粗糙表面纳米颗粒的体积计算模型17页word文档

2009河南科技大学第六届大学生数学建模竞赛
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粗糙表面纳米颗粒的体积计算模型
摘要
本文通过建立数学模型研究了有关在粗糙表面上的纳米颗粒体积的估算的问题。

本文主要解决了一下几个问题：1. 设计计算机自动识别纳米颗粒的方法的问题；针对这一问题本文依据纳米颗粒的判别方法（在突起部分中高度大于或等于5nm的是纳米颗粒），在MATLAB软件中编制了一套能判别某个突起是否为纳米颗粒的程序。

只要输入所需数据（突起高度）就能达到自动识别纳米颗粒的目的。

2. 纳米颗粒体积的估算问题；在解决这个问题时，本文将纳米颗粒分别近似看作圆锥体、有抛物线旋转形成的抛物球体及椭球体（仅是其中的一半）。

由此我们建立了三个估算模型，在求解过程中本文利用微积分思想分别求出了纳米颗粒的总体积。

最后我们考虑到各种模型的近似程度有所不同，我们对三个模型所求得的结果进行加权并求得平均值，最终结果视为纳米颗粒的估算值，以减小不同模型体积估算的偏差。

但是鉴于时间较短，不可能做到十全十美，因此我们的模型是可以接受的。

例如，本文将纳米颗粒近似看作了理想的规则体，而事实上纳米颗粒的形状是不规则的，因此本文所求得的结果可能存在较大的误差。

只有借助高精密仪器，再结合微积分思想才能得到更为精确的结果。

本文在求解过程中，使用了MATLAB,SPASS等数学软件，并建立了自动识别纳米颗粒的流程图，使得识别过程简明易懂。

从而使本文的模型具有一定
的可行，且估算结果具有相当高的精确性。

一、问题重述
纳米粒子（nanoparticle ），是一种超微粒，即至少在一个维的尺度为1-100nm (nanoscale)颗粒的集合体。

纳米粒子是纳米科技中的一个极为重要的方面，因为它在生物医学、光学和电子学等许多领域有重要的潜在应用价值。

原子力显微镜(AFM)是对纳米粒子进行表征的最重要工具之一。

AFM 具有原子级的高分辨率，可以提供纳米粒子实时、实空间的三维图像，因而可以提供纳米粒子许多物理性质的定性和定量信息，如大小、形貌、表面结构和粗糙度等，也可以得到包括粒子大小、表面积、体积分布等统计信息。

为方便观察和简化计算分析，目前利用AFM 观察纳米粒子和其他结构的纳米材料绝大部分在粗糙度极小（<1nm ）的硅片或云母片表面进行。

但在实际应用中，我们常常需要研究在粗糙表面上的纳米粒子。

由于粗糙表面的复杂结构，很难得到关于纳米粒子的大小和体积分布等的准确信息。

下图是在一种高分子材料表面形成的纳米颗粒的AFM 图像。

(a) (b)
图1.在一种高分子材料表面生成的纳米颗粒的二维（a ）和三维(b)AFM 图像。

高分子材料表面在纳米级是不光滑的，有一定的起伏，图1(a)中颜色较深的地方为凹陷部分，颜色较浅的为突起部分。

一些高分子材料还有结晶结构，图1(a)中出现的一些条带结构是其片晶。

图1(a)中的颜色较浅的点和图1(b)中的突起部分则是在这种高分子材料表面形成的纳米颗粒。

现在要设计一种算法来估算在粗糙的高分子材料表面形成的纳米颗粒的体积。

其中有几点说明：
1 图2中看似山峰的突起部分，其中高度大于或等于5nm 的是纳米颗粒，是需要计算的；而低于5nm 的则是高分子材料自身的结晶结构，不参加计算。

、
图3
2 对于图3的情形，有明显凹进去的部分，它是由于化学反应过程中出现的高分子基材表面破裂现象，因此计算突起部分体积时高度仍以基材表面为底面。

3 对于图4的情形，有三个峰，都是生成的纳米颗粒，但是形成过程中，这三个颗粒紧挨在了一起，计算时高度也应以高分子材料表面为底面。

高于5nm 为纳米颗粒
低于5nm 为基材 以此虚线为底面计算
图4
在B2009data-2nm 文件中给出了在2μm ×2μm 范围内均匀分布的512×512个纳米材料高度数据（单位纳米）。

请你
1. 设计一个计算机自动识别纳米颗粒的方法，并计算出图1中纳米颗粒的总体积。

2. 给出检验你的算法精确度的一个方法，并按你提出的方法来验证题1结果的精确度。

二、模型假设
1. 在进行模型假设时，只同时考虑抛物线旋转体型、圆锥型或者椭圆旋转体型三种中的一种。

2. 进入计算程序的纳米颗粒严格的均匀分布在所给定的范围内。

3. 模型为旋转体，底部假设为圆，且面积相等。

4. 出现n 个颗粒连体时，在进入模型程序师视为n 个颗粒。

三、符号约定
S------纳米颗粒的底面积；
H ------纳米颗粒的高度； R ------纳米颗粒底面的半径；
1
V ------圆锥体模型所求的纳米颗粒的总体积； 2
V ------抛物面体模型所求的纳米颗粒的总体积； 3
V
------椭球体模型所求的纳米颗粒的总体积；
V
------三个模型总体积的加权平均值；
1
w ------圆锥体模型总体积的权重； 2
w
------抛物面体模型总体积的权重； 3
w
------椭球体模型总体积的权重；
四、问题分析与模型的建立
（一）、纳米颗粒的自动识别
针对如何利用计算机自动识别纳米颗粒的问题，我们利用MATLAB 软件，根据颗
以此虚线为底面计
算
粒高度大于5nm的判别依据，编写出了一套程序。

使用这一套程序，只要输入突起的高度，便可实现自动识别纳米颗粒的目的。

程序的基本流程如下所示：
在MATLAB中运行程序如下：
for i=1:512
for j=1:512
if A(i,j)>=5;
b(i,j)=1;
else
b(i,j)=0;
end
end
end
B=b(:,:)
我们这里约定：“1”代表该突起是纳米颗粒；“0”代表该突起不是纳米颗粒。

将512×512的高度数据矩阵输入到程序中，我们便得到了512×512 的“0-1”判别矩阵。

（二）、纳米颗粒体积估算模型
我们通过对纳米颗粒的二维和三维AFM图像进行观察和分析，纳米颗粒的形状具有一定的规律，它们的形状近似于一些几何体。

通过比较分析我们选定了三个较为接近的几何体，即圆锥体、抛物面体以及椭球体作为纳米颗粒体积的估计计算模型。

由于三
个几何体对纳米颗粒的近似程度有所不同，我们采取加权求平均值的方法来确定纳米颗粒的总体积的近似值。

1.纳米颗粒底面积的确定
由于512×512个纳米材料高度数据（单位纳米）是在2μm ×2μm 范围内均匀分布的。

我们认为每一个高度所对应的底面积是相等的，即每一个纳米颗粒的底面积是相等的。

而我们所建立的模型时将纳米颗粒近似看作了回转体，因此我们认为每一个纳米颗粒的底面是圆形面且面积相等。

我们设纳米颗粒的底面积为S ，半径为R 。

由以上结论我们得到纳米颗粒的底面积S 的计算值：
23*2315.258789(nm)512^2
e e S ==
2.纳米颗粒总体积的计算模型
在对纳米颗粒总体积进行近似计算时，我们的思路是在每个模型使用微积分的方法求得单个纳米颗粒体积的计算公式。

利用所得计算公式求得所有纳米颗粒的体积，再将所有得到的体积进行加和，得到各模型的纳米颗粒总体积。

最后将所有模型的纳米颗粒总体积进行加权求平均值，进而得到纳米颗粒总体积的估计计算值。

下面以抛物面体模型为例进行模型建立：
图1抛物球体的最大截面图
图1是纳米颗粒近似体抛物球体的最大截面在二维坐标的投影图，如图建立坐标系，其中H 表示纳米颗粒的高度；R 表示纳米颗粒底面的半径；dy 表示在纳米颗粒上所取得的微元体的高度。

根据图1我们可以得到纳米颗粒的最大截面的抛物线方程如下：
22
(1)y H x R
=-
我们取y 为积分变量，它的变化区间为[0,H ]。

我们将旋转抛物面体中相应于[0,H ]上任一小区间[,x x dx +]
的薄片的体积，近似于底半径为x =dy 的扁圆柱体的体积，即体积元素
2
(1)y
dV dy H
R π=-
于是所求旋转抛物面体的体积为：
2
(1)H
y v dy
H
R π=-
⎰ 2
2
2
22
H
H
y
dy dy H
H
S H R R
R
πππ=-==
⎰⎰
由此得到纳米颗粒体积的近似值为2S
H 。

将所提取出N 个纳米颗粒的体积进行加和可以得到纳米颗粒的总体积：
2
1
2N
i
i S
V
H ==∑ 至此我们就找到了以抛物面体近似纳米颗粒而计算的近似公式。

同理按照以上的思想方法，我们可以求得圆锥体模型和椭球体模型的近似公式，分别为：
112N
i i S
V H ==∑
31
2
N
i
i S
V H ==∑
最后我们进行加权求平均值。

我们以V 表示三个模型总体积的平均值，以1w 、2w 及3w 表示为圆锥体模型、抛物面体模型及椭球体模型总体积的权重，得到如下公式：
112233***V w V w V w V =++
最终我们计算得出的V 的值即为我们想要得到的。

五、 模型求解
在上述模型建立之后，下面是我们模型的求解过程:
1. 进入模型的高度数据确定
根据题目中的要求，高度大于或等于5nm 的是纳米颗粒，是需要计算的；而低于5nm 的则是高分子材料自身的结晶结构，不参加计算。

在我们的模型中，我们运用MATLAB 确定满足要求的突起颗粒部分。

其中我们的程序如下：
a =[……]; %表示512×512高度数据矩阵
for i=1:512
for j=1:512
if a(i,j)>=5 disp (a(i,j)) end end end
在上面的程序中，我们把程序进行了改进，其中在操作过程中，a =[……]输入的视具体的矩阵，而本文在写作时考虑到程序的适用范围，故稍作调整，更具有一般性，且容易理解。

通过MATLAB 软件我们共筛选出来的突起部分一共有2498个，详细数据见本文附表。

2. 圆锥体模型体积求解过程
圆锥体模型的求解过程，我们的程序如下：
A=a; %a表示2498个纳米颗粒所组成的行向量
S=15.258789;
v=1/3*S*sum(A) %v表示总体积
圆锥体模型的总体积为
V=1.388420258941648e+005
1
3. 抛物面体模型体积求解过程
和圆锥体模型类似，抛物面模型求解过程如下：
A=a; %a表示2498个纳米颗粒所组成的行向量
S=15.258789;
v=1/2*S*sum(A) %v表示总体积
V=2.082630388412472e+005
抛物面体模型的总体积为
2
4．椭球体模型体积求解过程
第三个模型的程序：
A=a; %a表示2498个纳米颗粒所组成的行向量
S=15.258789;
v=1/2*S*sum(A) %v表示总体积
计算结果为：
V=2.776840517883295e+005
椭球体模型的总体积为
3
5. 总体积确定过程
以上三个模型的结果结果明显存在差异，因此本文考虑采用一种加权平均法来减小这种差异的存在。

对于三种模型的各自权重，我们根据纳米颗粒的高度案范围统计结果进行分析，通过SPASS软件得到的高度个数统计表为：
其中“1”表示高度在5 ～ 10nm之间；
“2”表示高度在10 ～ 15nm之间；
“3”表示高度在15 ～ 20nm之间；
“4”表示高度在20 ～ 25nm之间；
“5”表示高度在25nm以上；
经过分析得到，当高度越低时，纳米颗粒的突起就越接近于抛物线型，即更适用于抛物面模型；当高度越高时，纳米颗粒的突起就越接近于圆锥型，即此时更适用于圆锥模型。

根据统计结果我们作如下的的权重分配，抛物面模型的权重给定为0.5，椭球体模型的权重给定为0.3，圆锥体模型给定为0.2，然后通过加权平均得到加权平均后的
总体积。

_
V =0.2*1V +0.5*2V +0.3*3V
加权平均后的总体积为_
V =2.152051401359554e+005。

六、模型评价
对于一般物体来说，求解物体的体积，尺寸和形状参数的过程，是获取方案中一道常见的工序，体积是一个重要的颗粒三维参数，为人类了解地球资源等十分重要。

本文中的纳米粒子（nanoparticle ），是一种超微粒，即至少在一个维的尺度为1-100nm ～的投入较多，其次由于其自身的数量及限制，手工的测量方法毫无办法。

因此我们选用了精确性、可行性，适应性及实用性较好的计算机识别和计算的模型，这种模型具有更好的可操作性。

我们在建立模型的时候，充分考虑了纳米级的颗粒的表面特点，对于题目问题中所涉及的几点说明进行了详尽的分析，然后设计了一种算法来估算在粗糙的高分子材料表面形成的纳米颗粒的体积。

纳米颗粒的高度、形状等的不确定性给问题的处理有相当的影响。

因此我们通过MATLAB 软件得到需要进行计算的颗粒数目为2498个，并得到了它们的大致高度范围。

在本文的模型中我们考虑把单个颗粒的的形状视为抛物线旋转体结构，再以一到广，在操作过程中本文使用了抛物线旋转体型、圆锥型或者椭圆旋转体型三种模型。

在颗粒体积计算时使用了微积分原理的思想，并给出了模型假设中的各种假设。

本文的优点就在于对纳米颗粒的数学图形化，并建立了纳米颗粒的计算机自动识别流程图。

本文的模型的简单、可行，且估算结果具有相当高的精确性。

同时本文的模型存在显著的缺点： 一、模型假设的绝对性； 二、模型建立的主观性较强。

模型存在的问题在显示应用中是要给与考虑分析的，但是限于时间紧迫，因此我们模型的对问题进行了简化。

七、参考文献
[1] 同济大学应用数学系，高等数学（第五版），北京：高等教育出版社 ，2019 [2] 赵静 但琦， 数学建模与数学实验[M]， 北京：高等教育出版社 ， 2019 [2] 江世宏， MA TLAB 语言与数学实验， 北京：科技出版社 ， 2019
附录：筛选出来的纳米颗粒的高度数据
6.790608 6.265961 5.07358 5.210704 9.872913 12.85386 14.40992 15.28632 15.07169 14.18337 12.71078 10.38564 8.489751
7.774323 6.79657 6.242113 7.112551 7.649123 7.512019 6.367313 6.790608 9.556932
11.23223 10.8924 9.378075 6.933694 5.812856 6.552132 6.444818 5.675732 5.270323 6.665408 7.04697 6.850228 5.973828 5.818818 8.209542 9.753675 10.29025 10.40352 9.92657 8.865351 7.29737 5.061656 5.72939 11.29185 15.00611 16.94969 17.89167 17.82019 17.16432 15.66192 13.31889 10.47507 6.534247 5.914209 9.455579
12.15036 13.66468 14.51127 15.44133 15.78712 15.70962 14.86899
13.11023 11.0951 9.157484 9.413846 9.497313 9.413846 9.497313 9.741751 9.825218 10.15908 10.65392 10.56449 9.968303 8.620913 6.766761 6.581942 7.643161 7.619313 6.754837 5.300133 5.019923 5.580342 5.717466 6.337504 6.880037 6.337504 5.723428 5.878437 5.622075 6.248075 7.058894 7.207942 6.754837 5.550532 5.264361 5.419371 5.168971 8.859389 12.25767 14.06413 14.85706 14.64244 14.01047 12.53192 10.38564 8.913046 8.525522 7.971065 7.750475 8.45398 9.157484 8.769961 7.708742 6.063256 5.395523 9.008437 11.27396 12.61539 12.10863 10.67181 8.233389 5.866513 6.355389 6.254037 5.645923 5.562456 5.783047 5.663809 5.043771 5.496875 8.221465 9.682132 10.30217 10.24851 9.944456 8.966703 7.655085 5.747275 5.180894 10.48699 13.95085 16.06733 17.09278 17.27164 16.61583 14.94649 12.85983 9.759637 5.82478 6.862151 10.06966
12.34114 13.78392 14.71398 15.39364 15.81693 15.65596 14.98823
13.56929 11.38127 9.038246 8.364551 8.531484 8.614951 8.531484 8.781884 8.865351 9.115751 9.700018 9.694056 8.847465 7.756437 5.818818 6.194418 8.269161 9.759637 10.40352 10.12927 8.930932
7.643161 7.619313 7.756437 7.225827 5.771123 6.927732 8.316856
8.358589 7.559694 6.259999 5.109352 5.192818 5.568418 5.872475 5.347828 6.009599 7.005237 6.999275 6.146723 8.143961 11.37531 13.43217 14.40396 14.18933 13.55141 12.16825 10.43929 9.723865 9.503275 9.115751 8.984589 9.688094 9.974265 9.67617 8.614951 6.880037 7.362951 10.3916 12.49019 13.40832 12.81809 11.22626 9.032284 5.920191 5.848628 6.331542 6.063256 5.377637 5.031847 7.589504 9.217103 9.843103 9.872913 9.568856 8.847465 7.70278 6.051332 9.384037 12.50807 14.87495 15.98983 16.17465 15.34594
13.68257 11.42301 8.412246 7.267561 10.38564 12.65712 13.92105
14.76764 15.44729 15.70365 15.54268 14.78552 13.61699 11.7688 8.996513 7.565656 7.738551 7.822018 7.738551 7.899523 7.899523 8.227427 8.728227 8.805732 8.209542 6.862151 5.258399 7.792208 10.20678 11.94766 13.01484 13.07446 11.87611 9.741751 8.626875 8.513599 8.233389 7.279485 5.568418 5.365713 7.595465 8.728227 8.686494 8.054532 6.67137 5.246475 7.17217 7.92337 7.583542 6.736951 5.389561 6.999275 10.40352 12.54981 13.5216 13.65276 13.11023 11.80457 10.67181 10.46314 10.08158 9.705979 9.658284
10.03985 10.24255 9.944456 8.889199 7.249675 5.180894 8.221465
11.17261 13.02676 13.70046 13.28908 11.94766 9.598665 6.659447 5.007999 5.920191 5.741313 7.160247 8.793808 9.598665 9.640399
9.342303 8.626875 7.494113 6.188456 7.631237 11.18453 13.31293 14.67821 14.95842 14.13567 12.40076 10.23659 7.231789 7.154285 10.27236 12.21594 13.66468 14.68417 15.28036 15.54268 15.29825 14.64244 13.64084 11.88207 9.455579 6.856189 6.778685 6.868113 6.95158 6.874075 6.790608 7.213904 7.720665 7.887599 7.303332 6.206342 6.599828 10.36775 13.12215 15.36979 16.10906 15.83482 14.80341 12.93733 10.98183 10.03388 9.419808 8.471865 7.106589
6.623675 8.436094 9.074018 8.948818 8.155884 6.856189 5.997675
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