反证法假设命题结论不成立

应用反证法的情形：
⑴直接证明困难; ⑵需分成很多类进行讨论． ⑶结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命题； ⑷结论为 “唯一”类命题；
反证法的思维方法：正难则反
练习：已知a≠0，证明关于x的方程ax=b有且只 有一个根。
练习
1.证明：在ABC中，若C是直角，则B一定是锐角。
间接证明不是从正面证明命题的真实性，而是证明命题的反
面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的。 反证法就是一种常用的间接证明方法。
反证法：
假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立）， 经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从 而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。 反证法的一般步骤：
=2ac-(a+c)+1 ＜2ac- ac +1 ＜1 这与ac+bd＞1矛盾，故原命题得证
例2：已知直线a,b和平面，如果a ,b , 且a // b,求证a //.
a
b
例2 实数a、b、c、d，满足a+b=c+d=1，ac+bd＞1，
求证：a、b、c、d中至少有一个是负数
证明：假设a、b、c、d>0 则0<a<1，0<b<1，0<c<1，0<d<1 ∴0<ac<1 ∴ac< ac ∴ac+bd=ac+(1-a)(1-c)
2.求证：2，3，5不可能成等差数列。你还记得线面平 行的判 Nhomakorabea定理吗？
例1 求证： 2 是无理数。
证明：假设 2不是无理数，则 2是有理数
则存在互质的整数m，n使得 2 = m ，
∴ m = 2n ∴ m2 = 2n2
n
∴m2是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k2 = 2n2，即n2 = 2k2 ∴ n2也是偶数，n也是偶数
2.2直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
问题：
将9个球分别染成红色或者白色，那么无论怎 么样，至少有几个球是同一颜色的？
复习
直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、 公理、定理，直接推理证明结论的真实性。
常用的直接证明方法有综合法与分析法。
综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因。 在解决有关问题时，常常把分析法和综合法结合起来使用。 先用分析法寻求解题思路，再用综合法解答或证明；有时要 分析法和综合法结合起来交替使用。
这与m，n互质矛盾！
假设不成立， 2是无理数。
练习1：已知a是整数，a2是偶数，求证： a也是偶数。
证明：假设a不是偶数，则是a奇数 设a 2n 1(n Z ) 则a2 (2n 1)2 4n2 4n 1 4n2 4n是偶数，4n2 4n 1是奇数，即 a2是奇数 这与a2是偶数矛盾。 假设不成立，a是偶数
（1）反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）；
（2）归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。
归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；（2）与公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。
注意：反证法引出矛盾没有固定的模式，需要认真观察、分析， 洞察矛盾。