【精选试卷】上海宝山实验学校数学高二下期末经典复习题(培优专题)

一、选择题
1．(0分)[ID ：13884]如图，,,,A B C D 是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（ ）
A ．A
B CD B
C DA +=+ B ．AC B
D BC AD +=+ C ．AC DB DC BA +=+
D ．AB DA AC DB +=+
2．(0分)[ID ：13883]函数f (x )＝3sin(2x －6π
)在区间[0，2
π]上的值域为( ) A ．[32-，3
2
] B ．[3
2
-，3] C ．[332-
，33
2
] D ．[33
2
-
，3] 3．(0分)[ID ：13859]已知3
sin 34
x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）
A ．1
8
-
B ．12-
C ．
18
D ．
12
4．(0分)[ID ：13855]已知sin cos 1
sin cos 2
αααα-=+，则cos2α的值为（ ）
A ．45
-
B ．
35 C ．
35
D ．
45
5．(0分)[ID ：13893]已知,αβ为锐角，且，5
sin 13
α=
，则cos β的值为（ ） A ．
5665
B ．
3365
C ．
1665
D ．
6365
6．(0分)[ID ：13872]若将函数1()cos 22
f x x =的图像向左平移6π
个单位长度，则平移后
图像的一个对称中心可以为（ ） A ．(
,0)12
π
B ．(
,0)6
π
C ．(
,0)3π
D ．(
,0)2
π
7．(0分)[ID ：13866]若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于
M N ，两点，则MN 的最大值为（ ）
A ．1
B
C D ．2
8．(0分)[ID ：13845]在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半
轴重合，终边过点(1)P -，则sin(2)2
π
α-=（ ）
A B ．C ．
12
D ．12
-
9．(0分)[ID ：13841]已知2sin()
3
,且(,0)2απ
∈-，则tan(2)πα-=
（ ）
A B ． C D ．2
-
10．(0分)[ID ：13840]已知4
cos 25
πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ） A ．
7
25
B ．725-
C ．
2425
D ．2425
-
11．(0分)[ID ：13924]若平面四边形ABCD 满足0,()0AB CD AB AD AC +=-⋅=，则该四边形一定是( ) A ．正方形
B ．矩形
C ．菱形
D ．直角梯形
12．(0分)[ID ：13921]若02
πα<<
，02π
β-
<<，1cos 43πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，
cos 423
πβ⎛⎫
-=
⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）
A ．
3
B ．3
-
C D ．9
-
13．(0分)[ID ：13917]若O 为ABC ∆所在平面内一点，
()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆形状是（ ）．
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．正三角形
D ．以上答案均错
14．(0分)[ID ：13907]如图，在ABC ∆中，23AD AC =
，1
3
BP BD =，若AP AB AC λμ=+，则
=λ
μ
( )
A ．3-
B ．3
C ．2
D ．2-
15．(0分)[ID ：13829]已知A ，B 是半径为2的⊙O 上的两个点，OA ·OB ＝1，⊙O 所在平面上有一点C 满足｜OA ＋CB ｜＝1，则｜AC ｜的最大值为（ ） A ．2＋1
B ．
6
2
＋1 C ．22＋1
D ．6 +1
二、填空题
16．(0分)[ID ：14025]已知向量()1,1a =，()3,2b =-，若2ka b -与a 垂直，则实数k =__________．
17．(0分)[ID ：14018]已知函数()sin()(,0,0,0)2
f x A x x R A π
ωϕωϕ=+∈>><<的
图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为
2
π
，且图象上一个最低点为2(
,2)3
M π
-.则()f x 的解析式为________． 18．(0分)[ID ：14005]已知函数sin()y A x ωϕ=+，(0,0,)2
A π
ωϕ>><图象上一个最
高点P 的横坐标为
1
3
，与P 相邻的两个最低点分别为Q ，R .若PQR ∆是面积为43的等边三角形，则函数解析式为y =__________.
19．(0分)[ID ：13983]实数x ，y 满足2
2
3412x y +=，则23x y +的最大值______． 20．(0分)[ID ：13982]如图在ABC 中，AC BC =，2
C π
∠=
，点O 是ABC 外一
点，4OA =,2OB =则平面四边形OACB 面积的最大值是___________．
21．(0分)[ID ：13977]已知函数()2cos sin 2=-f x x x ，则()f x 的最大值是__________．
22．(0分)[ID ：13972]仔细阅读下面三个函数性质：
（1）对任意实数x ∈R ，存在常数(0)p p ≠，使得1()2
f x p f x p ⎛⎫-=+
⎪⎝
⎭
．
（2）对任意实数x ∈R ，存在常数(0)M M >，使得|()|f x M ≤． （3）对任意实数x ∈R ，存在常数，使得()()0f a x f a x -++=．
请写出能同时满足以上三个性质的函数（不能为常函数）的解析式__________．（写出一个即可）
23．(0分)[ID ：13958]已知两个单位向量a 、b 的夹角为60，(1)c ta t b =+-，若
b c ⊥，则实数t ＝__________.
24．(0分)[ID ：13943]已知已知sin π3
()25
α+=，α∈π(0,)2，则sin(π＋α)等于
__________
25．(0分)[ID ：13932]设G 是ABC ∆的重心（即三条中线的交点），AB a =，
AC b =，试用a 、b 表示AG =________. 三、解答题
26．(0分)[ID ：14084]如图，在ABC ∆中， 3
B π
∠=
， 8AB =，点D 在BC 边上，且
2CD =， 1
cos 7
ADC ∠=
. （1）求sin BAD ∠；
（2）求,BD AC 的长.
27．(0分)[ID ：14079]假设关于某设备的使用年限x 和支出的维修费y (万元)有如下表的统计资料
(1)画出数据的散点图，并判断y 与x 是否呈线性相关关系
(2)若y 与x 呈线性相关关系，求线性回归方程y b x a ∧∧∧
=+的回归系数a ∧，b ∧
(3)估计使用年限为10年时，维修费用是多少? 参考公式及相关数据:
2
122
1
1
1
ˆ,,90,112.3n
i i
n n
i i i i n
i i i
i x y nxy
b a
y bx x x y x
nx ====-=
=-==-∑∑∑∑
28．(0分)[ID ：14076]已知向量()
1,3a =，(1,3b =-. （1）若a λb +与a b λ-垂直，求实数λ的值；
（2）若对任意的实数m ，都有ma nb a b +≥+，求实数n 的取值范围； （3）设非零向量(,)c xa yb x y R =+∈，求
x c 的最大值.
29．(0分)[ID ：14031]已知函数(22(,0)4f x x x R πωω⎛⎫
++∈> ⎪⎝
⎭
的最小正周期是
2
π． (1)求ω的值；
(2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．
30．(0分)[ID ：14035]已知函数()cos 22f x x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调区间.
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 2．B 3．C 4．A 5．A 6．A
7．B
8．D
9．A
10．B
11．C
12．C
13．A
14．B
15．A
二、填空题
16．-1【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k的方程解方程即可求得实数k的值【详解】由平面向量的坐标运算可得：与垂直则即：解得：【点睛】本题主要考查向量的坐标运算向量垂直的充分必要条
17．【解析】【分析】根据函数周期为求出再由图象的最低点得到振幅及【详解】因为图象与两个交点之间的距离为所以所以由于图象的最低点则所以当时因为所以故填：【点睛】本题考查正弦型函数的图象与性质考查数形结合思
18．【解析】【分析】作出三角函数的图象结合三角形的面积求出三角函数的周期和即可得到结论【详解】不妨设是距离原点最近的最高点由题意知是面积为4的等边三角形即则周期即则三角形的高则则由题得所以又所以即故答案
19．【解析】分析：根据题意设则有进而分析可得由三角函数的性质分析可得答案详解：根据题意实数xy满足即设则又由则即的最大值5；故答案为：5点睛：本题考查三角函数的化简求值关键是用三角函数表示xy
20．【解析】分析：利用余弦定理设设AC=BC=m则由余弦定理把m表示出来利用四边形OACB面积为S=转化为三角形函数问题求解最值详解：△ABC为等腰直角三角形∵OA=2OB=4不妨设AC=BC=m则由余
21．【解析】分析：对函数求导研究函数的单调性得到函数的单调区间进而得到函数的最值详解：函数设函数在故当t=时函数取得最大值此时故答案为：点睛：这个题目考查了函数最值的求法较为简单求函数的值域或者最值常用
22．【解析】分析：由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数详解：由题目约束条件可得到的不同解析式由（1）得周期由（2）得最值（有界）
由（3）得对称中心因此可选三角函数点睛：
23．【解析】由题意得即解得t=2；故答案为2
24．【解析】由题意得
25．【解析】【分析】延长交于点利用重心的性质得出以及中线向量可求出的表达式【详解】延长交于点则点为线段的中点由平面向量加法的平行四边形法则可知则为的重心因此故答案为【点睛】本题考查向量的基底分解解题的关
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
用不同的方法表示出同一向量，然后对式子进行化简验证．
【详解】
=-，
=-，DC AC AD
DC BC BD
∴AC AD BC BD -=-， ∴AC BD BC AD +=+．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了平面向量的加减法及其几何意义，属于容易题．
2．B
解析：B 【解析】 【详解】 分析：由0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，求出26x π-的取值范围，从而求出26sin x π⎛
⎫- ⎪⎝⎭的范围，从而可得()f x 的值域.
详解：
[]0,,20,2x x ππ⎡⎤
∈∴∈⎢⎥⎣⎦
， 52,666x π
ππ⎡⎤∴-
∈-⎢⎥⎣⎦
， 12,162sin x π⎛
⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，
()332,362f x sin x π⎛
⎫⎡⎤∴=-∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，
即()f x 在区间0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,32⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，故选B. 点睛：本题考查了求三角函数在闭区间上的值域问题，意在考查解题时应考虑三角函数的单调性与最值，属于简单题.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】 分析题目，2222333x x x ππππ⎛
⎫
⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，得到角的关系，利用诱导公式和二倍角公式计算即可 【详解】
3sin 34x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2cos 2cos 2cos 2333x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
2
2231cos 2cos 212sin 1233348x x x πππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--=--=---=--⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣
⎦
选C 【点睛】
本题考查利用二倍角公式和诱导公式求三角函数值，发现角的关系是解题关键
4．A
解析：A 【解析】 ∵
sin cos 1sin cos 2αααα-=+，∴tan α11
tan α3tan α12
-==+，.
∴cos2α=222222
cos sin 1tan 4cos sin 1tan 5
αααααα--==-++ 故选A
5．A
解析：A 【解析】 解：
根据题意，α，β为锐角，若sinα=513，则cosα=12
13
， 若cos （α+β）=3
5，则（α+β）也为锐角， 则sin （α+β）=
45
， 则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos （α+β）cosα+sin （α+β）sinα=35×1213+45×513=5665
， 点睛：
由cos （α+β）与sinα的值，结合同角三角函数基本关系式计算可得sin （α+β）与cosα的值，进而利用β=[（α+β）﹣α]可得cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos （α+β）cosα+sin （α+β）sinα.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】 通过平移得到1cos(2)23
y x π
=+，即可求得函数的对称中心的坐标，得到答案. 【详解】 向左平移
6π个单位长度后得到1cos 223y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像，则其对称中心为
(),0122k k Z ππ⎛⎫
+
∈ ⎪⎝⎭
,或将选项进行逐个验证,选A. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根
据三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
7．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】 构造函数
，根据辅助角公式，对函数的解析式进行化简，再根据正弦
函数求出其最值，即可得到答案．则可知2()sin cos sin 4F x x x x π⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭，F
（x ）取最大值2,故|MN|的最大值为2,故选B
8．D
解析：D 【解析】 试题分析：因
,则
,故sin(2)
2
π
α-
,选D ．
考点：三角函数的定义．
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
由三角函数的诱导公式，求得2
sin
3
，再由三角函数的基本关系式，求得5cos α
3
， 最后利用三角函数的基本关系式，即可求解tan(2)πα-的值，得到答案. 【详解】
由三角函数的诱导公式，可得2sin()sin 3
παα-==-， 因为(,0)2απ∈-
，所以25cos 1sin αα=-=， 又由sin 25
tan(2)tan cos απααα-=-=-=
，故选A. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简、求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题意首先求得sin α的值，然后利用二倍角公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】
由题意结合诱导公式可得：4
sin cos 25
παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，
则2
247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭
. 本题选择B 选项. 【点睛】
本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．C
解析：C 【解析】
试题分析：因为0,AB CD AB DC +=∴=,所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为
()0,0AB AD AC DB AC -⋅=∴⋅=,所以BD 垂直AC ，所以四边形ABCD 为菱形.
考点：向量在证明菱形当中的应用.
点评：在利用向量进行证明时，要注意向量平行与直线平行的区别，向量平行两条直线可能共线也可能平行.
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用同角三角函数的基本关系求出sin 4πα⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
与sin 42πβ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭，然后利用两角差的余弦公式求出cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦值． 【详解】
02
π
α<<，34
44π
π
πα∴
<+
<
，则sin 43πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，
02
π
β-
<<，则
4
4
2
2
π
π
β
π
<
-
<
，所以，sin 423πβ⎛⎫-==
⎪⎝⎭， 因此，cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫+
=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
1cos cos sin sin 44244233ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=+-++-=+=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 故选C ． 【点睛】
本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点： ①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负； ②利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解．
13．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据向量的减法运算可化简已知等式为()
0CB AB AC ⋅+=，从而得到三角形的中线和底边垂直，从而得到三角形形状. 【详解】
()()()20OB OC OB OC OA CB AB AC -⋅+-=⋅+= ()CB AB AC ∴⊥+
∴三角形的中线和底边垂直 ABC ∆∴是等腰三角形
本题正确选项：A 【点睛】
本题考查求解三角形形状的问题，关键是能够通过向量的线性运算得到数量积关系，根据数量积为零求得垂直关系.
14．B
解析：B 【解析】 ∵21,33AD AC BP BD =
∴=121
()393
AD AB AC AB -=- ∴22
39
AP AB BP AB AC =+=
+ 又AP AB AC λμ=+，∴22,,339λ
λμμ
=== 故选B.
15．A
解析：A 【解析】 【分析】
先由题意得到==
OA OB 3
AOB π
∠=
，以O 为原点建立平
面直角坐标系，设A θθ）得到点B 坐标，再设C （x ，y ），根据点B
的坐标，根据题中条件，即可求出结果. 【详解】
依题意，得：2==
OA OB ，
因为cos OA OB OA OB AOB ⋅=⋅∠， 所以，22cos AOB ⨯∠＝1，得：3
AOB π
∠=
，
以O 为原点建立如下图所示的平面直角坐标系，
设A 2cos θ2sin θ），则B 2cos 3πθ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
2sin 3πθ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
） 或B 2cos 3πθ⎛
⎫
- ⎪⎝⎭
2sin 3πθ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
） 设C （x ，y ）， 当B 2cos 3πθ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
2sin 3πθ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
）时， 则OA CB +2cos θ2cos 3πθ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
－x 2sin θ2sin 3πθ⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
－y ） 由｜OA ＋CB ｜＝1，
得：2
2
2cos 2cos 2sin 2sin 33x y ππθθθθ⎡⎤⎡⎤⎫⎫⎛⎫⎛
⎫-++-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎭⎣⎦⎣⎦＝1，
即点C 在1为半径的圆上，
A 2cos θ2sin θ）到圆心(2cos 2cos 2sin 2sin )33ππθθθθ⎛
⎫
⎛
⎫+
++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，的距离为：2
2 2cos (2sin )33d ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭2
｜AC 21 当B 2cos 3πθ⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭2sin 3πθ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭）时，结论一样． 故选A
【点睛】
本题主要考查向量模的计算，熟记向量的几何意义，以及向量模的计算公式，即可求解，属于常考题型.
二、填空题 16．-1【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k 的方程解方程即可求得实数k 的值【详解】由平面向量的坐标运算可得：与垂直则即：解得：【点睛】本题主要考查向量的坐标运算向量垂直的充分必要条 解析：-1 【解析】 【分析】
由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k 的方程，解方程即可求得实数k 的值. 【详解】
由平面向量的坐标运算可得：()()()21,123,26,4ka b k k k -=--=+-，
2ka b -与a 垂直，则()
20ka b a -⋅=，
即：()()61410k k +⨯+-⨯=，解得：1k =-. 【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
17．【解析】【分析】根据函数周期为求出再由图象的最低点得到振幅及【详解】因为图象与两个交点之间的距离为所以所以由于图象的最低点则所以当时因为所以故填：【点睛】本题考查正弦型函数的图象与性质考查数形结合思
解析：()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
【解析】 【分析】
根据函数周期为π，求出2ω=，再由图象的最低点2(
,2)3
M π
-，得到振幅2A =，及
6
π=ϕ.
【详解】
因为图象与x 两个交点之间的距离为
2π
，所以222T T ππππω=⇒=⇒
=， 所以2ω=，由于图象的最低点2(
,2)3
M π
-，则2A =， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+，当23x π=时，4sin 13πϕ⎛⎫
+=-
⎪⎝⎭
， 因为02
π
ϕ<<，所以6π=
ϕ，故填：()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
【点睛】
本题考查正弦型函数的图象与性质，考查数形结合思想的应用，注意02
π
ϕ<<这一条件
限制，从面得到ϕ值的唯一性.
18．【解析】【分析】作出三角函数的图象结合三角形的面积求出三角函数的周期和即可得到结论【详解】不妨设是距离原点最近的最高点由题意知是面积为4的等边三角形即则周期即则三角形的高则则由题得所以又所以即故答案
解析：2
3y x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
作出三角函数的图象，结合三角形的面积求出三角函数的周期和A ，即可得到结论． 【详解】
不妨设P 是距离原点最近的最高点， 由题意知||T RQ =，
PQR ∆是面积为
∴2
13
4322
T =216T =， 则周期4T =，即
24π
ω
=，则2
π
ω=
，
三角形的高2h A ==A =
则()3sin()2
f x x π
ϕ+，
3sin(6πϕ+()2,62k k Z ππ
ϕπ+=+∈
又2
π
ϕ<
所以2
6
3
π
π
π
ϕ=
-
=
，
即()3sin()23f x x ππ
=+，
故答案为3sin 2
3y x π
π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
【点睛】
本题主要考查三角函数解析式求解，根据条件求出三角函数的周期和振幅是解决本题的关键．
19．【解析】分析：根据题意设则有进而分析可得由三角函数的性质分析可得答案详解：根据题意实数xy 满足即设则又由则即的最大值5；故答案为：5点睛：本题考查三角函数的化简求值关键是用三角函数表示xy
解析：【解析】
分析：根据题意，设2cos x θ=，3sin y θ=，则有234cos 3sin x θθ+=+，进而分析可得()235sin x y θα+=+，由三角函数的性质分析可得答案．
详解：根据题意，实数x ，y 满足2
2
3412x y +=，即22
143
x y +=，
设2cos x θ=，3sin y θ=，
则()234cos 3sin 5sin x θθθα=+=+，3tan 4α⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 又由()15sin 1θα-≤+≤， 则5235x -≤≤， 即23x +的最大值5； 故答案为：5．
点睛：本题考查三角函数的化简求值，关键是用三角函数表示x 、y ．
20．【解析】分析：利用余弦定理设设AC=BC=m 则由余弦定理把m 表示出来利用四边形OACB 面积为S=转化为三角形函数问题求解最值详解：△ABC 为等腰直角三角形∵OA=2OB=4不妨设AC=BC=m 则由余
解析：5+ 【解析】
分析：利用余弦定理，设AOB α∠=,设AC=BC=m ，则AB =．由余弦定理把m 表示出
来，利用四边形OACB 面积为S=2
4sin 4sin 2
OACB ABC m S S αα∆∆=+=+．转化为三角形函数问题求解最值．
详解：△ABC 为等腰直角三角形．∵OA=2OB=4，
不妨设AC=BC=m ，则AB =．由余弦定理，42+22﹣2m 2=16cos α，
∴2108cos m α∴=-．
108cos 4sin 4sin 4sin 4cos 52
OACB ABC S S α
αααα∆∆-∴=+=+=-+
)554
π
α=-+≤.
当3
4
απ=
时取到最大值5+.
故答案为5+
点睛：（1）本题主要考查余弦定理和三角形的面积的求法，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设AOB α∠=，再建立三角函数的模型.
21．【解析】分析：对函数求导研究函数的单调性得到函数的单调区间进而得到函数的最值详解：函数设函数在故当t=时函数取得最大值此时故答案为：点睛：这个题目考查了函数最值的求法较为简单求函数的值域或者最值常用
【解析】
分析：对函数求导，研究函数的单调性，得到函数的单调区间，进而得到函数的最值. 详解：函数()2cos sin2f x x x =-，()2
2sin 2cos24sin 2sin 2,f x x x x x =----'=
设()()[]
2
sin ,422,1,1t x f x g t t t t ===--∈-'，函数在11-1-122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
，
故当t=12-
时函数取得最大值，此时,6
62x f ππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭
. 点睛：这个题目考查了函数最值的求法，较为简单，求函数的值域或者最值常用的方法有：求导研究单调性，或者直接研究函数的单调性，或者应用均值不等式求最值.
22．【解析】分析：由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心
因此可选三角函数详解：由题目约束条件可得到的不同解析式由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数点睛：
解析：4()sin π3f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
【解析】
分析：由（1）得周期，由（2）得最值（有界），由（3）得对称中心，因此可选三角函数. 详解：由题目约束条件可得到()f x 的不同解析式．由（1）得周期，由（2）得最值（有界），由（3）得对称中心，因此可选三角函数()4sin π3f x ⎛⎫=
⎪⎝⎭
. 点睛：正余弦函数是周期有界函数，既有对称轴也有对称中心，是一类有特色得函数.
23．【解析】由题意得即解得t=2；故答案为2 解析：
1
2
【解析】
由题意得,1cos602
a b a b ⋅=⨯⨯=
， 0b c ⋅=,即()()()2
11
1111022
b ta t b ta b t b t t t ⎡⎤⋅+-=⋅+-=
+-=-=⎣⎦， 解得t =2； 故答案为2.
24．【解析】由题意得
解析：4
-5
【解析】 由题意得3π44cos ,(0,)sin ,sin(π)sin 5255
ααααα=
∈∴=+=-=- 25．【解析】【分析】延长交于点利用重心的性质得出以及中线向量可求出的表达式【详解】延长交于点则点为线段的中点由平面向量加法的平行四边形法则可知则为的重心因此故答案为【点睛】本题考查向量的基底分解解题的关
解析：1
133
a b +. 【解析】 【分析】
延长AG 交BC 于点D ，利用重心的性质得出2
3
AG AD =
以及中线向量 ()
1
2AD AB AC =
+可求出AG 的表达式. 【详解】
延长AG 交BC 于点D ，则点D 为线段BC 的中点，
由平面向量加法的平行四边形法则可知2AD AB AC a b =+=+，则11
22
AD a b =
+， G 为ABC ∆的重心，因此，221111
332233
AG AD a b a b ⎛⎫==⨯+=+ ⎪⎝⎭， 故答案为1
1
3
3
a b +
. 【点睛】
本题考查向量的基底分解，解题的关键就是三角形重心的性质和中线向量的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
三、解答题 26．
（12）7. 【解析】
试题分析：（I ）在ABD ∆中，利用外角的性质，得()sin sin BAD ADC B ∠=∠-∠即可计算结果；（II ）由正弦定理，计算得3BD =，在ABC ∆中，由余弦定理，即可计算结果．
试题解析：（I ）在ADC ∆中，∵1cos 7ADC ∠=，∴sin ADC ∠=
∴()sin sin 14
BAD ADC B ∠=∠-∠=
（II ）在ABD ∆中，由正弦定理得：sin 3sin AB BAD
BD ADB
⋅∠=
=∠
在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos 49AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅= ∴7AC =
考点：正弦定理与余弦定理．
27．
（1）见解析；（2）0.08a =， 1.23b =；（3）12.38万元 【解析】 【分析】
（1）在坐标系中画出5个离散的点；
（2）利用最小二乘法求出 1.23b =，再利用回归直线过散点图的中心，求出0.08a =； （3）将10x =代入（2）中的回归直线方程，求得12.38y =. 【详解】
（1）散点图如下：
所以从散点图年，它们具有线性相关关系. （2）2345645x ++++=
=， 2.2 3.8 5.5 6.57.0
55y ++++==，
于是有2112.354512.3
1.23905410
b -⨯⨯=
==-⨯，
51,2340.08a y bx =-=-⨯=.
（3）回归直线方程是 1.230.08,y x =+
当10x =时， 1.23100.0812.38y =⨯+=（万元）， 即估计使用年限为10年时，维修费用是12.38万元. 【点睛】
本题考查散点图的作法、最小二乘法求回归直线方程及利用回归直线预报当10x =时，y 的值，考查数据处理能力.
28．
（1）1λ=±（2）2n ≤-或2n ≥（33
【解析】 【分析】
（1）由向量垂直的坐标运算即可得解；
（2）由向量模的运算可得2230m mn m ++-≥对任意实数m 都成立，再结合判别式
()
22430n n ∆=--≤求解即可；
（3）由向量模的运算可得2
22
2222224442x x x c x xy y x a xya b y b ⎛⎫== ⎪ ⎪+++⋅+⎝⎭
，再分别讨论当0x =时，当0x ≠时，求解即可. 【详解】
解：（1）由向量()
1,3a =，(1,3b =-. 则2a b ==
由a b λ+与a b λ-垂直，得()()
0a b a b λλ+⋅-=， 即2220a b λ-=，从而2440λ-=，解得1λ=±；
（2）由ma nb a b +≥+，将2
2222
2m a mna b n b a b +⋅+≥+，
即2244412m mn n ++≥，
从而2230m mn m ++-≥对任意实数m 都成立， 于是(
)
2
2
430n n ∆=--≤，解得2n ≤-或2n ≥； （3）当0x =时，
0x c
=；
当0x ≠时，2
22
2222
224442x x x c x xy y x a xya b y b ⎛⎫== ⎪ ⎪+++⋅+⎝⎭
2
2
11
1444
432y y y x x x =
=
⎛⎫
⎛⎫
++++ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
， 故当
12y x =-时，||||x c 有最大值3
3
，
综上可得||||x c 有最大值
3
3
. 【点睛】
本题考查了向量垂直的坐标运算，重点考查了向量模的运算，属中档题.
29．
(1) 2ω= (2) 函数f (x )的最大值是2＋
，此时x 的集合为{x |x ＝
16
π +2k π
，
k ∈Z}．
【解析】
试题分析析：本题是函数sin()y A x ωϕ=+性质问题，可借助正弦函数的图象与性质去研究，根据周期公式可以求出ω，当函数的解析式确定后，可以令2sin y t =
，
24
t x π
ω=+
，根据正弦函数的最大值何时取得，可以计算出24
x π
ω+
为何值时，函数值
()f x 取得的最大值，进而求出x 的值的集合.
试题解析：
(1)∵f (x )＝2sin （24
x π
ω+ ＋2(x ∈R，ω＞0)的最小正周期是
2π，∴
222
ππ
ω=，所以ω＝2. (2)由(1)知，f (x )＝
sin 44x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭ ＋2.
当4x ＋
4π＝2π＋2k π(k ∈Z)，即x ＝16π＋2k π(k ∈Z)时，sin 44x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭取得最大值1，
所以函数f (x )的最大值是2x 的集合为{x |x ＝16π＋2
k π，(k ∈Z)}． 【点睛】函数sin()y A x ωϕ=+的最小正周期为2T π
ω
=
，根据公式求出ω，页有关函数
sin()y A x ωϕ=+的性质可按照复合函数的思想去求，可以看成sin y A t =与.复合而成的
复合函数，譬如本题求函数的最大值，可以令424
2
x k π
π
π+=+
，求出x 值，同时求出函
数的最大值2.
30．
(1) ()f x 的最小正周期为2π (2) ()f x 的单调增区间为()72,266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：（1）化简函数的解析式得()2sin 3f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，根据周期公式求得函数的周期；（2）由()222
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-+≤+
≤
+∈，求得x 的取值范围即为函数的单调增
区间，由
()3222
3
2
k x k k Z ，π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈求得x 取值范围即为函数的单调减区间。

试题解析：
（Ⅰ）()cos 22f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=
+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
sin x x =+
2sin 3x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
∴()f x 的最小正周期为2π. （Ⅱ）由()222
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-+≤+
≤
+∈，，
得()52266
k x k k Z ππ
ππ-
+≤≤+∈ ∴()f x 的单调增区间为()52,266k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢
⎥⎣⎦
由()3222
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+≤
+∈，， 得
()72266
k x k k Z π
π
ππ+≤≤
+∈
∴()f x 的单调减区间为()72,266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢
⎥⎣⎦。