2022-2023学年湖南省长沙市高一下册5月月考数学专项突破模拟试题(含解析)

2022-2023学年湖南省长沙市高一下册5月月考数学模拟试题
（含解析）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.设i 为虚数单位，复数z 满足(1i)1i z +=-+，则z z ⋅为（）
A.
B.1
C.3
D.
3
2
【正确答案】B
【分析】由已知化简可得，i z =，然后根据共轭复数求出z ，即可得出答案.
【详解】由已知可得，()()()
2
1i 1i
2i i 1i 1i 1i 2z ---=-=-
=-=++-，所以，i z =-，
所以，()i i 1z z ⋅=⨯-=.故选：B.
2.在ABC 中，已知:,:sin sin p A B q A B ==，则是p q 的（）条件
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充要
D.既不充分也不必要
【正确答案】C
【分析】根据正弦定理、三角函数的性质及充分条件和必要条件即可求解.【详解】若A B =，则sin sin A B =成立；
在ABC 中，sin sin A B =,得2Rsin Rsin A B =2及正弦定理，即a b =，所以A B =成立.
所以“A B =”是“sin sin A B =”的充要条件,即是p q 的充要条件.故选：C.
3.在ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AC 边上的点，且13
AE EC = ，则ED =
（
）
A.1124
AB AC +
B.1223
AB AC -
C.1124
AB AC
-+
D.1223
AB AC
-+
【正确答案】A
【分析】根据已知可推得1122AD AB AC =+ ，14
AE AC = .然后根据ED AD AE =-
，即
可得出答案.
【详解】
因为D 为BC 的中点，所以1122
AD AB AC =+
.
又因为，13AE EC = ，所以14
AE AC =
.
所以，1111122424
ED AD AE AB AC AC AB AC =-=+-=+ .
故选：A.
4.《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（
）
A.
4π
B.
4π
C.
2π
D.
2π
【正确答案】B
【分析】设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，由已知周长求得r 和R ，代入圆台的侧面积公式，即可求解.
【详解】设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，
可得22,23r R ππ==，可得1
3,2r R π
π
=
=
，
又由圆台的高为1丈，可得圆台的母线长为2l π==
，
所以圆台的侧面积为13()(24)2S R r l ππππππ
=+⋅=⨯+⨯=.故选：B.
5.已知，3log a =4log b =10.3c -=，则（
）
A.a b c
>> B.b c a >> C.c a b
>> D.
c b a
>>【正确答案】C
【分析】根据对数运算的性质，以及对数函数的单调性，得出,,a b c 和1
2的关系，即可得出答案.
【详解】因为1
2
331log log 32
a ===，441log log 22
b =<=，1
1013.320c ->==
，所以，c a b >>.故选：C.
6.12名跳高运动员参加一项校际比赛，成绩分别为1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.59，1.60，1.67，1.74，1.78，1.55，1.75（单位：m ），则比赛成绩的75%分位数是（）A.1.72 B.1.73
C.1.74
D.1.75
【正确答案】B
【分析】先将数据从小到大排序，在根据百分位数的计算方法，即可求解.
【详解】由题意，将12名学生的成绩，从小到大排序：1.55,1.59，1.60，1.65，1.67，1.68，1.69，1.70，1.72，1.74，1.758，1.78，又由1275%9⨯=，所以这组数据的第75%分位数是
1.72 1.74
1.732
+=.
故选：B.
7.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，Q 为BC 的中点，PQ ⊥面
ABCD ，且2PQ =，动点N 在以D 为球心半径为1的球面上运动，点M 在面ABCD 内
运动，且PM =，则MN 长度的最小值为（
）
A.
3
2
-
B.2
C.2-+
D.
3
2
-
【正确答案】C
【分析】若要使MN 最短，点N 必须落在平面ABCD 内，且一定在DN 的连线上，此时应满足,,,D N M Q 四点共线，通过几何关系即可求解
【详解】
如图，当点N 落在平面ABCD 内，且,,,D N M Q 四点共线时，MN 距离应该最小，由
PM =
可得1MQ =，即点M 在以Q 为圆心，半径为1的圆上，由几何关系求得
DQ =
1DN MQ ==，故2
NM DN MQ =--=-
故答案选：C
本题考查由几何体上的动点问题求解两动点间距离的最小值，属于中档题8.已知函数()121x f x =+，正数,a b 满足()()212f a f b =--，则2
22b a
a a
b b
++的最小值（）
A.1
B.2
C.4
D.5
【正确答案】B
【分析】利用()()1f x f x -+=可得22a b +=，由此可化简所求式子，结合基本不等式可求得最小值.
【详解】()()1121
121211221
x x x x x
f x f x --+=+=+=++++ ，且()f x 在R 上单调递减，
∴由()()212f a f b =--得：22a b =-，即22a b +=，,0a b > ，
()22222222b a b a b a a ab b a b a b a b ∴
+=+=+≥=++（当且仅当42,55
a b ==时取等号），则
2
22b a a ab b ++的最小值为2.故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中
i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（
）
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同【正确答案】CD
【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误.【详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；
D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为
max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确；
故选：CD
10.某公司生产甲、乙、丙三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，公司质监部门用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取46辆进行检验，则（
）
A.在每一种型号的轿车中可采用抽签法抽取
B.抽样比为
1200
C.三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆
D.这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的【正确答案】BCD
【分析】根据三种随机抽样方法的特点可判断ABD ；然后根据分层抽样计算可判断C.【详解】因每一种型号的轿车数量较多，不适合用抽签法，故A 错误；在按比例分配的分层随机抽样中，抽样比为
461
120060002000200
=++，故B 正确；
在按比例分配的分层随机抽样中，三种型号的轿车应依次抽取6辆、30辆、10辆，故C 正确；
在按比例分配的分层随机抽样中，每一辆被抽到的概率是相等的，故D 正确．故选：BCD
11.已知函数()πtan 23f x x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，则（）
A.函数()f x 的最小正周期为π
B.函数()f x 的图像关于点π,012⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称C.函数()f x 在定义域上单调递增D.若ππ
2412
x -
≤<，则()1f x ≥【正确答案】BD
【分析】根据函数()f x 的最小正周期公式判断A 选项，求()f x 的对称中心判断B 选项，特殊值法判断C 选项，求函数值域判断D 选项.【详解】()f x 的最小正周期为π
2
T =
,A 选项错误;()f x 的对称中心，令ππ232k x +
=,ππ,Z 34k x k =-+∈,对称中心为ππ,0,Z 34k k ⎛⎫
-+∈ ⎪⎝⎭
，当π1,,012k ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
是对称中心,B 选项正确;()()0π,0πf f <=,函数()f x 在定义域上不是单调递增,C 选项错误;
当ππ2412x -
≤<,则πππ2432x ≤+<,可得πtan 213x ⎛
⎫+≥ ⎪⎝
⎭,D 选项正确;.
故选：BD.
12.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是棱1CC 上的一个动点（包含端点），则下列说法不正确的是（
）
A.存在点P ，使//DP 面11
AB D
B.二面角1P BB D --的平面角为60°
C.1PB PD +
D.P 到平面11AB D 的距离最大值是33
【正确答案】BD
【分析】当P 与1C 点重合时，DP 面11AB D ，A 正确，二面角1P BB D --的平面角为
45CBD ∠=︒，B 错误，11D PB PD B '≥+，C 正确，当P 与C 点重合时，P 到平面11
AB D 的距离
23
3
，D 错误，得到答案.【详解】当P 与1C 点重合时，1DP AB ∥，1AB ⊂平面11AB D ，DP 不在面11AB D 故DP 面11AB D ，A 正确；
二面角1P BB D --即二面角1C BB D --，平面角为45CBD ∠=︒，B 错误；
如图所示：111PB PD PB B PD D '++'=≥=1,,D P B '共线时等号成立，C 正确；
1111D B AC ⊥，1111D B C C ⊥得到11D B ⊥平面11A C C ，故111D B AC ⊥，同理可得1A C ⊥平
面11D B A ，设1AC 交平面11D B A 于H ，
则1123
cos 3AC AH AC ACA AC A C =⋅=⋅
==，当P 与C 点重合时，P 到平面11AB D
的距离3
，D 错误.
故选：BD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量,a b
满足1,2,22a b a b ==-= ，则a 与b 的夹角为___．
【正确答案】
π3##1π3
【分析】根据平面向量数量积的性质求解即可.【详解】设a
与b
的夹角为θ，
由22a b -= ，可得224a b -= ，即2
2444a a b b -⋅+= ，
即2244cos 4a a b b θ-⋅⋅+=
，
即48cos 44θ-+=，即1
cos 2θ=，又[]0,πθ∈，所以π3
θ=
故答案为.
π3
14.已知定义在R 上的函数()f x 不是常数函数，且同时具有下列两个性质：①()()=f x f x -；②()π4f x f x ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
．请你写出符合上述条件的一个函数()f x ＝___．【正确答案】cos8x （答案不唯一）
【分析】根据偶函数和周期性直接写出一个符合题意的函数即可.
【详解】由题意可知，()f x 为偶函数，且周期为π4
，所以可以取()cos8f x x =.故cos8x （答案不唯一）
15.复数2i +与复数3i -在复平面上对应点分别是A ，B ，则tan AOB ∠=____________．【正确答案】1
【分析】根据复数运算法则可得,A B 两点的坐标，再根据两角和的正切公式即可算出
tan 1AOB ∠=.
【详解】根据复数2i +与3i -对应的点的坐标为()(2,1),3,1A B -
，如下图所示：
易知11
tan ,tan 23
αβ=
=；则()11tan tan 23tan tan 111
1tan tan 123
AOB αβαβαβ+
+∠=+=
==--⨯.故1
16.定义：若A ，B ，C ，D 为球面上四点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则把以EF 为直径的球称为AB ，CD 的“伴随球”.已知A ，B ，C ，D 是半径为2
的球面上四点，AB CD ==，则AB ，CD 的“伴随球”的直径取值范围为____________；若A ，B ，C ，D 不共面，则四面体ABCD 体积的最大值为______________.【正确答案】
①.
(]
0,2②.4
【分析】设O 为,,,A B C D 所在球面的球心，则由题可知E 、F 均是以O 为球心，1为半径的球面上的点，据此即可求出EF 范围；根据2
23
A BCD A CDE CDE
V V S d --==⋅(d 为点A 到平
面CDE 距离，)，求出,CDE
S
d 的最大值即可得体积最大值.
【详解】设O 为,,,A B C D 所在球面的球心，∴2OA OC ==.
∵AB CD ==，且,E F 分别是,AB CD 的中点，
∴OE AB ⊥，OE CD ⊥，且AE CF ==，
∴1OE OF ==，
则E 、F 均是以O 为球心，1为半径的球面上的点，
若以EF 为直径作球，则02EF OE OF <+=
，即AB ，CD 的“伴随球”的直径取值范围是(0，2]；∵E 是AB 中点，∴2
23
A BCD A CDE CDE
V V S d --==
⋅，
d 为点A 到平面CDE 距离，d AE = ，又1
2
CDE
S
CD h =
⋅，h 为点E 到CD 距离，2h EF
，
∴2232
432
A BCD V -⨯= ，当且仅当,E O ，F 三点共线，且A
B ⊥CD 时，等号成
立.
故(0，2]；4.
本题关键是根据已知条件确定E 和F 的轨迹，数形结合可得EF 的范围；根据E 是AB 中点，则A 与B 到平面CDE 的距离相等，据此将三棱锥A －BCD 的体积转化为三棱锥A －CDE 体积的2倍，再数形结合即可求得最值.对空间想象能力的要求很高，属于难题.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
（1）如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当3w =时，估计该市居民该月的人均水费．
【正确答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）10.
5元.
【详解】试题分析：（1）根据水量的频率分布直方图知月用水量不超过3立方米的居民占
0085，所以w 至少定为3；（2）直接求每个数据用该组区间的右端点值与各组频率的乘积
之和即可.
试题解析：（1）由用水量的频率分布直方图知，
该市居民该月用水量在区间[](](](](]
0.5,1,1,1.5,1.5,2,2,2.5,2.5,3内的频率依次为
0.1,0.15,0.2,0.25,0.15．
所以该月用水量不超过3立方米的居民占0085，用水量不超过2立方米的居民占0045．依题意，w 至少定为3
（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：组号
1
2
3
4
5
6
7
8
分组
[]2,4(]4,6(]6,8(]8,10(]10,12(]12,17(]17,22(]
22,27频率0.10.15
0.
2
0.250.150.050.050.05
根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：
40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.0510.5
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）．
考点：1、频率分布直方图的应用；2、根据频率分布直方图求平均值.
18.如图，在四棱锥P -ABCD 中，已知底面ABCD 是菱形，且对角线AC 与BD 相交于点O .
（1）若PB=PD ，求证：平面PBD ⊥平面PAC ；
（2）设点E 为BC 的中点，在棱PC 上是否存在点F ，使得PB ∥平面AEF ？请说明理由.【正确答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析
【分析】（1）连接PO ，由条件可得PO BD ⊥、AC BD ⊥，然后得BD ⊥平面PAC ，即可证明；
（2）取PC 的中点F ，连接AF ，EF ，然后可得EF PB ∥，即可求解.
【小问1详解】
由已知，O 为BD 中点，连接PO ，若PB PD =，则PO BD ⊥，又∵底面ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，
∵PO AC O = ，PO ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，∴BD ⊥平面PAC ，又∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAC .【小问2详解】
棱PC 上存在点F ，使得PB ∥平面AEF ，F 为PC 中点，证明如下：取PC 的中点F ，连接
AF ，EF ，
∵E 是BC 的中点，∴EF PB ∥，又∵EF ⊂平面AEF ，PB ⊄平面AEF ，∴//PB 平面AEF .
故存在棱PC 的中点F 使得//PB 平面AEF .
19.已知函数()2sin()f x x ωϕ=+，π0,02ωϕ⎛
⎫><< ⎪⎝
⎭，()f x 的图象相邻两条对称轴间
的距离为
π2，π
3
是函数()f x 的一个零点．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在3π0,
2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的单调递增区间.
【正确答案】（1）()π2sin 23f x x ⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
（2）π0,
12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7π13π,1212⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【分析】（1）由已知可得出πT =，2ω=.根据π03f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
推得2ππ,3k k ϕ=-+∈Z ，结合ϕ的范围得出π
3
ϕ=
，即可得出答案；（2）由πππ
2π22π,232k x k k -+≤+≤+∈Z 得出函数的单调递增区间，然后令0k =，
1k =，2k =，分别求出单调区间与定义域的交集，即可得出答案.
【小问1详解】由已知可得，π22
T =，所以πT =，2π
2πω==.
又π03f ⎛⎫=
⎪⎝⎭，所以有π2sin 203ϕ⎛⎫
⨯+= ⎪⎝⎭
，所以2ππ,3k k ϕ=-+∈Z .因为π
02ϕ<<
，所以π3
ϕ=，所以，()π2sin 23f x x ⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
.
【小问2详解】由πππ
2π22π,232k x k k -
+≤+≤+∈Z 可得，5ππ
ππ,1212
k x k k -+≤≤+∈Z ，所以，()f x 的单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤
⎢⎥⎣++⎦
-
，k ∈Z .
当0k =时，5ππ3ππ,0,0,1212212⎡⎤⎡⎤⎡⎤
-
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
；当1k =时，7π13π3π7π13π,0,,121221212⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
；当2k =时，19π25π3π,0,12122⎡⎤⎡⎤=∅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
.综上所述，函数()f x 在3π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7π13π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.20.
ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知
22(sin sin )sin sin sin B C A B C +=+.
（1）求A ；
（2）若6b c +=，ABC 的面积为a .
【正确答案】（1）23
A π
=
（2）a =【分析】（1）利用正弦定理，将所给的条件角化边，利用余弦定理即可求出A ；（2）利用面积公式1
sin 2
S bc A =求出bc ，然后再用余弦定理2222cos a b c bc A =+-即可求出a 的值．
【详解】（1）22(sin sin )sin sin sin B C A B C +=+ ．由正弦定理得22()b c a bc +=+，即222b c a bc +-=-，∴1
cos 2A =-，()20,,3
A A ππ∈∴= ．
（2）∵1si 4
n 2S bc A bc =
==8bc =，
因为6b c +=，所以()2
2222cos 368
a b c bc A b c bc =+-=+-=-2
28a ∴=，即a =本题主要考查正、余弦定理、三角形面积公式在解三角形中的应用，意在考查学生的转化能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于基础题．
21.如图，四边形11A ABB 是圆柱的轴截面，1CC 是母线，点D 在线段BC 上，直线1AC //平面1AB D .
（1）记三棱锥1B ABD -的体积为1V ，三棱锥1B ABC -的体积为2V ，证明：212V V =；（2）若2CA =，4CB =，直线1AC 到平面1AB D 的距离为4
3
，求直线1CC 与平面1AB D 所成角的正弦值.
【正确答案】（1）证明见解析（2）
13
【分析】（1）根据线面平行的性质定理可得D 为BC 的中点，结合锥体的体积分析证明；（2）根据题意可得B 到平面1AB D 的距离为
43，结合锥体的体积可得113
2
AB D S B B =△，进而可求得14B B =，结合线面夹角的定义分析求解.【小问1详解】
连接1A B ，设11A B AB M = ，连接DM ，
因为直线1AC //平面1AB D ，1AC ⊂平面1ACD ，平面1
ACD ⋂平面1AB D DM =，所以1AC //DM ，
又因为M 为1A B 的中点，则D 为BC 的中点，所以211111
1
1
2223
3
3
ABC
ABD
ABD
V B B S B B S B B S
V =
⋅=
⋅=⨯⋅=.
【小问2详解】
因为直线1AC //平面1AB D ，直线1AC 到平面1AB D 的距离为43
，则C 到平面1AB D 的距离为
4
3
，又因为D 为BC 的中点，则B 到平面1AB D 的距离为43
，由11B AB D B ABD V V --=，则1114
1112433
322AB D
S B B ⨯
⨯=⨯⨯⨯⨯⨯△，可得113
2
AB D S B B =△，延长AD 交底面圆周于点N ，连接1,BN B N ，则AN BN ⊥因为1BB ⊥平面ABC ，AN ⊂平面ABC ，则1AN BB ⊥，
1BN BB B = ，1,BN BB ⊂平面1BB N ，
所以AN ⊥平面1BB N ，
由1B N ⊂平面1BB N ，则1AN B N ⊥，即1AB D △的边AD 的高为1B N ，
由题意可得：45AD ADC BDN =
=∠=∠=︒，
可得BDN
为等腰直角三角形，则2
2
BN BD ==，
可得1B N ==
由111113
222
AB D S AD B N B B =
⨯=⨯=△，解得14B B =，所以直线1BB 与平面1AB D 所成角的正弦值
14
13sin 3
BB θ==，
因为1BB //1CC ，则直线1BB 与平面1AB D 所成角即为直线1CC 与平面1AB D 所成角，故线1CC 与平面1AB D 所成角的正弦值
13
.
22.如图，ABC 中1,3,60AB AC BAC ==∠=︒，AD 为BC 边上的中线，点E ，F 分别为边,AB AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且线段AE 与线段AF 的长度乘积为1．
（1）已知2AF =，请用,AB AC 表示AG
；
（2）求AG EF ⋅
的取值范围．
【正确答案】（1）2277
AG AB AC
=+
（2）129[,]
412
【分析】（1）结合题意设3224
AG AD AG AD AB AC AE AF λλλλλλ====+=+
，然
后根据,,E G F 共线求出4
7
λ=，进而求解；
（2）令AE x = ，AF y = ，根据题意得1xy =，设22
AG AD AB AC λλλ==+
，利用
共线设(1)AG AE AF μμ=+-
，得到(1)3
y AG xAB AC μμ-=+
，利用平面向量基本定理得到3y
x y
μ=
+，然后代入数量积，进行等量代换，最后利用函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
因为1AE AF ⋅=且2AF =，所以12
AE =
，设332222224
AG AD AB AC AE AF AE AF λλλλλλλ==+=⋅+⋅=+ ，
又因为,,E G F 共线，所以314λλ+=，解得47λ=，
所以2277
AG AB AC =+
.
【小问2详解】
令AE x = ，AF y =
，即1xy =，
设22
AG AD AB AC λλλ==+
，又因为,,E G F 共线，
设(1)AG AE AF μμ=+-
，则(1)3
y AG xAB AC μμ-=+
，所以2(1)32x y λμμλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得3y x y μ=+，1133AG AB AC x y x y
=
+++ ，
又因为3
y EF AC xAB =- ，
所以1175()()3332(3)
y y x
AG EF AB AC AC xAB x y x y x y -=+-=+++ ，
又因为1
y x =，所以22752(31)
x AG EF x -=+ ，
因为3y ≤，所以113
x ≤≤，令22
222265
(31)7513533()2(31)2(31)3(31)6
x x f x x x x -+-===-+++，所以1[,1]3
x ∈时，函数()f x 单调递减，
当13x =
时，函数()f x 取最大值129
(312
f =；当1x =时，函数()f x 取最小值31(1)124
f =
=；所以
129[,]
412AG EF ∈ .。