信号与系统

第二章：信号与系统
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授
• 对周期性连续时间信号采样，所得到的序列不一
定是周期的。只有当信号的基波周期 T与0 采样间隔
T之s 比 T0 是/ T有s 理数时，采样所得到的序列才具有
周期性。
二. 指数信号：( Exponential signal )
1. 连续时间指数信号： x(t) Ceat
x(t) x(t)
如果有
则称为共轭奇信号。
x(n) x(n)
任何信号都能分解成一个偶信号与一个奇信号之和。
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对实信号有：
x(t) xe (t) xo (t)
x(n) xe (n) xo (n)
其中：
1
xe (t)
[x(t) 2
x(t)]
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e 信号 e j0t 和 j0n 的比较
❖ 0不同，信号不同
❖ 对任何 信0 号都是周
期的
❖ 频率相差 2的整数倍时,
信号相同
❖ 仅当 0
才是周期的
2时 m
N
❖
基波频率
0
2 T0
❖ 基波周期： T0
❖ 基波频率 2 0
Nm ❖ 基波周期： N
第二章：信号与系统
• 正弦信号 • 指数信号 • 单位阶跃信号
• 符号函数 • 单位冲激和单位脉冲信号
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一.正弦信号：( Sinusoidal signal )
•连续时间正弦信号：x(t) Acos(0t )
周期信号，基波周期 T0 2 / 0
•离散时间正弦信号：x(n) Acos(0n )
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离散时间信号的频率有效范围只有 2。高频对应
于 的奇数倍处，低频对应于 的偶数倍处。
x(n) cos(0 n) 1 x(n) cos( n / 8)
x(n) cos( n / 4)
x(n) cos( n / 2)
第二章：信号与系统
x(n) cos( n)
例如： x(n) x(2n)
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显然 x(2n)是从 x(n) 中依次抽出自变量取偶数时的 各点而构成的。这一过程称为对信号 x(n)的抽取（
decimation）。对信号抽取的过程是不可逆的。
x(n)
x(n / 2) n为偶数
x1(n) 0
n为奇数
f (t) et[u(t) u(t t0 )]
f (t)
1
x(t)
t
0
t0
1
t
x(t) (1 t )[u(t ) u(t)] (1 t )[u(t) u(t )]
u(n) 在信号表示中也有同样的用途。
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四. 符号函数：
定义：sgn(t
2. 离散时间指数信号： x(n) C n
1. 实指数信号： C, 为实数
0 1
1
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1 0
1
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2. 复指数信号：C 1, e j0
x(n) e j0n 与 x(t) e j0t 形式相同
但该信号不一定是周期的。只有在0 / 2是有理数
频率 0的量纲为弧度（ r）ad。
•离散时间正弦信号不一定是周期的。
设 x(n) cos0n 具有周期性，则
cos0n cos0 (n N ) 0N 2 m
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即：
0 m
2 N
表明只有当 0 / 2 是有理数时，信号才是周期的。
• 离散时间信号可以通过 对连续时间信号提取其离 散时刻的样本（即采样） 而得到。对同一个连续时 间信号以不同的时间间隔 采样，将得到不同的序列。
第二章 信号与系统
2.0 引言: (introduction)
本章旨在讨论信号与系统的基本概念，建立其相 应的数学描述方法，以便利用这种数学描述及其表 示，建立一种信号与系统的分析体系。
2.1 信号的描述与时域变换：
一.信号的表示： 信号可以描述范围极广泛的物理现象。
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满足此关系的正实数（正整数）中最小的一个，称
为信号的基波周期 T（0 N0）。
x(t) c 可视为周期信号，但它的基波周期没有确
定的定义。
x(n) c 可以视为周期信号，其基波周期 N0 1 。
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2.2 常用的基本信号:( basic signals )
Rex(n) | C | rn cos(0n ) Imx(n) | C | rn sin(0n )
实部、虚部都是按指数规律变化的正弦振荡。
r 1 振幅按指数规律增长 r 1 振幅按指数规律衰减
r 1 正弦振荡
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r 1 r 1
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xo
(t)
1 2
[
x(t)
x(t)]
其中：
xe
(n)
1 2
[x(n)
x(n)]
xo
(n)
1 2
[x(n)
x(n)]
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对复信号有：
x(t) xe (t) xo (t)
x(n) xe (n) xo (n)
其中：
xe
(t)
1 2
[x(t)
x (t )]
4. 复指数信号：C | C | e j , a j0
x(t) | C | e te j(0t )
Rex(t) | C | et cos(0t ) Imx(t) | C | et sin(0t )
实部和虚部都是按指数规律变化的正弦振荡。
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)
1 1
(t 0) (t 0)
符号函数与单位阶跃的关系：
sgn(t) u(t) u(t)
sgn(t)
1
0
t
-1
sgn(t) 2u(t) 1
d sgn(t) 2 (t)
dt
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五. 单位脉冲与单位冲激：( Unit impulse )
1. 单位脉冲:
其中：
xe
(n)
1 2
[x(n)
x
(n)]
xo
(t)
1 2
[x(t)
x (t )]
xo
(n)
1 2
[x(n)
x (n)]
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例：
四. 周期信号与非周期信号：
周期信号的定义： x(t T ) x(t)
x(n N) x(n)
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x(n)
3
2
22
11
n
0 1 2 34 56
x1 (n)
21
3
2
2
1
n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
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• 从 x(n到) x的1(过n)程称为对信号 的内x(插n)
（interpolation )。对信号内插的过程是可逆的。
时才具有周期性。
当
0 2
时 ，mN满足此关系的
与 中m，
N
必有一组是无公因子的，此时的 N即为信号的基
波周期 。N0
基波频率
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B
2
N0
0
m
N0
2 0
m
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3. 成谐波关系的复指数信号集：
jk 2 n
k (n) e N
基波周期 N，基波频率
t0 0 时，信号向左平移 t0
x(t t0 )
A
x(t t0 )
A
0
T
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t 0 t0
T t0 t t0 0 T t0 t
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x(n) xn n0 当n0 0时，信号向右平移 n0
n0 0 时，信号向左平移 | n0 |
x(n)
x(n 1)
样本而得到。如： x(t) x(nT )
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二. 信号的自变量变换：
由于信号可以表示为自变量的函数，当自变量 变化时，必然会使信号的特性发生相应的改变。
1. 时移变换： Shift of Signals
x(t)
x(t)
A
x(t t0 ) 当 t0 0 时，信号向右平移 t0
• 离散时间信号表示为 x(n), x(n1, n2 )...
• 连续时间信号的自变量在实数域内取值，自变量 连续变化，信号值可以有间断点。
• 离散时间信号的自变量在整数域内取值，自变量 只能取整数，信号值可以在实数域内连续变化。 • 如果将信号值加以量化，则称之为数字信号。
• 离散时间信号也可以从连续时间信号通过提取其
(n) 1 0
，n 0
，n 0
(n)具有提取信号 x(n) 中某一点的样值的作用。
x(n) (n) x(0) (n)
x(n 1)
01 2 3 n
0 1 2 3 4 n -1 0 1 2
n
2. 反转变换：Reflection of Signals
x(t)
x(n)
x(t) 信号以t 0为轴做镜像对称。 x(n) 与连续时间的情况相同。
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x(t)
3. 尺度变换： Scaling
u(t)
1
t
0
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2. 离散时间单位阶跃：
u(n)
1, 0,
n0 n0
•单位阶跃的应用：
u(n)
1
…. n
0
G(t) u(t) u(t )
G(t)
1
t
0
第二章：信号与系统
G1(t) u(t t0) u(t )
G1 (t )
1
t
0 t0
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综合示例：
由
x(t)
x(3t
1) 2
做法一：x(t) x(t 1) x(3t 1)
2
2
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做法二 ： x(t) x(3t) x(3t 1) 2
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三. 奇信号与偶信号：
对实信号而言：
x(t) x(at) a 1 时 x(at)是将 x(t) 在时间上压缩 a 倍， 0 a 1 时 x(at)是将 x(t)在时间上扩展1/a 倍。
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实例： 照片放大。 由于离散时间信号的自变量只能取整数值，因而尺度 变换只对连续时间信号而言。
x(n) cos(3 n / 2)
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x(n) cos(7 n / 4) x(n) cos(15 n / 8)
x(n) cos(2 n)
三. 单位阶跃：( Unit step ) 1. 连续时间单位阶跃：
1, t 0
u(t)
0, t 0
第二章：信号与系统
• 信号可以分为确知信号与随机信号，也可以分为连续 时间信号与离散时间信号。
• 作为信号分析的基础，本课程只研究确知信号。
• 确知信号可以表示成一个或几个自变量的函数。 连续时间信号的例子： 离散时间信号的例子：
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• 连续时间信号表示为 x(t), x(t1,t2 )...
x(t) x(t)
如果有
则称该信号是偶信号。
x(n) x(n) （镜像偶对称）
如果有 x(t) x(t) 则称该信号为奇信号
x(n) x(n)
（镜像奇对称）
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对复信号而言：
x(t) x(t) 如果有 x(n) x(n) 则称该信号为共轭偶信号。
1. 实指数信号：C , a为实数
x(t)
x(t)
C 0
第二章：信号与系统
a0 t
C a0t
0
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2. 周期性复指数信号： C 1, a j0
x(t) e j0t cos 0t j sin 0t
基波周期
T0
2
/
，实部、虚部均为正弦信号。
0
显然，
cos 0t
1 2
e j0t
e
j0t
3. 成谐波关系的复指数信号集：
k (t) eHale Waihona Puke jk0tk 0, 1, 2,
此信号集中的每一个信号都是周期的，其周期为
每Tk 个 信2号/。的| k所频有0率| 信都号是的公的0 共整周数期倍为。
T0。 2 / | 0 |
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k 0, 1, 2,
2 。/ N
j (k N ) 2 n
jk 2 n
由于 kN (n) e
N e N k (n)
表明该信号集中的信号并不都是独立的，其中只有
N 个独立的谐波分量。
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4. 一般的复指数信号: C | C | e j , re j0 x(n) | C | r ne j(0n )