成华区第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

成华区第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知全集为，集合，，则（ ）
R {}
|23A x x x =<->或{}2,0,2,4B =-()R A B = ðA ．
B ．
C ．
D ．{}2,0,2-{}2,2,4-{}2,0,3-{}
0,2,42． 如果过点M （﹣2，0）的直线l 与椭圆有公共点，那么直线l 的斜率k 的取值范围是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．　
3． 已知在△ABC 中，a=
，b=
，B=60°，那么角C 等于（
）
A ．135°
B ．90°
C ．45°
D ．75°
4． 为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知三个社区分别有低收入家C B A ,,庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从社C 区抽取低收入家庭的户数为（ ）
A ．48
B ．36
C ．24
D ．18
【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题．5． 执行如图的程序框图，则输出S 的值为（
）
A ．2016
B ．2
C ．
D ．﹣1
6． 如图在圆中，，是圆互相垂直的两条直径，现分别以，，，为直径作四个O AB CD O OA OB OC OD 圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（
）
O
D
A
B
C
O A ．
B ．
C ．
D ．
π
1
π
21
π
1
21-π
2141-【命题意图】本题考查几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的几何性质及面积的割补思想，属于中等难度．7． 设i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若z =2（+i ），则z=（
）
A ．﹣1﹣i
B ．1+i
C ．﹣1+i
D ．1﹣i
8． 二项式（x 2﹣）6的展开式中不含x 3项的系数之和为（ ）
A ．20
B ．24
C ．30
D ．36
9． 已知圆C 1：x 2+y 2=4和圆C 2：x 2+y 2+4x ﹣4y+4=0关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ）A ．x+y=0B ．x+y=2C ．x ﹣y=2D ．x ﹣y=﹣210．在平面直角坐标系中，直线y=x 与圆x 2+y 2﹣8x+4=0交于A 、B 两点，则线段AB 的长为（
）
A ．4
B ．4
C ．2
D ．2
11．把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（ ）
A ．40（8）
B ．45（8）
C ．50（8）
D ．55（8）12．以下四个命题中，真命题的是（ ）
A ．，(0,)x π∃∈sin tan x x
=B ．“对任意的，”的否定是“存在，x R ∈210x x ++>0x R ∈20010x x ++<C ．，函数都不是偶函数R θ∀∈()sin(2)f x x θ=+D ．中，“”是“”的充要条件
ABC ∆sin sin cos cos A B A B +=+2
C π
=
【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
二、填空题
13．定义：[x]（x ∈R ）表示不超过x 的最大整数．例如[1.5]=1，[﹣0.5]=﹣1．给出下列结论：①函数y=[sinx]是奇函数；
②函数y=[sinx]是周期为2π的周期函数；
③函数y=[sinx]﹣cosx 不存在零点；
④函数y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2，﹣1，0，1}．
其中正确的是 ．（填上所有正确命题的编号）
14．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过F 且倾斜角等于的直线与抛物线在x 轴上方的曲线交于点A ，则AF 的长
为 ．
15．命题：“∀x ∈R ，都有x 3≥1”的否定形式为 ．
16．已知是定义在上函数，是的导数，给出结论如下：()f x R ()f x '()f x ①若，且，则不等式的解集为；
()()0f x f x '+>(0)1f =()x
f x e -<(0,)+∞②若，则；()()0f x f x '->(2015)(2014)f ef >③若，则；
()2()0xf x f x '+>1
(2)4(2),n n f f n N +*<∈④若，且，则函数有极小值；()
()0f x f x x
'+
>(0)f e =()xf x 0⑤若，且，则函数在上递增．
()()x
e x
f x f x x
'+=(1)f e =()f x (0,)+∞其中所有正确结论的序号是 ．
17．已知函数f （x ）=sinx ﹣cosx ，则
= ．
18．若双曲线的方程为4x 2﹣9y 2=36，则其实轴长为 ．
三、解答题
19．已知不等式ax 2﹣3x+6＞4的解集为{x|x ＜1或x ＞b}，（1）求a ，b ；
（2）解不等式ax 2﹣（ac+b ）x+bc ＜0．
20．已知向量=（，1），=（cos ，），记f （x ）=．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）的图象，讨论函数y=g（x）﹣k在的零点个数．
21．
（本小题满分10分）如图⊙O经过△ABC的点B，C与AB交于E，与AC交于F，且AE＝AF.（1）求证EF∥BC；
（2）过E作⊙O的切线交AC于D，若∠B＝60°，EB＝EF＝2，求ED的长．
22．计算：
（1）8+（﹣）0﹣；
（2）lg25+lg2﹣log29×log32．
23．已知函数的图象在y轴右侧的第一个最大值点
和最小值点分别为（π，2）和（4π，﹣2）．
（1）试求f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将新的图象向轴正方向平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．写出函数y=g（x）的解析式．
24．如图，平面ABB1A1为圆柱OO1的轴截面，点C为底面圆周上异于A，B的任意一点．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面A1AC；
（Ⅱ）若D为AC的中点，求证：A1D∥平面O1BC．
成华区第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】
考点：1、集合的表示方法；2、集合的补集及交集.
2．【答案】D
【解析】解：设过点M（﹣2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），
联立，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2=0，
∵过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，
∴△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）≥0，
整理，得k2，
解得﹣≤k≤．
∴直线l的斜率k的取值范围是[﹣，]．
故选：D．
【点评】本题考查直线的斜率的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．
3．【答案】D
【解析】解：由正弦定理知=，
∴sinA==×=，
∵a＜b，
∴A＜B，
∴A=45°，
∴C=180°﹣A﹣B=75°，
4． 【答案】C
【解析】根据分层抽样的要求可知在社区抽取户数为．
C 249
2
108180270360180108=⨯=++⨯5． 【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得s=2，k=0
满足条件k ＜2016，s=﹣1，k=1满足条件k ＜2016，s=，k=2满足条件k ＜2016，s=2．k=3满足条件k ＜2016，s=﹣1，k=4满足条件k ＜2016，s=，k=5…
观察规律可知，s 的取值以3为周期，由2015=3*671+2，有满足条件k ＜2016，s=2，k=2016
不满足条件k ＜2016，退出循环，输出s 的值为2．故选：B ．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出前几次循环得到的s ，k 的值，观察规律得到s 的取值以3为周期是解题的关键，属于基本知识的考查．　
6． 【答案】C
【解析】设圆的半径为，根据图形的对称性，可以选择在扇形中研究问题，过两个半圆的交点分别O 2OAC 向，作垂线，则此时构成一个以为边长的正方形，则这个正方形内的阴影部分面积为
，扇形
OA OC 112
-π
的面积为，所求概率为．OAC ππ
π
π
1
2112
-=
-=P 7． 【答案】B
【解析】解：设z=a+bi （a ，b ∈R ），则=a ﹣bi ，由z
=2（+i ），得（a+bi ）（a ﹣bi ）=2[a+（b ﹣1）i]，
整理得a 2+b 2=2a+2（b ﹣1）i ．则
，解得．
所以z=1+i ．
【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．
8．【答案】A
【解析】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x12﹣3r，令12﹣3r=3，求得r=3，
故展开式中含x3项的系数为•（﹣1）3=﹣20，而所有系数和为0，
不含x3项的系数之和为20，
故选：A．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
9．【答案】D
【解析】【分析】由题意可得圆心C1和圆心C2，设直线l方程为y=kx+b，由对称性可得k和b的方程组，解方程组可得．
【解答】解：由题意可得圆C1圆心为（0，0），圆C2的圆心为（﹣2，2），
∵圆C1：x2+y2=4和圆C2：x2+y2+4x﹣4y+4=0关于直线l对称，
∴点（0，0）与（﹣2，2）关于直线l对称，设直线l方程为y=kx+b，
∴•k=﹣1且=k•+b，
解得k=1，b=2，故直线方程为x﹣y=﹣2，
故选：D．
10．【答案】A
【解析】解：圆x2+y2﹣8x+4=0，即圆（x﹣4）2+y2 =12，圆心（4，0）、半径等于2．
由于弦心距d==2，∴弦长为2=4，
故选：A．
【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
11．【答案】D
【解析】解：∵101101（2）=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20=45（10）．
再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）．
故答案选D．
12．【答案】D
二、填空题
13．【答案】　②③④　
【解析】解：①函数y=[sinx]是非奇非偶函数；
②函数y=[sinx]的周期与y=sinx的周期相同，故是周期为2π的周期函数；
③函数y=[sinx]的取值是﹣1，0，1，故y=[sinx]﹣cosx不存在零点；
④函数数y=[sinx]、y=[cosx]的取值是﹣1，0，1，故y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2，﹣1，0，1}．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查命题的真假判断，考查新定义，正确理解新定义是关键．
14．【答案】　4　．
【解析】解：由已知可得直线AF的方程为y=（x﹣1），
联立直线与抛物线方程消元得：3x2﹣10x+3=0，解之得：x1=3，x2=（据题意应舍去），
由抛物线定义可得：AF=x1+=3+1=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．
15．【答案】　∃x 0∈R ，都有x 03＜1　．
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题：“∀x ∈R ，都有x 3≥1”的否定形式为：命题：“∃x 0∈R ，都有x 03＜1”．
故答案为：∃x 0∈R ，都有x 03＜1．
【点评】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．　
16．【答案】②④⑤
【解析】解析：构造函数，，在上递增，
()()x g x e f x =()[()()]0x
g x e f x f x ''=+>()g x R ∴，∴①错误；
()x
f x e
-<()1x e f x ⇔<()(0)g x g ⇔<0x ⇔<构造函数，
，在上递增，∴，()()x f x g x e =()()
()0x
f x f x
g x e '-'=>()g x R (2015)(2014)g g >∴∴②正确；
(2015)(2014)f ef >构造函数，，当时，，∴2()()g x x f x =2
()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+0x >()0g x '>，∴，∴③错误；
1(2)(2)n n g g +>1(2)4(2)n n f f +>由得，即，∴函数在上递增，在上递()()0f x f x x '+>()()
0xf x f x x '+>()()0xf x x
'>()xf x (0,)+∞(,0)-∞减，∴函数的极小值为，∴④正确；
()xf x 0(0)0f ⋅=由得，设，则()()x e xf x f x x '+=2
()()x e xf x f x x
-'=()()x g x e xf x =-()()()x
g x e f x xf x ''=--，当时，，当时，，∴当时，，
(1)x x x
e e e x x x
=-=-1x >()0g x '>01x <<()0g x '<0x >()(1)0g x g ≥=即，∴⑤正确．
()0f x '
≥17
．【答案】 ．
【解析】解：∵函数f （x ）=sinx ﹣cosx=sin （x ﹣），
则
=
sin （﹣）=﹣
=﹣
，
故答案为：﹣
．
【点评】本题主要考查两角差的正弦公式，属于基础题．　
18．【答案】　6　．
【解析】解：双曲线的方程为4x2﹣9y2=36，即为：
﹣=1，
可得a=3，
则双曲线的实轴长为2a=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查双曲线的实轴长，注意将双曲线方程化为标准方程，考查运算能力，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）因为不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x1=1与x2=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个实数根，
且b＞1．由根与系的关系得，解得，所以得．
（2）由于a=1且b=2，所以不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0，
即x2﹣（2+c）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0．
①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
③当c=2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．
综上所述：当c＞2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
当c＜2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
当c=2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为∅．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题．
20．【答案】
【解析】解：（1）∵向量=（，1），=（cos，），记f（x）=．
∴f（x）=cos+=sin+cos+=sin（+）+，
∴最小正周期T==4π，
2kπ﹣≤+≤2kπ+，
则4kπ﹣≤x≤4kπ+，k∈Z．
故函数f（x）的单调递增区间是[4kπ﹣，4kπ+]，k∈Z；
（2））∵将函数y=f（x）=sin（+）+的图象向右平移个单位得到函数解析式为
：y=g（x）=sin[（x﹣+）]+=sin（﹣）+，
∴则y=g（x）﹣k=sin（x﹣）+﹣k，
∵x∈[0，]，可得：﹣≤x﹣≤π，
∴﹣≤sin（x﹣）≤1，
∴0≤sin（x﹣）+≤，
∴若函数y=g（x）﹣k在[0，]上有零点，则函数y=g（x）的图象与直线y=k在[0，]上有交点，
∴实数k的取值范围是[0，]．
∴当k＜0或k＞时，函数y=g（x）﹣k在的零点个数是0；
当0≤k＜1时，函数y=g（x）﹣k在的零点个数是2；
当k=0或k=时，函数y=g（x）﹣k在的零点个数是1．
【点评】本题是中档题，考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，函数的单调增区间的求法，函数零点的判断方法，考查计算能力．
21．【答案】
【解析】解：（1）证明：∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE.
又B，C，F，E四点共圆，
∴∠ABC＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠ACB，又∠AEF＝∠AFE，∴EF∥BC.
（2）由（1）与∠B＝60°知△ABC为正三角形，
又EB＝EF＝2，
∴AF＝FC＝2，
设DE＝x，DF＝y，则AD＝2－y，
在△AED中，由余弦定理得
DE 2＝AE 2＋AD 2－2AD ·AE cos A .
即x 2＝（2－y ）2＋22－2（2－y ）·2×，12∴x 2－y 2＝4－2y ，①
由切割线定理得DE 2＝DF ·DC ，
即x 2＝y （y ＋2），
∴x 2－y 2＝2y ，②
由①②联解得y ＝1，x ＝，∴ED ＝.
3322．【答案】
【解析】解：（1）8
+（﹣）0﹣=2﹣1+1﹣（3﹣e ）
=e ﹣．
（2）
lg25+lg2﹣log 29×log 32
=
=
=1﹣2=﹣1．…（6分）
【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数性质及运算法则的合理运用．
23．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（1）由题意知：A=2，…
∵T=6π，∴=6π得
ω=，…
∴f （x ）=2sin （x+φ），
∵函数图象过（π，2），
∴sin （+φ）=1，∵﹣＜φ+＜，
∴φ+=，得φ=…
∴A=2，ω=，φ=，
∴f（x）=2sin（x+）．…
（2）∵将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得函数y=2sin（x+）的图象，
然后再将新的图象向轴正方向平移个单位，得到函数g（x）=2sin[（x﹣）+]=2sin（﹣）的图象．
故y=g（x）的解析式为：g（x）=2sin（﹣）．…
【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，其中根据已知求出函数的最值，周期，向左平移量，特殊点等，进而求出A，ω，φ值，得到函数的解析式是解答本题的关键．
24．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）因为AB为圆O的直径，点C为圆O上的任意一点
∴BC⊥AC …
又圆柱OO1中，AA1⊥底面圆O，
∴AA1⊥BC，即BC⊥AA1…
而AA1∩AC=A
∴BC⊥平面A1AC …
（Ⅱ）取BC中点E，连结DE、O1E，
∵D为AC的中点
∴△ABC中，DE∥AB，且DE=AB …
又圆柱OO1中，A1O1∥AB，且
∴DE∥A1O1，DE=A1O1
∴A1DEO1为平行四边形…
∴A1D∥EO1…
而A1D⊄平面O1BC，EO1⊂平面O1BC
∴A1D∥平面O1BC …
【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；考查学生的空间想象能力及推理论证能力．。