 当10<<x 时，1
ln -≤
x x
a . ……………10分 由对数型灵魂不等式)10(1ln <<-≤x x x 知， 11
ln >-x x
，因此.1≤a 当1=x 时，等号成立, .R a ∈
综上可知，实数a 的值是1 ……………12分
21.解:
（I ）证明：在图1中，作CH AB ⊥于H ，则13
,22
BH AH =
=，又1,BC = 2CH CA ∴=∴= AC BC ∴⊥， ……………………………………………………………2分
平面ADC ⊥平面ABC ，且平面ADC ⋂平面ABC AC =，BC ∴⊥平面ADC ，……………4分 又AD ⊂平面ADC ，BC AD ∴⊥.………………………………………………………………………5分
（II ）取AC 中点F ，连接,DF FE ，易得,,FA FE FD 两两垂直，以,,FA FE FD 所在直线分别为x 轴、
y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，110,,0,0,0,,,22E D B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()11310,,,0,1,0,,0,222
2DE BC CD ⎛⎫⎛⎫
∴=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………………………7分
设(),,m x y z =为平面BCD 的法向量，则0{
m BC m CD ⋅=⋅=，即0 0
y z =+=，取(1,0,m =.…9分
设直线DE 与平面BCD 所成的角为θ，则6
sin cos ,4
m DE θ==
，……………………………11分
※ 精 品 ※ 试 卷 ※
※ 推 荐 ※ 下 载- ※ ∴直线DE 与平面BCD
.……………………………………………………12分 22. 解析：（Ⅰ）因为2()42f x x x =++，所以()24f x x '=+，故12()()1f x f x ''⋅=-，
即12(24)(24)1x x +⋅+=-，且1240x +<，2240x +>. ……… 2分 所以[
]21211(24)(24)12
x x x x -=
+-+≥= 当且仅当1224241x x --=+=，即152x =-且232x =-时，等号成立.所以函数()f x 的图象分别在点A B 、处的两条切线互相垂直时，21x x -的最小值为1. ……… 5分
（Ⅱ）2()42f x x x =++，()2(1)x
g x e x =+.
设函数()F x =()()kg x f x -=22(1)42x ke x x x +---（2x ≥-）， 则()F x '=2(2)24x ke x x +--=2(2)(1)x x ke +-.
由题设可知(0)F ≥0，即1k ≥.令()F x '=0得，1x =ln k -，2x =－2. ① 若21k e ≤<，则－2＜1x ≤0，∴1(2,)x x ∈-，()F x '＜0，1(,)x x ∈+∞， ()F x '＞0，即()F x 在1(2,)x -单调递减，在1(,)x +∞单调递增，故()F x 在x =1x 取 最小值1()F x .
而121111()2(1)42x
F x k e x x x =⋅⋅+---=21112242x x x +---=11(2)x x -+≥0， ∴当x ≥－2时，()F x ≥0，即()f x ≤()kg x 恒成立. ……… 8分
②若2k e =，则()F x '=22
2(2)()x e x e e -+-，∴当x ≥－2时，()F x '≥0， ∴()F x 在(－2,+∞)单调递增，而(2)F -=0，∴当x ≥－2时，()F x ≥0， 即()f x ≤()kg x 恒成立. ……… 10分 ③若2k e >，则(2)F -=222ke
--+=222()e k e ---＜0，∴当x ≥－2时，()f x ≤()kg x 不可能恒成立.综上所述，k 的取值范围为[1,2e ]. ………12分。