双台子区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

双台子区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 已知函数，则（ ）(5)2()e
22()2x
f x x f x x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩
(2016)f -=A ．
B ．
C ．1
D ．
2
e e 1e
【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力．
2． 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知在S n 中有S 17＜0，S 18＞0，那么S n 中最小的是（ ）
A ．S 10
B ．S 9
C ．S 8
D ．S 7
3． 复数z=在复平面上对应的点位于（
）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4． 若函数f （x ）=﹣2x 3+ax 2+1存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．[0，+∞）
B ．[0，3]
C ．（﹣3，0]
D ．（﹣3，+∞）
5． 下列各组函数为同一函数的是（ ）
A ．f （x ）=1；
g （x ）=B ．f （x ）=x ﹣2；
g （x ）=
C ．f （x ）=|x|；g （x ）=
D ．f （x ）=
•
；g （x ）=
6． 已知集合，，则满足条件的集合的2
{320,}A x x x x R =-+=∈{05,}B x x x N =<<∈A C B ⊆⊆C 个数为 A 、
B 、
C 、
D 、234
7． 已知抛物线：的焦点为，是抛物线的准线上的一点，且的纵坐标为正数，
C 2
8y x =F P C P 是直线与抛物线的一个交点，若，则直线的方程为（ ）
Q PF
C PQ =u u u r u u r
PF A ． B ．
C ．
D ．20x y --=20x y +-=20x y -+=20
x y ++=8． 已知抛物线：的焦点为，定点，若射线与抛物线交于点，与抛C 2
4y x =F (0,2)A FA C M 物线的准线交于点，则的值是（ ）
C N ||:||MN FN A ．
B ．
C ．
D
2)21:(1+9． 设x ，y ∈R ，且满足，则x+y=（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．在等比数列{a n }中，已知a 1=3，公比q=2，则a 2和a 8的等比中项为（ ）A ．48
B ．±48
C ．96
D ．±96
11．已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．13
2
3
1
2
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
12．（2014新课标I ）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 做直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数f （x ），则y=f （x ）在[0，π]的图象大致为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．某校开设9门课程供学生选修，其中A ，B ，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有 种．
14．已知集合M={x||x|≤2，x ∈R}，N={x ∈R|（x ﹣3）lnx 2=0}，那么M ∩N= ．15．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定
(),A B
k k A B AB
ϕ-=
（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：
①函数3
2
1y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ>②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点A,B 是抛物线2
1y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；
④设曲线x
y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1
t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.
其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）16．已知x ，y 满足条件
，则函数z=﹣2x+y 的最大值是 ．
17．抛物线y 2=8x 上到顶点和准线距离相等的点的坐标为 ．　18．
17．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．
三、解答题
19．A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|ax﹣2=0}，若B⊆A，求a．
20．已知等边三角形PAB的边长为2，四边形ABCD为矩形，AD=4，平面PAB⊥平面ABCD，E，F，G分别是线段AB，CD，PD上的点．
（1）如图1，若G为线段PD的中点，BE=DF=，证明：PB∥平面EFG；
（2）如图2，若E，F分别是线段AB，CD的中点，DG=2GP，试问：矩形ABCD内（包括边界）能否找到点H，使之同时满足下面两个条件，并说明理由．
①点H到点F的距离与点H到直线AB的距离之差大于4；
②GH⊥PD．
21．设函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值．
22．为了培养中学生良好的课外阅读习惯，教育局拟向全市中学生建议一周课外阅读时间不少于t0小时．为此，教育局组织有关专家到某“基地校”随机抽取100名学生进行调研，获得他们一周课外阅读时间的数据，整理得到如图频率分布直方图：
（Ⅰ）求任选2人中，恰有1人一周课外阅读时间在[2，4）（单位：小时）的概率
（Ⅱ）专家调研决定：以该校80%的学生都达到的一周课外阅读时间为t0，试确定t0的取值范围
23．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；
（Ⅱ）求DE与平面AD1E所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱AD上是否存在一点P，使得BP∥平面AD1E？若存在，求DP的长；若不存在，说明理由．
24．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D（2，0）．（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．
双台子区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】B
【解析】，故选B ．(2016)(2016)(54031)(1)f f f f e -==⨯+==2． 【答案】C
【解析】解：∵S 16＜0，S 17＞0，∴
=8（a 8+a 9）＜0，
=17a 9＞0，
∴a 8＜0，a 9＞0，∴公差d ＞0．∴S n 中最小的是S 8．故选：C ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
3． 【答案】A
【解析】解：∵z=
=
=+i ，
∴复数z 在复平面上对应的点位于第一象限．故选A ．
【点评】本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．　
4． 【答案】 D
【解析】解：令f （x ）=﹣2x 3+ax 2+1=0，易知当x=0时上式不成立；故a=
=2x ﹣
，
令g （x ）=2x ﹣
，则g ′（x ）=2+
=2
，
故g （x ）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，
在（﹣1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；故作g （x ）=2x ﹣
的图象如下，
，
g （﹣1）=﹣2﹣1=﹣3，
故结合图象可知，a ＞﹣3时，方程a=2x ﹣
有且只有一个解，
即函数f （x ）=﹣2x 3+ax 2+1存在唯一的零点，故选：D ．　
5． 【答案】C
【解析】解：A 、函数f （x ）的定义域为R ，函数g （x ）的定义域为{x|x ≠0}，定义域不同，故不是相同函数；B 、函数f （x ）的定义域为R ，g （x ）的定义域为{x|x ≠﹣2}，定义域不同，故不是相同函数；C 、因为
，故两函数相同；
D 、函数f （x ）的定义域为{x|x ≥1}，函数g （x ）的定义域为{x|x ≤1或x ≥1}，定义域不同，故不是相同函数．
综上可得，C 项正确．故选：C ．　
6． 【答案】D
【解析】， ．{|(1)(2)0,}{1,2}A x x x x =--=∈=R {}{}|05,1,2,3,4=<<∈=N B x x x ∵，∴可以为，，，．⊆⊆A C B C {}1,2{}1,2,3{}1,2,4{}1,2,3,47． 【答案】B 【
解
析
】
考点：抛物线的定义及性质．
【易错点睛】抛物线问题的三个注意事项：（1）求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程．（2）注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．（3）直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行（或重合）时，直线与抛物线也只有一个交点．
8．【答案】D
【解析】
考点：1、抛物线的定义；2、抛物线的简单性质.
【方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题M
得到解决.本题就是将到焦点的距离转化为到准线的距离后进行解答的.
9．【答案】D
【解析】解：∵（x﹣2）3+2x+sin（x﹣2）=2，
∴（x﹣2）3+2（x﹣2）+sin（x﹣2）=2﹣4=﹣2，
∵（y﹣2）3+2y+sin（y﹣2）=6，
∴（y﹣2）3+2（y﹣2）+sin（y﹣2）=6﹣4=2，
设f（t）=t3+2t+sint，
则f（t）为奇函数，且f'（t）=3t2+2+cost＞0，
即函数f（t）单调递增．
由题意可知f（x﹣2）=﹣2，f（y﹣2）=2，
即f（x﹣2）+f（y﹣2）=2﹣2=0，
即f（x﹣2）=﹣f（y﹣2）=f（2﹣y），
∵函数f（t）单调递增
∴x﹣2=2﹣y，
即x+y=4，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用条件构造函数f（t）是解决本题的关键，综合考查了函数的性质．
10．【答案】B
【解析】解：∵在等比数列{a n}中，a1=3，公比q=2，
∴a2=3×2=6，
=384，
∴a2和a8的等比中项为=±48．
故选：B．
11．【答案】 B
【解析】解析：本题考查三视图与几何体的体积的计算．如图该三棱锥是边长为的正方体21111ABCD A B C D -中的一个四面体,其中，∴该三棱锥的体积为，选B ．1ACED 11ED =112
(12)2323
⨯⨯⨯⨯=12．【答案】 C
【解析】解：在直角三角形OMP 中，OP=1，∠POM=x ，则OM=|cosx|，∴点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数f （x ）=OM|sinx|=|cosx||sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，
故选C ．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．　
二、填空题
13．【答案】　75
【解析】计数原理的应用．【专题】应用题；排列组合．
【分析】由题意分两类，可以从A 、B 、C 三门选一门，再从其它6门选3门，也可以从其他六门中选4门，根据分类计数加法得到结果．
【解答】解：由题意知本题需要分类来解，
第一类，若从A 、B 、C 三门选一门，再从其它6门选3门，有C 31C 63=60，第二类，若从其他六门中选4门有C 64=15，
∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法．故答案为：75．
【点评】本题考查分类计数问题，考查排列组合的实际应用，利用分类加法原理时，要注意按照同一范畴分类，分类做到不重不漏．14．【答案】　{1，﹣1}　．
【解析】解：合M={x||x|≤2，x ∈R}={x|﹣2≤x ≤2}，N={x ∈R|（x ﹣3）lnx 2=0}={3，﹣1，1}，则M ∩N={1，﹣1}，故答案为：{1，﹣1}，
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．　
15．【答案】②③【解析】
试题分析：①错：(1,1),(2,5),|||7,A B A B AB k k =-
=(,)A B ϕ∴=<②对：如1y =
；③对；(,)2A B ϕ==
≤；
④错；(,)A B ϕ=
=
11,(,)A B ϕ==>因为1(,)t A B ϕ<恒成立，故1t ≤.故答案为②③.111]
考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.16．【答案】　4　．
【解析】解：由约束条件
作出可行域如图，
化目标函数z=﹣2x+y 为y=2x+z ，由图可知，当直线y=2x+z 过点A （﹣2，0）时，直线y=2x+z 在y 轴上的截距最大，即z 最大，此时z=﹣2×（﹣2）+0=4．故答案为：4．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．　
17．【答案】　（ 1，±2）　．
【解析】解：设点P 坐标为（a 2，a ）
依题意可知抛物线的准线方程为x=﹣2
a2+2=，求得a=±2
∴点P的坐标为（1，±2）
故答案为：（1，±2）．
【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质，属基础题．
18．【答案】
【解析】解：∵f（x）=a x g（x）（a＞0且a≠1），
∴=a x，
又∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），
∴（）′=＞0，
∴=a x是增函数，
∴a＞1，
∵+=．
∴a1+a﹣1=，解得a=或a=2．
综上得a=2．
∴数列{}为{2n}．
∵数列{}的前n项和大于62，
∴2+22+23+…+2n==2n+1﹣2＞62，
即2n+1＞64=26，
∴n+1＞6，解得n＞5．
∴n的最小值为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，巧妙地把指数函数、导数、数列融合在一起，是一道好题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：解：集合A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}
∵B⊆A，
∴（1）B=∅时，a=0
（2）当B={1}时，a=2
（3））当B={2}时，a=1
故a值为：2或1或0．
20．【答案】
【解析】（1）证明：依题意，E，F分别为线段BA、DC的三等分点，
取CF的中点为K，连结PK，BK，则GF为△DPK的中位线，
∴PK∥GF，
∵PK⊄平面EFG，∴PK∥平面EFG，
∴四边形EBKF为平行四边形，∴BK∥EF，
∵BK⊄平面EFG，∴BK∥平面EFG，
∵PK∩BK=K，∴平面EFG∥平面PKB，
又∵PB⊂平面PKB，∴PB∥平面EFG．
（2）解：连结PE，则PE⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
PE⊂平面PAB，PE⊥平面ABCD，
分别以EB，EF，EP为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
∴P（0，0，），D（﹣1，4，0），
=（﹣1，4，﹣），∵P（0，0，），
D（﹣1，4，0），=（﹣1，4，﹣），
∵==（﹣，，﹣），
∴G（﹣，，），
设点H（x，y，0），且﹣1≤x≤1，0≤y≤4，
依题意得：，
∴x2＞16y，（﹣1≤x≤1），（i）
又=（x+，y﹣，﹣），
∵GH⊥PD，∴，
∴﹣x﹣+4y﹣，即y=，（ii）
把（ii）代入（i），得：3x2﹣12x﹣44＞0，
解得x＞2+或x＜2﹣，
∵满足条件的点H必在矩形ABCD内，则有﹣1≤x≤1，
∴矩形ABCD内不能找到点H，使之同时满足①点H到点F的距离与点H到直线AB的距离之差大于4，②GH ⊥PD．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．
21．【答案】
【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合
【试题解析】（Ⅰ）因为
．
所以函数的最小正周期为．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得．
因为，
所以，
所以．
所以．
且当时，取到最大值；
当时，取到最小值．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）一周课外阅读时间在[0，2）的学生人数为0.010×2×100=2人，
一周课外阅读时间在[2，4）的学生人数为0.015×2×100=3人，
记一周课外阅读时间在[0，2）的学生为A，B，一周课外阅读时间在[2，4）的学生为C，D，E，从5人中选取2人，得到基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共有10个基本事件，
记“任选2人中，恰有1人一周课外阅读时间在[2，4）”为事件M，
其中事件M包含AC，AD，AE，BD，BC，BE，共有6个基本事件，
所以P（M）==，
即恰有1人一周课外阅读时间在[2，4）的概率为．
（Ⅱ）以该校80%的学生都达到的一周课外阅读时间为t0，即一周课外阅读时间未达到t0的学生占20%，由（Ⅰ）知课外阅读时间落在[0，2）的频率为P1=0.02，
课外阅读时间落在[2，4）的频率为P2=0.03，
课外阅读时间落在[4，6）的频率为P3=0.05，
课外阅读时间落在[6，8）的频率为P1=0.2，
因为P1+P2+P3＜0.2，且P1+P2+P3+P4＞0.2，
故t0∈[6，8），
所以P1+P2+P3+0.1×（t0﹣6）=0.2，
解得t0=7，
所以教育局拟向全市中学生的一周课外阅读时间为7小时．
【点评】本题主要考查了用列举法计算随机事件的基本事件，古典概型概以及频率分布直方图等基本知识，考查了数据处理能力和运用概率知识解决实际问题的能力，属于中档题．
23．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：连接BD
∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴D1D⊥平面ABCD，
又AC⊂平面ABCD，∴D1D⊥AC…1分
在长方形ABCD中，AB=BC，∴BD⊥AC…2分
又BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BB1D1D，…3分
而D1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥D1E…4分
（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系Dxyz，则A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），
∴…5分
设平面AD1E的法向量为，则，即
令z=1，则…7分
∴…8分
∴DE与平面AD1E所成角的正弦值为…9分
（Ⅲ）解：假设在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E．
设P的坐标为（t，0，0）（0≤t≤1），则
∵BP∥平面AD1E
∴，即，
∴2（t﹣1）+1=0，解得，…12分
∴在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E，此时DP的长．…13分．
24．【答案】
【解析】解：（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程是
∵椭圆经过点D（2，0），左焦点为，
∴a=2，，可得b==1
因此，椭圆的标准方程为．
（2）设点P的坐标是（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），
由根据中点坐标公式，可得，整理得，
∵点P（x0，y0）在椭圆上，
∴可得，化简整理得，
由此可得线段PA中点M的轨迹方程是．
【点评】本题给出椭圆满足的条件，求椭圆方程并求与之有关的一个轨迹方程，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和轨迹方程的求法等知识点，属于中档题．。