中考数学总复习 第五单元 四边形 第19讲 矩形、菱形、正方形课件

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考法1
考法2
考法3
考法4
例5(2017广西来宾)如图,在正方形ABCD中,H为CD的中点,延长AH至点F,
使AH=3FH,过F作FG⊥CD,垂足(chuízú)为G,过F作BC的垂线交BC的延长线于
点E.
(1)求证:△ADH∽△FGH;
(2)求证:四边形CEFG是正方形.
∴AB⊥DE,AF=FB,EF=DF,

∴tan ∠ABE= =3,
∵BF=
10
2
3 10
,∴EF=
2
,
1
∴DE=3 10,∴S 菱形 AEBD=2·AB·DE
1
=2 × 10×3 10=15.
方法点拨本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、
全等三角形的判定和性质等知识,解题(jiě tí)的关键是正确寻找全等三角形
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解决问题,属于中考常考题型.
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考法1
考法2
考法3
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正方形的性质及判定
1.明晰(míngxī)正方形具备平行四边形、矩形、菱形的所有性质;
2.证明正方形的一般思路:矩形+一组邻边相等,矩形+对角线互相垂直,菱形+
对角线相等,菱形+一个内角是90°;
3.正方形的中心对称性与轴对称性.
(1)求证(qiúzhèng):△AFE≌△CDE;
(2)若AB=4,BC=8,求图中阴影部分的面积.
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考法1
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(1)证明(zhèngmíng):∵在矩形ABCD中,
AB=CD,∠D=∠B=90°,
又将矩形ABCD沿对角线AC翻折,
∴AB=AF=CD,
∴四边形AEBD是平行四边形,
∵BD=AD,∴四边形AEBD是菱形.
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考法2
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(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB= 10,AB∥CD,
∴∠ABE=∠DCB,
∴tan ∠ABE=tan ∠DCB=3,
∵四边形AEBD是菱形(línɡ xínɡ),
ABCD是平行四边形,AB=AD,。又∵AB⊥AD,∴四边形ABCD是正方形,故①正确。∵四边形ABCD是平行四边
形,OB=OC,。又OB⊥OC,即对角线互相垂直,。∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,。又∵AC=BD,∴四边形ABCD
是矩形,。(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.。∴EF⊥BC,
且GH∥BC,
∴EF⊥BC,
∵AD∥BC,AB⊥BC,
1
∴AB=EF=GH=2a,
1
1
∴矩形 ABCD 的面积=AB·AD=2a·a=2a2.
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内容(nèiróng)总结
第19讲 矩形、菱形、正方形。在直角三角形AEF中,由勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)得,。解析:∵四边形
∴∠AOB'=∠BOB'-∠AOB=45°,
3
2
∴△OB'H 为等腰直角三角形,∴OH=B'H= 2 OB'= 6,
∴点 B'的坐标为( 6,- 6).
故答案为( 6,- 6).
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方法点拨本题考查了数形结合(jiéhé)思想和坐标与图形变化-旋转:图形或
段相等、两角相等,可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的
对边或对角(duì jiǎo)的位置上,通过证明四边形是平行四边形达到上述目的.
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菱形的性质
1.明晰菱形与一般平行四边形的区别和联系(liánxì).
2.涉及对角线时要考虑勾股定理.
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例3(2018湖北随州)如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形OABC的边长为2,点A
在第一(dìyī)象限,点C在x轴正半轴上,∠AOC=60°,若将菱形OABC绕点O顺时
针旋转75°,得到四边形OA'B'C',则点B的对应点B'的坐标为
点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常
见的是旋转特殊角度如:30°,45°,60°,90°,180°.
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菱形的判定
证明菱形的常用思路:“平行四边形+一组邻边相等”或“平行四边形+对
角线互相(hù xiāng)垂直”.
证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADH=90°,AD=DC,
∵FG⊥CD,∴∠ADH=∠FGH=90°,
∵∠AHD=∠FHG,
∴△ADH∽△FGH.
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考法1
考法2
考法3
考法4
(2)∵△ADH∽△FGH,AH=3FH,



∴ = = =3,
(1)证明(zhèngmíng):∵点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点,
1
∴FH∥BE,FH= BE=BG,
2
∴∠CFH=∠CBG,
∵BF=CF,
∴△BGF≌△FHC.
(2)解:当四边形EGFH是正方形时,可得:EF⊥GH且EF=GH,
1
1
1
∵在△BEC 中,点 G,H 分别是 BE,CE 的中点,∴GH=2BC=2AD=2a,
第19讲 矩形(jǔxíng)、菱形、正方形
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考法2
考法3
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矩形的性质和判定
明晰矩形与一般平行四边形的区别和联系是解答此类问题的突破口.
例1(2017湖北鄂州)如图,将矩形ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点F
处,FC交AD于点E.
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.
考法1
考法2
考法3
考法4
答案:( 6,- 6)
解析(jiě xī):作B'H⊥x轴于H点,连接OB,OB',如图,
∵四边形OABC为菱形,
∴OB平分∠AOC,∴∠AOB=30°,
∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至第四象限OA'B'C'的位置,
∴∠BOB'=75°,OB'=OB=2 ,
例4(2018江苏扬州)如图,在平行四边形ABCD中,DB=DA,点F是AB的中点,
连接DF并延长,交CB的延长线于点E,连接AE.
(1)求证:四边形AEBD是菱形;
(2)若DC=
,tan ∠DCB=3,求菱形AEBD的面积.
10
分析:(1)由△AFD≌△BFE,
推出AD=BE,可知四边形AEBD是平行四边形,
考法3
考法4
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,∴∠AFC=∠DCG,
∵GA=GD,∠AGF=∠CGD,
∴△AGF≌△DGC,∴AF=CD,∴AB=AF.
(2)解:结论:四边形ACDF是矩形(jǔxíng).
理由:∵AF=CD,AF∥CD,
∴四边形ACDF是平行四边形,
故答案为①③④.
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4.(2018甘肃)已知矩形ABCD中,E是AD边上的一个(yī ɡè)动点,点F,G,H分别是
BC,BE,CE的中点.
(1)求证:△BGF≌△FHC;
(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.
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1
∵GF=3AD,DH=CH,
∴CG=2GH,
∴CD=6GH,
1
∴CG=3CD,∴GF=CG,
∵FG⊥CD,DC⊥BE,FE⊥BE,
∴四边形CEFG是正方形.
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1.(2017甘肃兰州)如图,矩形(jǔxíng)ABCD的对角线AC与BD相交于点
O,∠ADB=30°,AB=4,则OC= (
∵四边形ABCD是平行四边形,OB=OC,
∴AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形,
又OB⊥OC,即对角线互相(hù xiāng)垂直,
∴平行四边形ABCD是正方形,故③正确;
∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形,
又∵AC=BD,∴四边形ABCD是矩形,
∴平行四边形ABCD是正方形,故④正确;
中(qízhōng)正确的序号是①③④ .
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解析:∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形,
又∵AB⊥AD,∴四边形ABCD是正方形,故①正确;
∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BD,AB⊥BD,
∴平行四边形ABCD不可能是正方形,故②错误;
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAD=∠BCD=120°,
∴∠FAG=60°,∵AB=AG=AF,∴△AFG是等边三角形,∴AG=GF,
∵△AGF≌△DGC,∴FG=CG,∵AG=GD,
∴AD=CF,∴四边形ACDF是矩形.
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考法2
考法3
考法4
方法点拨此题主要考查了矩形的性质以及判定,要证明两直线平行和两线
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考法1
考法2
考法3
考法4
方法点拨(1)利用AAS证全等;(2)根据勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)列方程求EF,计
算面积.
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考法1
考法2
考法3
考法4
例2(2018山东青岛)已知:如图,平行四边形ABCD,对角线AC与BD相交
(xiāngjiāo)于点E,点G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,
连接FD.
(1)求证:AB=AF;
(2)若AG=AB,∠BCD=120°,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论.
分析:(1)只要证明AB=CD,AF=CD即可解决问题;
(2)结论:四边形ACDF是矩形.根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可;
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考法1
考法2再Biblioteka 据BD=AD可得结论;(2)解直角三角形求出EF的长即可解决问题.
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考法1
考法2
考法3
考法4
(1)证明(zhèngmíng):∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥CE,∴∠DAF=∠EBF,
∵∠AFD=∠EFB,AF=FB,
∴△AFD≌△BFE,
∴AD=EB,∵AD∥EB,
∠F=∠D=90°,∵∠AEF=∠DEC,
∴△AFE≌△CDE.
(2)解:设EF=ED=x,则AE=8-x,
在直角三角形AEF中,由勾股定理得,
(8-x)2=x2+42
解得x=3.
S阴影=S△ADC-S△EDC.
1
1
1
1
= AD·CD- ED·CD= ×8×4- ×3×4=10.
2
2
2
2
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A.5
B.4
C.3.5
D.3
B
)
解析(jiě xī):∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,OA=OC,∠BAD=90°,
∵∠ADB=30°,
∴AC=BD=2AB=8,
1
∴OC= AC=4.
故选B.
2
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2.(2018甘肃兰州)如图,在矩形(jǔxíng)ABCD中,AB=3,BC=4,BE∥DF且BE与DF
No
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之间的距离是3,则AE的长是( C
A. 7
7
C.
8
)
3
B.8
5
D.
8
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3.(2017甘肃兰州)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,要使四
边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:①AB⊥AD,且
AB=AD;②AB=BD,且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD,且AC=BD,其