湖北襄阳四中高三高考仿真模拟考试数学(理)试题B卷.docx

高中数学学习材料
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2014年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试(湖北卷)
数学 （理工类）
本试卷共6页，共22题，其中第15、16题为选考题。

满分150分。

考试用时120分钟。

★ 祝考试顺利 ★
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。

答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将答题卡上交。

一．选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知命题 p ：,cos 1,x R x ∀∈≤则
（ ）
A 、00:,cos 1p x R x ⌝∃∈≥
B 、 00:,cos 1p x R x ⌝∃∈>
C 、:,cos 1p x R x ⌝∀∈>
D 、:,cos 1p x R x ⌝∀∈≥
2、一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不．
是（ ）
3、已知数列{}n a 是等比数列，且dx x a a ⎰
-=+2
2201520134，则)2(2016201420122014a a a a ++的值为
（ ）
A 、π
B 、π2
C 、 2π
D 、24π 4、下图是一个算法的流程图，最后输出的=x ( )
A 、10-
B 、7-
C 、4-
D 、13-
5、已知(2,1,3)a =-，(1,4,2)b =--，(7,5,)c λ=，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于（ ）
A 、
765 B 、
764
C 、 7
63 D 、
7
62 6、将半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为 （ ）
A 、
2
π
B 、412π-
C 、12
D 、41π-
7、函数由下表定义
x
2 5
3 1
4 ()f x
1
2
3
4
5
若0
15,(),0,1,2,...n n a a f a n +===，则2014a =（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、 5
8、为了有效管理学生迟到问题，某校专对各班迟到现象制定了相应的等级标准，其中D 级标准为“连续10天，每天迟到不超过7人”根据过去10天1、2、3、4班的迟到数据，一定符合D 级标准的是（ ） A 、1班：总体平均值为3，中位数为4 B 、2班：总体平均值为1，总体方差大于0 C 、3班：中位数为2，众数为3 D 、4 班：总体平均值为2，总体方差为3
9、设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ） 个。

A 、14 B 、 10 C 、 6 D 、4
10、设函数2
()21f x x x alnx =-++有两个极值点1,2x x 且12x x <则（ ）
x=x-3
是
开始
S =0 x =2
输出x 结束
S =S +x
20-≤S
否
A 、21220()4ln f x +<<
B 、2122
()4
ln f x -< C 、
2122()04ln f x -<< D 、2122
()4
ln f x +>
二．填空题:本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题
号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
（一）必做题（11 14题） 1１、方程
1
313313
x x
-+=-的实数解为________ 1２、过双曲线2
2
12
y x -=的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若满足AB λ||=的直线l 仅有3条，
则实数λ=
13、已知0,0a b >>，且22
min(,
)b
h a a b
=+，求h 的范围 14、已知2
()f x x bx c =++，对于[3,5]x ∈恒有1
()2
f x ≤
，求b c += (二）选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方
框用2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.) 15、如图，AB ，CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB
的中点P ，23
a PD =
，
30OAP ∠=︒，则CP = ． 16、已知直线的极坐标方程为2sin()42
πρθ+=，则极点到这条
直线的距离是 ．
三．解答题:(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17、（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足
=-B A 2cos 2cos ⎪⎭
⎫
⎝⎛+π⎪⎭⎫ ⎝⎛-πA A 6cos 6cos 2
（Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若3=
b 且a b ≤，求
c a 2
1
-的取值范围．
18 、（本小题满分12分）
学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A , B 两种菜可供选择。

调查表明，凡是在这星期一选A 菜的，下星期一会有
15改选B 菜;而选B 菜的，下星期一会有3
10
改选A 菜。

用,n n a b 分别表示第n 个星期选A 的人数和选B 的人数.
⑴试用1(*,2)n a n N n -∈≥表示n a ，判断数列{300}n a -是否成等比数列？并说明理由; ⑵若第一个星期一选A 种菜的有200人，那么第10个星期一选A 种菜的大约有多少人?
19、（本题满分12分）
“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在
20～80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车．”
某市交警在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过一晚的抽查，共查出酒后驾车者60名，图甲是用酒精测试仪对这60 名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图．
（1）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，图乙的程序框图是对这60名酒后驾
车者血液的酒精浓度做进一步的统计，求出图乙输出的S 值并说明S 的统计意义；（图乙中数据i m 与i f 分别表示图甲中各组的组中值及频率）
（2）本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度属于70～90/100mg ml 的范围，但
他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度属于70～90/100mg ml 范围的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，ξ为吴、李两位先生被抽中的人数，求ξ的分布列，并求吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率；
20、（本题满分12分）
如图，四棱锥F ABCD -的底面ABCD 是菱形，其对角线2, 2.AC BD ==
AE 、CF 都与平面ABCD 垂直，AE =1，CF =2.
90
80
70
60
50
40
30
20
(单位:mg/100ml)
0.025
0.0200.0150.010频率/组距
酒精含量0.005
图甲
i=i+1
S=S+m i ×f i 输入m i ,f i 开始否结束
输出S i>=7？
i ＝1
S ＝0是图乙
（1）求二面角B AF D --的大小；
（2）求四棱锥E ABCD -与四棱锥F ABCD -公共部分的体积.
21、（本题满分13分）
已知半圆)0(42
2≥=+y y x ，动圆M 与此半圆相切且与x 轴相切。

（1）求动圆圆心M 的轨迹方程。

（2）是否存在斜率为31
的直线l ，它与（1）中所得轨迹由左到右顺次交于A 、B 、C 、D 四个不同的点，
且满足|AD|=2|BC|？若存在，求出l 的方程，若不存在，说明理由。

22、（本题满分14分）
（1） 已知1,x n N *
>-∈，求证：(1)1n
x nx +≥+
（2） 已知0m >，n N *
∈，x
e m nx ≥+ 对于x R ∈恒成立，求m 与n 满足的
条件，并求当1n =时m 的值。

（3） 已知x n ≤，n N *∈。

求证：2
(1)n x x
n n e x n
--≤g
A 卷答案：DBACD ， AADCD
B 卷答案：BBCAA ，DADBC
11 、3log 4x = 12、 4 13、2(0,
]2 14、15
2
15、98a 16、22
故A A A A C A c a cos 23sin 2
3
32sin sin 2sin sin 221-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-π-=-=-
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
π-=6sin 3A ----------8分
因为a b ≤，所以
323π<
≤πA ，2
66π
<π-≤πA ，----------10分 所以⎪⎪⎭
⎫⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛
π-=-3,236sin 321A c a ． ----------12
18、【解析】：⑴由题知，对*n N ∈有500n n b a =-,
所以当*n N ∈且2n ≥时,
11114311
(500)250300(300)51022
n n n n n n n a a a a a a a ----=+-⇒=+⇒-=-
∴当1300a =时,{300n a -}不是等比数列；当1300a ≠时，{300n a -}是以1300a - 为首项，12
为
公比的等比数列……………(7分) ⑵当1200a =时，
1110191100100
300()(300)300300300222
n n n n a a a a ---=-⇒=-⇒=-≈
∴第10个星期一选A 种菜的大约有300人。

…………..12分
19、解：（1）由图乙知输出的
1122770S m f m f m f =++++
＝250.25350.15450.2550.15650.1750.1850.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ＝47（mg/100ml ） ……5分 S 的统计意义为60名酒后驾车者血液的酒精浓度的平均值. ……6分
（2）酒精浓度属于70～90/100mg ml 的范围的人数为0.15609⨯= ……7分
ξ的可能取值为0，1，2
127)0(2927===C C P ξ，187)1(291217===C C C P ξ，36
1
)2(292
2===C C P ξ …8分 分布列如下： ……9分
ξ 0 1 2
P
127
187 36
1
吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率=P 12
5)2()1(==+=ξξP P ． (或5
1(0)12
p p ξ=-==
)……………………………………………………………………12分 20．【解析】：（1）方法一：如图（1）连结AC 、BD 交于菱形的中心O ，过O
作OG ⊥AF ，G 为垂足. 连结BG 、DG .
由BD ⊥AC ，BD ⊥CF ，得BD ⊥平面ACF ， 故BD ⊥AF . 于是AF ⊥平面BGD ， 所以BG ⊥AF ，DG ⊥AF ，∠BGD 为二面角B-AF-D 的平面角. …………………3分
由FC ⊥AC ，FC =AC =2，得∠FAC 4
π
=，2
2
OG =
. 由OB ⊥OG ，OB =OD=
22，得∠BGD=2∠BGO 2
π=. 即二面角B-AF-D 的大小为
2
π
.……………………………6分
方法二：设AC 与BD 交点为O ，以O 为坐标原点，分别以BD 、AC 所在直线为x 轴 y 轴建立如图所示的空间直角坐标系 则A (0，－1，0)，B (22-，0，0)，D (22
，0，0)，F (0，1，2) (0,2,2)AF =，2(,1,0)2AB =-
，2
(,1,0)2
AD =………………………………2分 设平面ABF ，平面ADF 的法向量分别为12,n n 设1(,,)n x y z =
由11002002
y z n AF x y n AB +=⎧⎧=⎪⎪
⇒⎨⎨-+==⎪⎪⎩⎩
y
z
O
令1(2,1,1)n =-………………………………4分
同理可得2(2,1,1)n =- ∴122110n n =--= ∴12n n ⊥
∴二面角B －AF －D 的大小为
2
π
…………………………………………………6分 （2）如图（2）连EB 、EC 、ED ，设直线AF 与直线CE 相交于点H ， 则四棱锥E-ABCD 与四棱锥F-ABCD 的公共部分为四棱锥H-ABCD . 过H 作HP ⊥平面ABCD ，所以平面ACFE ⊥平面ABCD ， 从而,P AC HP AC ∈⊥. ……………………………7分 由1HP HP AP PC CF AE AC AC +=+=，得23
HP =.……………………9分 又因为1
22
ABCD S AC BD =菱形＝
故四棱锥H ABCD -的体积122
39ABCD V S HP 菱形＝＝.……………12分
21、（1）设动圆圆心),(y x M ，作MN ⊥x 轴于点N
①若两圆外切： 2||||+=MN MO ，则222+=+y y x 化简得： 44222++=+y y y x ⇒ )1(42+=y x )0(>y ……………3分
②若两圆内切： ||2||MN MO -=，则y y x -=+222⇒ 2
2244y y y x +-=+
⇒ )1(42--=y x )0(>y ……………5分
综上，动圆圆心的轨迹方程是
)1(42+=y x )0(>y 及)1(42--=y x )0(>y ………6分 其图象为两条抛物线位于x 轴上方的部分，如图所示。

（2）假设直线l 存在，可设l 的方程为=y 31
b x +。

依题意得，它与曲线)1(42+=y x 交于点D A ,，与曲线)1(42
--=y x 交于点C B ,。

即
2134(1)y x b x y ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩ 2134(1)y x b x y ⎧=+⎪
⎨
⎪=--⎩
01212432=---b x x ① 01212432=-++b x x ②
=||AD 231)(1+||D A x x -， =||BC 23
1)(1+||C B x x - =||AD 2||BC ∴||D A x x -=2||C B x x -
即2
34)(+34
)1212(+b =4[
234)(－3
4
)1212(-b 得=b 32
……………11分
将其代入方程①得 2-=A x =D x 310
因为曲线)1(42
+=y x 的横坐标范围为),2()2,(+∞--∞ ，所以这样的直线l 不存在……………13分
22、解 （1）设()(1)(1)n
f x
x n x =+-+，则'1
()(1)
n f x n x n -=+-，所以()f x 在()1,0-递减，在()
0,+∞上递增，故最小值为(0)0f =得证。

…………………………….3分
（2）
设M （0x ，0y ），在M 处的切线方程：0000x x x
y e x x e e =-+
则有：0x
n e =且000x
x
m x e e =-+
所以：(1)m n lnn ≤-，0m >，n N *
∈
故1n =时，m 是(]0,1上的任意一个值……………………….8分 （3）2(1)n x x n n e x n --≤g 22(1)x x n x n e n
-≤-g 当(,][,]x n n n ∈-∞-U 时，20n x -≤， (1)0n x
x n e n
-
≥g 不等式成立。

….10分 当(0,)x n ∈时 [(1)][(1)(1)]x
n n n x x x n e n n n n
-≥-+g 222
2[(1)](1)(1)x
n n n x x x n e n n n x n n n
-≥-≥-≥-g
……………………………….14分。