2023年高考数学强基计划模拟试题5【解析版】

2023年高考数学强基计划模拟试题（五）
（时间120分 分数150分）
一、 选择题：（每小题6分，共36分）
1．（2021·河北·邯郸市肥乡区第一中学高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分
别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C A
A C b
c C ⎛⎫++=
⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（ ）
A ．⎝
B ．32⎛ ⎝
C ．⎣
D ．32⎡⎢⎣
【答案】A 【分析】
利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C A
A C b
c C ⎛⎫++=
⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案. 【详解】
由题知cos cos sin sin()sin B C A
A C b
c C ⎛⎫++=
⎪⎝⎭，3B π= ∴cos cos sin sin sin B C A
B b
c C ⎛⎫+=
⎪⎝⎭
即
cos cos B C b c +=
由正弦定理化简得
∴cos cos c B b C ⋅+⋅==
∴sin cos cos sin C B C B +
∴sin()sin B C A +==
∴b =
3
B π
=
∴
1sin sin sin a b c
A B C
===
∴23sin sin sin sin()sin )326
a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+
20
3
A π
<<
∴56
6
6
A π
π
π<+
<
∴
)6
A π
<+≤
a c <+≤故选：A . 【点睛】
方法点睛：边角互化的方法 （1）边化角：利用正弦定理
2sin sin sin a b c
r A B C
===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；
（2）角化边： ①利用正弦定理：sin 2a A r
=
，sin 2b B r =
，sin 2c C r
= ②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc
+-=
2．（2021·全国·高三专题练习（理））定义数列{}n a 如下：存在k *∈N ，满足1k k a a +<，且存在s N *∈，满足1s s a a +>，已知数列{}n a 共4项，若{}()1,2,3,,4,,i a t x y z i =∈且t x y z <<<，则数列{}n a 共有（ ） A ．190个 B ．214个 C ．228个 D ．252个
【答案】A 【分析】
由题意，满足条件的数列{}n a 中的4项有四种情况：4项中每一项都不同；4项中有2项相同；4项中有3项相同；4项中两两相同，利用排列组合知识分别求出每种情况的个数即可求解. 【详解】
解：由题意，满足条件的数列{}n a 中的4项有四种情况：
（1）4项中每一项都不同，共有4
4222A -=个；
（2）4项中有2项相同（如x ,y ,z ,x ）,共有41
24
4
3
222120A C C A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
个；
（3）4项中有3项相同（如x ,x ,y ,x ）,共有211
42224C C C =个；
（4）4项中两两相同（如x ,y ,x ,y ）,共有24
C 4
42222224A A A ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
个；
所以数列{}n a 共有221202424190+++=个. 故选：A. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键，弄清楚满足条件的数列{}n a 中的4项有四种情况：4项中每一项都不同；4项中有2项相同；4项中有3项相同；4项中两两相同.
3．（2021·浙江·模拟预测）已知正项数列{}n a 中，11a =，2
1
1
12n n n a a a ++-=，若存在实数t ，使得
()221,n n t a a -∈对任意的*N n ∈恒成立，则t =（ ）
A
B
C
D
【答案】A 【分析】
根据递推关系式可推导得到()()11212121n n n n n n a a a a a a +++++⎛⎫
-=--- ⎪⎝
⎭，由此确定12n n a a ++-与
23n n a a ++-异号，1n n a a +-与23n n a a ++-同号，结合11a =可推导得到2120n n a a -->，2210n n a a +-<，进一步得
22212121
12n n n a a a ++=-<，得到212222112n n n a a a -=->，
从而得到21n a ->
2n a <
，知t =满足题意；同理可推导得到数列{}21n a -递减，数列{}2n a
递增，记
1q =
<
，由1
1n n a q -⎛≤- ⎝
⎭可知21n t a -<且2n t a >，由此确定t 的取值. 【详解】 由题意得：1112n n n a a a ++=
-，122
1
2n n n a a a +++∴=-， 两式相减得()()11212121n n n n n n a a a a a a +++++⎛⎫
-=--- ⎪⎝⎭，
0n a >，∴12
1
10n n a a ++--
<，∴1n n a a +-与12n n a a ++-异号，则12n n a a ++-与23n n a a ++-异号，
1n n a a +-与23n n a a ++-同号，
由11a =
得：21a ，则120a a ->，∴230a a -<，
则2120n n a a -->，2210n n a a +-<，∴212n n a a ->，221n n a a +<，*N n ∈． 又
21121
1n n n a a a ++=-，则222121
2112n n n a a a ++=-<，
∴21n a +>
11a =>，
∴21n a -> 又
2122221
12n n n a a a -=->，
∴23
n a <
，故t = 同理，由111
2n n n a a a ++=
-可得：233
12n n n a a a +++=-， 两式相减得：()()21313121n n n n n n a a a a a a +++++⎛⎫
-=--- ⎪⎝
⎭，
2n n a a +∴-与13n n a a ++-异号，则13n n a a ++-与24n n a a ++-异号，则2n n a a +-与24n n a a ++-同号，
又
))
31111a a =<==，∴130a a ->，240a a -<，
∴2121
0n n a a -+->，2220n n a a +-<，
故数列{}21n a -递减，数列{}2n a
递增，且2n a <，11
n a a ∴≤=，
又1112n n n a a a ++=--
，则(
1112n n n n a a a a +++-⎛⎛= ⎝⎭⎝⎭
，
则1n n n a +-
=≤，
记q =
，则1q <
，1
1n n a q -⎛-≤ ⎝⎭
，
∴22211n n a q --⎛≤ ⎝⎭
21
21n n a q -⎛-≤- ⎝⎭
，
∴22211n n t a q --⎛<≤
⎝⎭对任意*N n ∈
恒成立得：3t ≤
，2121n n t a q -⎛>≥-- ⎝⎭
对任意*N n ∈
恒成立得：t ≥
∴33
t =
． 故选：A. 【点睛】
关键点点睛：本题考查数列中的恒成立问题的求解，解题关键是能够根据递推关系式确定数列中间隔两项之差同号或异号，从而利用递推关系确定2n a 和21n a -的取值范围，利用2n a 和21n a -的取值范围构造不等式求得结果.
4．（2021·山东·高三专题练习）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC 是边长为1的等边三角形，12AA =，E ，F 分别在侧面11AA B B 和侧面11AAC C 内运动（含边界），且满足直线1AA 与平面AEF 所成的角为30°，点1A 在平面AEF 上的射影H 在AEF 内（含边界）．令直线BH 与平面ABC 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（ ）
A ．(323+
B 3
C 3
D ．(323
【答案】A 【分析】
点H 为1A 在平面AEF 上的射影，得1A H AH ⊥，首先得H 在以1AA 为直径的球面上．1AA 与平面AEF 所成的角为30°，所以130HAA ∠=︒，过H 作11HO AA ⊥于点1O ，计算得111,,,HA HA HO AO ，知H 在圆锥1AO 的底面圆周上，再由H 在AEF 内（含边界），得H 在
三棱柱111ABC A B C -及其内部，其轨迹是以1O 为圆心，1O H 为半径的圆中圆心角为60°的圆弧，且H 在底面ABC 上的射影H '的轨迹（以A 3
，
HBH θ'=∠，求出tan HH BH θ'
=
'
得BH '最小时，tan θ最大，由点与圆的位置关系可得结论． 【详解】
因为点H 为1A 在平面AEF 上的射影，所以1A H ⊥平面AEF ，连接AH ，则1A H AH ⊥，故H 在以1AA 为直径的球面上．又1AA 与平面AEF 所成的角为30°，所以130HAA ∠=︒，过H 作11HO AA ⊥于点1O ，如图1所示，则易得11HA =，3HA =，132
HO =，13
2AO =，所以H
在如图2所示的圆锥1AO 的底面圆周上，又H 在AEF 内（含边界），故H 在三棱柱111ABC A B C -及其内部，其轨迹是以1O 为圆心，1O H 为半径的圆中圆心角为60°的圆弧，且
H 在底面ABC 上的射影H '的轨迹（以A 为圆心，
3
2
为半径的一段圆弧）如图3所示，连接BH '，易知直线BH 与平面ABC 所成的角HBH θ'=∠，且13
tan 2O A HH BH BH BH θ'==='''
，故当BH '最小时，tan θ最大，A 是圆弧圆心，则当H '在AB 上时，BH '最小，最小值为
323122
--=，所以()()
max
32tan 323223θ=⨯=+-． 故选：A ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查直线与平面所成的角，解题关键是确定动点的轨迹，利用球面的性质，圆锥的性质，可得轨迹是圆弧，并得出其在底面上的射影，由射影的定义得出线面角，并求出其正切值，分析后可得最值．
5．（2021·浙江·模拟预测）已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>右顶点为(2,0)A ，上顶点为B ，该
椭圆上一点P 与A 的连线的斜率11
4
k =-，AP 的中点为E ，记OE 的斜率为OE k ，且满足
140OE k k +=，若C D 、分别是x 轴､y 轴负半轴上的动点，且四边形ABCD 的面积为2，则
三角形COD 面积的最大值是（ ） A ．322- B ．3+22 C ．22- D ．
3222
-
【答案】A 【分析】
求出直线方程，与椭圆方程联立，表示出点E 坐标，即可根据140OE k k +=求出b ，根据四边形的面积结合基本不等式可求. 【详解】
由题意知：2a =，直线PA 的方程为()1
24
y x =-
-， 联立方程()22
2
14142y y x x b ⎧=--⎪+⎨=⎪⎪⎪⎩可得()222
4144160b x x b +-+-=， 因为2x =是其中一个解，则另一个解P x 满足24
241P x b +=+，即2
22841
P b x b -=+，
所以22441P b y b =+，则可得AP 的中点22222,4141b E b b ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，则2
OE k b =，
因为140OE k k +=，所以210b -=，解得1b =，则即3c = 设(,0),(0,),0,0m D n m n -->>，则由四边形ABCD 的面积为2，有
()()1
2122
m n ++=， 即22mn m n ++=，由基本不等式得222(2)mn m n mn m n ++=≥+⋅22mn 从而三角形COD 的面积211
(22)32222
S mn =≤=-222m =，21n 时取到.
所以三角形COD 面积的最大值为322-故选：A.
6．（2021·安徽·六安一中高三月考（理））已知函数21
()()2x f x x x e -=-，若当1x >时，
()10f x mx m -++≤有解，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．(,1]-∞
B ．(,1)-∞-
C ．(1,)-+∞
D ．[1,)+∞
【答案】C
【分析】
设1t x =-，可将()10f x mx m -++≤简化，利用参变分离来求解. 【详解】
()10f x mx m -++≤有解，即21(211)(1)1x x x e m x --+-≤--，设1t x =-，则0t >，不等式转
化成2
(1)1t
t e
mt 在0t >时有解，则2(1)1
t t e m
t 有解，记2(1)1
()t t e h t t
，则322
(1)1
()
t t t t e h t t
，再令32()(1)1t g t t t t e ， 则32()(4)0t
g t t t t e ，那么()g t 在0t >时递增，所以()(0)0g t g >=，于是()0h t '>，()
h t 在0t >时递增，故20(1)1()lim t t t e h t t
，记()()
21t
t t e ϕ=-，
0()(0)()lim (0)10t t h t t ，于是2(1)1
t t e m t
有解，只需要1m >-.
故选：C
二、 填空题：（每小题9分，共54分）
7．（2021·辽宁实验中学高三期中）在锐角ABC 中，1
cos 4
A =
，若点P 为ABC 的外心，且AP xAB y AC =+，则x y +的最大值为___________.
【答案】4
5
【分析】
通过向量的减法，把AB ，AC 转化为AP PB +与AP PC +，进行整理后再平方处理即可得解. 【详解】
()()
AP xAB yAC x AP PB y AP PC =+=+++，整理得：()1x y AP xPB yPC --=+
设锐角ABC 外接圆的半径为R ，所以AP PB PC R ===，则上式两边平方得：
()
2
22222212cos x y R x R y R xyR BPC --=++∠①，其中2BPC A ∠=∠，2
7cos 2cos 18
BPC A ∠=-=-
代入①式，得：()2
22
714x y x y xy --=+-，整理得：
()4
22115
x y xy +-=， 由基本不等式得：()2
4
x y xy +≤
，当且仅当x y =时，等号成立
即()()2
4
221154
x y x y ++-≤，解得：43x y +≥或45x y +≤
当43x y +=
时，此时23
x y ==，22
33AP AB AC =+，此时P 点在△ABC 外部，△ABC 为钝角
三角形，与题干矛盾，所以4
3
x y +≥舍去，45x y +≤成立
故答案为：4
5
8．（2021·山东淄博·三模）如图，在33⨯的点阵中，依次随机地选出A 、B 、C 三个点，则选出的三点满足0AB AC ⋅<的概率是______．
【答案】
8
63
【分析】
先将9个点标号，对点A 的位置进行分类讨论，结合古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】
由题意可知A 、B 、C 三个点是有序的，讨论点A 为主元， 对点A 分三种情况讨论，如下图所示： （1）第一类A 为5号点.
①若180BAC ∠=，三点共线有4条直线，此时有2
248A =种；
②若135BAC ∠=，如点B 在1号位，则点C 在6号位或8号位，即确定第二号点有4种方法，
确定第三号点有2种方法，此时有2
24216A ⨯=种；
（2）第二类A 为1、3、7、9号点，此时，不存在这样的点；
（3）第三类A 为2、4、6、8号点，以2号点为例，有三种情况如下图所示：
故有()2
2122440A ++⨯=种.
综上所述，满足0AB AC ⋅<共有8164064++=种. 因此，所求概率为3964863
P A ==. 故答案为：8
63
. 【点睛】
方法点睛：求解古典概型概率的方法如下： （1）列举法； （2）列表法； （3）数状图法； （4）排列组合数的应用.
9．（2021·上海市晋元高级中学高三期中）如果数列{}n a 满足：120211,2017a a ==，且对于任
意*n N ∈，存在实数a 使得1n n a a +、是方程()22
210x a x a a -+++=的两个根，则100a 的所有
可能值构成的集合是____________． 【答案】{}96,98,100 【分析】
根据一元二次方程的解法求出1n n a a +、，可知11n n a a +-=或1-，先由120211,2017a a ==判断出数列{}n a 在前2021项中后一项比前一项小1的项数，再根据数列{}n a 的前100项中后一项比前一项小1的项数分类讨论，即可求出100a ． 【详解】
因为方程()22
210x a x a a -+++=的两个根为,1a a +，
所以1,1n n a a a a +==+或11,n n a a a a +=+=，所以11n n a a +-=或1-． 当11n n a a +-=恒成立时，若11a =，则n a n =，这与20212017a =不符；
当11n n a a +-=-恒成立时，若11a =，则()112n a n n =--=-，这与20212017a =不符； 当11a =时，在数列{}n a 的前2021项中，后一项比前一项大1的有x 项， 后一项比前一项小
1的有y 项，所以有2020x y +=，201712016x y -=-=，解得2018x =，2y =，所以在数
列{}n a 的前100项中，若没有后一项比前一项小1的项，则100100a =；若后一项比前一项小1的项只有一项，则10098a =；若后一项比前一项小1的项有两项，则10096a =．故100a 的所有可能值构成的集合是{}96,98,100． 故答案为：{}96,98,100．
10.（2021·全国·高三专题练习）如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，22AB BC ==．将
A ，C 分别沿BE ，DF 向上翻折至A '，C '，则A C ''取最小值时，二面角A EF C ''--的正
切值是________．
26
【分析】
取,BE DF 中点,M N ，根据翻折前的垂直关系可证得翻折后BE ⊥平面A MF '，DF ⊥平面
C NE '，由面面垂直的判定可得平面A MF '⊥平面BFDE ，平面C NE '⊥平面BFDE ，可知当A C ''为平面A MF '与平面C NE '的公垂线段时长度最小，此时//A C ME ''，确定11,A C 为
,MF EN 中点；根据二面角平面角的定义可作AP EF '⊥于点P ，E C Q F '⊥于点Q ，作//PG C Q '交FC '于点G ，得到A PG '∠为二面角的平面角，由已知的长度关系和解三角形的
知识可求得cos A FE '∠，进而得到所求正切值. 【详解】
分别取BE ，DF 中点为M 、N ，连接A M '，MF ，C N '，NE ．
四边形ABCD 为矩形，22AB BC ==，1AE CF ==，
∴翻折前，四边形ABFE 和四边形CDEF 都是正方形，则1EF =，
CE DF ∴⊥，AF BE ⊥，即NE DF ⊥，CN DF ⊥，AM BE ⊥，MF BE ⊥，
∴翻折后仍有A M BE '⊥，C N DF '⊥，NE DF ⊥，MF BE ⊥，
又A M MF M '⋂=，且A M '，MF ⊂平面A MF '，BE ∴⊥平面A MF '； 同理可得：DF ⊥平面C NE '，
又//DE BF ，且1DE BF ==，∴四边形BFDE 是平行四边形，则//BE DF ，
BE ∴、DF 都是平面A MF '与平面C NE '的公垂线，,BE DF ⊂平面BFDE ，
∴平面A MF '⊥平面BFDE ，平面C NE '⊥平面BFDE ．
分别记1A ，1C 为点A '，C '在底面的投影，则点A '在底面的投影1A 落在直线MF 上，且沿MF 方向运动；点C '在底面的投影1C 落在直线NE 上，且沿NE 方向运动．
当且仅当A C ''为平面A MF '与平面C NE '的公垂线段时长度最小，此时//A C ME ''， 故//A C ''平面MFNE ，则11A A C C ''=．
又11//A A C C ''，A '∴，1A ，1C ，C '共面，平面11A AC C ''⋂平面11MFNE A C =，
11A C 也是平面A MF '与平面C NE '的公垂线，此时11Rt A A M Rt C C N ''≌，
11MA NC ∴=，又11//AC ME ，11//MA EC ，∴四边形11MAC E 为平行四边形，
∴11MA EC =，∴1C 为NE 的中点，1A 为MF 的中点，112
MA NC ∴==
， 则11A A C C ''==
126
216-=6221616A F C E ''∴==+ 将二面角A EF C ''--单独画出如图．
过点A '作AP EF '⊥于点P ，过点C '作E C Q F '⊥于点Q ，又1A E AE '==，1C F CF '==，
2
2
2
122cos 222A F EF A E
A FE A F EF
''+-'∴∠=
=
=
'⋅⨯
则1cos 4FP A F A FE ''=∠=
，117
216A P '∴=-
同理14EQ =，7C Q '=1
141314
FP FQ ==-， 过点P 作//PG C Q '交FC '于点G ，连接A G '，则GP EF ⊥，
∴A PG '∠即为二面角A EF C ''--的平面角，则1
3
FG PG FC QC ==''， ∴7
PG ，13FG =，
又2A F A C '''==
，1C F '=，则A FC ''为等腰直角三角形，∴2cos A FC ''∠=， 2211212102cos 45229232A F FG A F FG A G ''+-⋅⋅︒+-⨯⨯⨯=
'∴
在A PG '中，2
2
2
771030
51614436144cos 72777
224A P PG A G A PG A P PG +-
''+-'∠===='⋅⨯⨯
，26
tan A PG '∴∠=
． 26
. 【点睛】
关键点点睛：本题考查立体几何中的二面角问题的求解，解题关键是能够根据翻折后不变的
垂直关系确定A C ''为平面A MF '与平面C NE '的公垂线段时长度最小，由此可确定,A C ''的确定位置，进而利用二面角的定义来进行求解.
11．（2021·上海·华师大二附中高三月考）设点()11,P x y 在椭圆22182x y +=上，点()22,Q x y 在
直线280x y +-=上，则2121x x y y -+-的最小值为_____________． 【答案】2 【分析】
令11,x y θθ=，则目标式可改写为221
(22)2
x y θθ-+，应用
放缩、绝对值的性质、辅助角公式及正弦函数的性质求最小值，注意等号成立的条件. 【详解】
设11,x y θθ=且[0,2)θπ∈， ∴
212122221
(22)
2
x x y y x y x y θθθθ-+-=-+=-+
221(2)2x y θθ≥-+221
|2|2x y θθ≥+--11
|8sin )||84sin()|2224
π
θθθ=-+=-+≥，
当且仅当sin()14
π
θ+=且20x θ-=时等号成立.
故答案为：2
12．（2021·浙江省宁海中学高三月考）已知0a ≠，0b >，若()222
2f x b ax b a x b b
=+-+-有两零点1x 、2x ，且120x x +<，则a
b
的取值范围是___________.
【答案】10,3⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】
由()0f x =可得出22112a a x x b b +-+=，令a t b
=，可知函数1y tx =+与函数2
12y t x =++图
象的两个交点的横坐标1x 、2x 满足120x x +<，对实数t 的取值进行分类讨论数形结合可得出
关于实数t 的不等式，综合可得出实数t 的取值范围，即为所求. 【详解】
由()0f x =可得2
2
2
2b ax b a x b b +-+=，等式两边同除以2
b ，可得2
2112a a x x b b
+-+=.
令a t b
=
，可得2112tx t x +-+=，即2
112tx t x +=++，设12x x <， ①当0t <时，作出函数1y tx =+与函数2
12y t x =++的图象如下图所示，
若使得两个函数的图象有两个交点，则2t t <-，解得10t -<<，且1
12t
->，
由231t x tx +=+，解得122x t t =--，由2
31t x tx +=--，解得2
24x t t
=-+， ()()()
122223124
011t x x t t t t t t t -+=-
-=->-+-+，不合乎题意； ②当1t >时，作出函数1y tx =+与函数2
12y t x =++的图象如下图所示，
1
21t
>-，此时两个函数图象没有交点，不合乎题意；
③当1t =时，则2
121211t x x x tx ++=++>+=+，
两个函数图象没有交点，不合乎题意；
④当01t <<时，作出函数1y tx =+与函数2
12y t x =++的图象如下图所示，
此时，两个函数的图象有两个交点，且211
t t
-<-， （i ）若112t ->，即1
03
t <<时，
由231t x tx +=--，解得124x t t =-+，由2
31t x tx +=+，解得2
22x t t
=--， ()()()
122223142
011t x x t t t t t t t -+=-
-=-<+--+，合乎题意； （ii ）若1
12t -=时，则13
t =，则120x x +=，不合乎题意；
（iii ）当112t -<，即1
13
t <<时，
由2112tx t x --=--+，可得122x t t =-，由2
13tx t x +=+，可得2
22x t t
=--， 此时120x x +=，不合乎题意.
综上所述，a b 的取值范围是10,3⎛⎫
⎪⎝⎭.
故答案为：10,3⎛⎫
⎪⎝⎭
.
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
三、 （20分）
已知抛物线y 2=2px (p ＞0)的一条长为l 的弦AB ．求AB 中点M 到y 轴的最短距离，并求出此时点M 的坐标．
三、⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--≥-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛<<2
222,2,2,20,8,20,8p pl p l M p l p l p l M p l p l ．
四、 （20分）
单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，正方形ABCD 的中心为点M ，正方
形A 1B 1C 1D 1的中心为点N ，连AN 、B 1M ． （1）求证：AN 、B 1M 为异面直线； （2）求出AN 与B 1M 的夹角．
四、（1）证略； （2）3
2
arccos ．
五、 （20分）
对正实数a 、b 、c ．求证：
c
ab
c b ac b a bc a 888222+++++≥9．
五、证略．
附加题
一、（50分）
设ABCD 是面积为2的长方形，P 为边CD 上的一点，Q 为△P AB 的
内切圆与边AB 的切点．乘积P A ·PB 的值随着长方形ABCD 及点P 的变化而变化，当P A ·PB 取最小值时， （1）证明：AB ≥2BC ； （2）求AQ ·BQ 的值．
一、（1）证略（提示：用面积法，得P A ·PB 最小值为2，此时∠APB ＝90°）； （2）AQ ·BQ =1．
二、（50分）
给定由正整数组成的数列
⎩⎨
⎧+===++n
n n a a a a a 12212
,1（n ≥1）． （1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点
(a 1,a 2)，(a 3,a 4)，…，(a 2k -1,a 2k )，…
均在曲线x 2+xy -y 2+1=0上．
（2）若设f (x )=x n +x n -1-a n x -a n -1，g (x )=x 2-x -1，证明：g (x )整除f (x )．
二、证略（提示：用数学归纳法）．
三、（50分）
我们称A 1,A 2,…,A n 为集合A 的一个n 分划，如果 （1）A A A A n = 21； （2）∅≠j i A A ，1≤i ＜j ≤n ．
求最小正整数m ，使得对A ＝{1,2,…,m }的任意一个13分划
A 1,A 2,…,A 13，一定存在某个集合A i (1≤i ≤13)，在A i 中有两个元素a 、b
满足b ＜a ≤8
9
b ．
三、m =117．
参考答案。