吉林省延边二中2015-2016学年高二下学期期中考试数学(理)试题 含答案

延边第二中学2015—2016学年度第二学期期中
考试高二数学（理）试卷 (时间120分，满分140分)
一、选择题（共12小题,每小题4分，共48分,每题只有一个选项正确）
1．在复平面内，复数312i
z i
=
-+的虚部为（ ）．
A ．35i
B ．35i -
C ．35
D ．3
5
-
2．用数学归纳法证明12+32+52+…+（2n ﹣1）2=n （4n 2﹣1）过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左边增加的项为（ ）
A ．（2k)2
B ．(2k+3)2
C ．（2k+2）2
D ．(2k+1)2
3．4
cos 2cos sin x
dx x x π
=+⎰
（
）
A ．)221
B 21
C 21
D ．224．已知(0,)x ∈+∞有下列各式:34
224,212
2≥++=+≥+x
x x x x x
x ，4273332733≥+++=+x x x x x x 成立,观察上面各式，按此规律若4
5a
x x +≥，则正数a =（ ）
A ．4
4 B ．
5 C ． 4 D ．5
5
5．函数
8
)(3-+
+=x
a
x x x f )(R a ∈在区间],[n m 上有最大值10,则函数)(x f 在区
间],[m n --上有（ ) A 。

最大值—10 B 。

最小值—10 C 。

最小值—26
D 。

最大值—26 6．若曲线()(),a f x x g x x =
=，在点()1,1P 处的切线分别为12,l l ，且12l l ⊥,则实
数a 的值为( ）
A 。

—2
B 。

2
C .12
D 。

1
2
-
7．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯"到“9999⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“3"或“6”或“9"的一律作为“优惠卡"，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ）
A ．2000
B ．4096
C ．7599
D ．8320
8．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座,每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有 （ ）A.36种
B. 30种
C. 24种 D 。

6种
9．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不相同,则共有不同的放法（ ）
A ．15种
B ．18种
C ．19种
D ．21种
10．将5本不同的书摆成一排，若书甲与书乙必须相邻，而书丙与书丁不能相邻，则不同的摆法种数为( )
A ．48
B ．24
C ．20
D ．12 11．设函数x x x f sin 1)(-=在0
x x =处取极值，则)2cos 1)(1(0
2
x x ++=( ）．
A ． 1
B ．12
C ．2
D ． 4
12．已知曲线,点是曲线上的点,曲线
在点处的切线是，与轴相交于点。

若原点到切线的距离
与线段
的长度之比取得最大值,则点的坐标为（ ）
A ．1
1,
4n n ⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．
11,24n n ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．
11,2n n ⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．
11,42n n ⎛⎫
⎪⎝⎭
二、填空题(包括4小题,每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上）
13。

若函数()3
1f x ax
x =++图像在点()()1,1f 的处切线过点()2,7,则
a =
.
14．定义在R 上的函数)(x f 满足:()1()f x f x '>-,(0)6f =,()f x '是()f x 的导函数，则不等式()5x
x e
f x e >+(其中
e 为自然对数的底数）的解集为 ．
15．埃及数学发现一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他分数都可写成若干个单分数（分子为1的分数)和的形式，例如
2115315=+，可以这样理解:假定有两个面包,要平均分给5人，如果每人12，不够，每人13，余13,再将这13分成5份，每人得115,这样每人分得11
315
+。

形如()25,7,9,11n n =的分数的分解:211211211,,531574289545
=+=+=+,按此规律
2
11
= 。

16。

已知函数21()(,g x a x x e e
=-≤≤e 为自然对数的底数）与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点,则实数a 的取值范围是 。

三、解答题（包括6个题，17、18题各10分，19、20、21题12分,22题为附加题，20分。

请写必要的解答过程) 17.已知复数)()65(6722
R a i a a a a
z ∈--++-=,
（1）a 为何值时，z 是纯虚数;（2)当
106
z
a =-Z 的共轭复数.
18. 某地有10个著名景点，其中8 个为日游景点，2个为夜游景点．某
旅行团要从这10个景点中选5个作为二日游的旅游地．行程安排为第一天上午、下午、晚上各一个景点，第二天上午、下午各一个景点．
(1）甲、乙两个日游景点至少选1个的不同排法有多少种? （2）甲、乙两日游景点在同一天游玩的不同排法有多少种? (3)甲、乙两日游景点不同时被选，共有多少种不同排法？
19．湖北宜昌“三峡人家”风景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查,旅游收入y 万元与投入)10(≥x x 万元之间满足：10
ln 50101)(2
x
b x ax x f y -+
==,b a ,为常数，当10=x 万元时，2.19=y 万元；当20=x 万元时，7.35=y 万元。

（参
考数据：7.02ln =，1.13ln =,6.15ln =） (Ⅰ)求)(x f 的解析式；
（Ⅱ)求该景点改造升级后旅游利润)(x T 的最大值。

（利润=旅游收入-投入)
20．已知()ln 1
m f x n x x =++（,m n 为实数)，在1x =处的切线方程为20x y +-=．
（ 1）求()y f x =的单调区间;
（2）若任意实数1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，使得对任意1,22
t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
的上恒有()3
222f x t
t at ≥--+成
立，求实数a 的取值范围．
21。

已知函数
2
(1)()ln 2
x f x x -=-
．
(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）确定实数k 的所有可能取值,使得存在0
1x
>,当0(1,)x x ∈时，恒有
()()1f x k x >-．
22。

（附加题)（本小题满分20分)设函数()2
21ln g x x x m x =-++(R m ∈）
． （1）求函数()y g x =的单调递增区间;
(2）若函数()y g x =有两个极值点a ，b ,且a b <，记[]x 表示不大于x 的最
大整数,试比较()()sin g a g b ⎡⎤
⎣⎦⎡⎤⎣⎦
与()()()cos g a g b ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的大小．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D C A C A C B
B
B
C
B
12．试题分析：因为
,所以切线
的方程为
，即
，令
，得
,所以点坐标
为
；原点
到切线的距离
，
，所以
，当且仅当
，即时，等号成立，此时
，所以点的坐标为
.
13． 1 14．（0,+∞) 15．11
666
+ 16．
2[1,2]e -。

试题分析：由题意，方程22ln a x x -=-在1
[,]e e
上有解，变形为212ln ()a x x x e e
=-≤≤，2'2a x x =-，
当11x e
≤<时，'0a <，当1x e <≤时,'0a >,'(1)0a =，因此1x =时，a 取得最小值1,又211()2a e e =+,2()2a e e =-，因为221
22e e
->+，所以a 的最大值为22e -，a 的范围是2
[1,2]e
-。

17。

【答案】(1）1=a （2）当2a =时，412z i =--,得412Z i =-+；当2a =-时，248z i =+，得248Z i =-
试题分析：(1)Z 是纯虚数,0672
=+-a a ，且0652≠--a a ，得1=a 10分
（2
）当
6
z
a =-
,
(1)(1)a a i -++22(1)(1)10
a a -++=，得2±=a
当2a =时，412z i =--，得412Z i =-+；当2a =-时,248z i =+，得248Z i =- 18. 【答案】（1）甲、乙两个日游景点至少选1个的不同排法有2640种；
(2）甲、乙两日游景点在同一天游玩的不同排法有240种； （3)甲、乙两日游景点不同时被选,共有2640种不同排法.
试题分析：(1）()26404
43612442612=⨯⨯+⨯A C C A C C (种）
(2）2402
6221212=⨯⨯⨯A A C C (种） (3）()26404
4264812=⨯-⨯A C A C (种)
19。

．(Ⅰ）
).10(10
ln 50101100)(2≥-+-=x x x x x f ;(Ⅱ)24。

4
万元。

试题分析：（Ⅰ)由10=x 万元时,2.19=y 万元;20=x 万元时,7.35=y 万元代入已知函数，解方程组b a ,；（Ⅱ）由导数法求极值，再求最值。

试题解析:（Ⅰ）由条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⨯+⨯=-⨯+⨯7
.352ln 2050101202.191ln 1050
1011022
b a b a ，
解得1,100
1
=-=b a ， 则
).10(10
ln 50101100)(2≥-+-=x x
x x x f
（Ⅱ）由)10(10
ln 5051
100)()(2≥-+-=-=x x x x x x f x T
则x
x x x
x x T 50)50)(1(150
5150
)(---=-+-=',
令1,0)(=='x x T 则（舍）或50=x
当)50,10(∈x 时，0)(>'x T ，因此)(x T 在（10,50）上是增函数; 当),50(+∞∈x 时,0)(<'x T ，因此)(x T 在（50,+∞）上是减函数，
50=∴x 为)(x T 的极大值点。

即该景点改造升级后旅游利润)(x T )的最大
值为4.24)50(=T 万元。

20．(1）减区间为()0,+∞，没有递增区间;(2）54
a ≥
试题解析：（1）()()
'
2
1m
n
f x x
x =-
+
+,由条件可得:()()'111,112,2f f m n ==∴==-
()()
()()''2
2
1
0021f x x f x f x x
x ∴=-
+
>∴<∴+的减区间为()0,+∞，没有递增区间；
（2)由⑴可知，()f x 在1,1e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值为()11f =
∴只需3221212t t at a t t t --≤∴≥-+
对任意1,22t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立 令()()()()2
2
'2212111,21t t t g t t t g t t t t t
-++=-+=--= ∴当
1
12
t ≤<时,()()'0,g t g x <单调递减,当12t <≤时，()()'0,g t g x >单调递增 而()()1202g g g t ⎛⎫
-<∴ ⎪
⎝⎭
的最大值为()522g =∴只需55224
a a ≥∴≥; 21．【答案】（Ⅰ）
⎛ ⎝⎭
;（Ⅱ)详见解析;(Ⅲ）(),1-∞． 试题解析：(I ）()2111x x f x x x x -++'=-+=，()0,x ∈+∞．由()0f x '>得2010
x x x >⎧⎨-++>⎩解
得0x <<()f x
的单调递增区间是10,2⎛
+
⎝
⎭
． （II)令()()()F 1x f x x =--，()0,x ∈+∞．则有()2
1F x x x
-'=
．
当()1,x ∈+∞时，()F 0x '<，所以()F x 在[)1,+∞上单调递减，故当1x >时，
()()F F 10x <=,即当1x >时，()1f x x <-．
（III ）由（II ）知,当1k =时，不存在0
1x >满足题意．
当1k >时,对于1x >,有()()11f x x k x <-<-,则()()1f x k x <-,从而不存在0
1x
>满足
题意．当
1
k <时，令
()()()G 1x f x k x =--，
()
0,x ∈+∞,则有()()2111
G 1x k x x x k x x
-+-+'=-+-=
．由
()G 0
x '=得，
()2110
x k x -+-+=．解得
10x =
<
,2
1
x
=
>．当()2
1,x x ∈时，()G 0x '>，故()G x 在[)
2
1,x 内单调递增．从而当()2
1,x x ∈时，()()G G 10x >=，即()()1f x k x >-，综上,k 的取值范围是(),1-∞．
22。

【答案】（1)21≥m 函数的增区间为),0(+∞;2
1
0<<m ，函数的单调增区间为
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--2211,0m 与
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞-+,2211m ;
≤m 函数的单调增区间为
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞-+,2211m (2) 当[()]1g a =-时,)]
([)]([sin b g a g >)])()][(cos([b g a g ;
当[()]0g a =时，)]
([)]([sin b g a g <)])()][(cos([b g a g
试题解析：（1)显然函数的定义域为),0(+∞，且x
m x x x m x x g +-=+-=2222)(2/
令
0)(/>x g 并结合定义域可得0222>+-m x x 对应一元二次方程的判别式
m
84-=∆故当084>-=∆m ，即2
1<m 时，对应方程有两个不等实根2
2111m
x --=
与2
2112
m
x
-+=
①
当084≤-=∆m ，即2
1≥m 时，0)(/
≥x g
恒成立,所以函数的增区间为),0(+∞
②
当2
10<<m 时,对应方程两根为正，故函数的单调增区间为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2211,0m 与⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞-+,2211m
③
当0≤m 时，对应方程两根01
≤x
，02>x ，故函数的单调增区间为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞-+,2211m (3）x
m
x x x m x x g +-=+-='2222)(2，令0)(='x g 得,0222=+-m x x 由题意知方程有两
个不相等的正数根)(,b a b a <,则⎪⎩
⎪⎨⎧>>-=∆02,
0)21(4m
m 解得2
10<<m ，
解方程得2
211m
b -+=，则12
1<<b .又由0222
=+-m b b
得b b m 222+-=，
所以)(b g =b b b b b b m b b
ln )22(12ln 12222
+-++-=++-，).1,2
1
(∈b
b
b b b b b b g ln )2
1
(422ln )24(22)(--=-++-+-='当)1,2
1(∈b 时,
)(>'b g ,即函数)(b g 是
)1,21(上的增函数所以0)(42ln 21<<-b g ，故)(b g 的取值范围是)0,42ln 21(-则1
)]([-=b g . 同理可求
2
1
0<
<a ,
)
(a g =
a
a a a a ln )22(1222+-++-，
a ).21,0(∈0
ln )21
(4)(<--='a a a g ，即函数
)
(a g 是
)2
1,0(上的减函数所以
1)(42
ln 21<<-a g ，故)(a g 的取值范围是)1,4
2ln 21(-则[()]1g a =-或[()]0g a =当
[()]1g a =-时，)]([)]([sin
b g a g >)])()][(cos([b g a g ；当[()]0g a =时，)]
([)]
([sin b g a g <)])()][(cos([b g a g 。