高考数学 试题汇编 第二节 等差数列 理(含解析)

高考数学试题汇编第二节等差数列理（含解析）
有关等差数列通项、前n项和的基本运算
考
向聚焦高考常考内容,主要是以选择、填空题形式考查a 1、n、d、a n、S n的基本运算问题,即
“知三求二”,难度较低,分值占5分左右
备
考
指
津
要熟记等差数列的通项公式、求和公式,运算时注意方程思想与整体思想的运用1.(2012年全国大纲卷,理5,5分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,a5=5,S5=15,则数列{}的前100项和为( )
(A) (B)(C)(D)
解析:由等差数列的通项公式和前n项和公式,得
a5=a1+4d=5①
S5=5a1+10d=15②
解得d=1,a1=1.∴a n=a1+(n-1)d=n
∴==-.
∴数列{}的前100项和为
T100=(-)+(-)+(-)+…+(-)
=1-=.
答案:A.
2.(2012年辽宁卷,理6,5分)在等差数列{a n}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和
S11=( )
(A)58 (B)88 (C)143 (D)176
解析:{a n}成等差数列,a4+a8=a1+a11=16,S11===88.故选B.
答案:B.
3.(2011年大纲全国卷,理4)设S n为等差数列{a n}的前n项和,若a1=1,公差d=2,S k+2-S k=24,则k等于( )
(A)8 (B)7 (C)6 (D)5
解析:S k+2-S k=a k+2+a k+1
=a1+(k+2-1)d+a1+(k+1-1)d
=2a1+(2k+1)d=2×1+(2k+1)×2=4k+4=24,
∴k=5.故选D.
答案:D.
4.(2011年天津卷,理4)已知{a n}为等差数列,其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,S n为{a n}的前n项和,n∈N*,则S10的值为( )
(A)-110 (B)-90 (C)90 (D)110
解析:∵等差数列{a n}的公差d=-2,
∴a3=a1+2d=a1-4,a7=a1+6d=a1-12,
a9=a1+8d=a1-16,
又=a3·a9,
∴(a1-12)2=(a1-4)(a1-16),
解得a1=20.
∴S10=10×20+×10×9×(-2)=110.
故选D.
答案:D.
5.(2011年四川卷,理8)数列{a n}的首项为3,{b n}为等差数列且b n=a n+1-a n(n∈N*).若
b3=-2,b10=12,则a8等于( )
(A)0 (B)3 (C)8 (D)11
解析:设等差数列{b n}的公差为d,
∴
解得∴b n=2n-8.
由b n=a n+1-a n,得a n+1-a n=2n-8.
相加得a8-a1=2(1+2+…+7)-56=56-56=0.
∴a8=a1=3.故选B.
答案:B.
6.(2010年福建卷,理3)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=-11,a4+a6=-6,则当S n取最小值时,n等于( )
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
解析:设等差数列{a n}的公差为d.
∵a1=-11,∴a4+a6=2a1+8d=-22+8d=-6,
∴d=2.
后续有两种解法:
法一:注意到a1=-11<0,d>0.
数列{a n}为:-11,-9,-7,-5,-3,-1,1,…
∴S6最小.故选A.
法二:S n=n2+(a1-)n=n2-12n
=(n-6)2-36,(n∈N*),
∴n=6时,S n有最小值.故选A.
答案:A.
7.(2012年广东卷,理11,5分)已知递增的等差数列{a n}满足a1=1,a3=-4,则
a n= .
解析:设公差为d,a1=1,a1+2d=(a1+d)2-4,
解得:d2=4.
又{a n}是递增的等差数列,∴d=2.
∴a n=a1+(n-1)d=2n-1.
答案:2n-1
8.(2011年湖南卷,理12)设S n是等差数列{a n}(n∈N*)的前n项和,且a1=1,a4=7,则
S5= .
解析:设等差数列{a n}的公差为d,由a4=7得a1+3d=7,又∵a1=1,∴d=2,∴a5=a1+4d=9,
∴S5===25
答案:25
9.(2011年广东卷,理11)等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,a k+a4=0,则
k= .
解析:S9=a1+a2+a3+a4+a5+…+a9,
即S9=S4+a5+…+a9,
又S9=S4,
∴a5+a6+a7+a8+a9=0,
又a5+a9=a6+a8=2a7,
∴5a7=0,
∴a7=0,则公差d==-,
又a k+a4=0,
∴[a1+(k-1)d]+[a1+3d]=0,即
[1+(k-1)(-)]+[1+3×(-)]=0,
∴k=10.
答案:10
10.(2010年浙江卷,理15)设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n,满足S5S6+15=0,则d的取值范围是.
解析:由S5S6+15=0可得2+9a1d+10d2+1=0,(*)
由存在实数a1,使(*)式成立,
∴Δ=81d2-8(10d2+1)≥0,
解得d≤-2或d≥2.
答案:d≤-2或d≥2
在推出2+9a1d+10d2+1=0后,由于存在a1满足此式,所以可以把它看成关于a1的一元二次方程有解,由Δ≥0得d的取值范围.这体现了方程思想的运用.
11.(2012年湖北卷,理18,12分)已知等差数列{a n}前三项的和为-3,前三项的积为8.
(1)求等差数列{a n}的通项公式;
(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|a n|}的前n项和.
解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,则a2=a1+d,a3=a1+2d,
由题意得
解得或
所以由等差数列通项公式可得
a n=2-3(n-1)=-3n+5,或a n=-4+3(n-1)=3n-7.
故a n=-3n+5,或a n=3n-7.
(2)当a n=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列;
当a n=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.
故|a n|=|3n-7|=
记数列{|a n|}的前n项和为S n.
当n=1时,S1=|a1|=4;
当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;
当n≥3时,S n=S2+|a3|+|a4|+…+|a n|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)
=5+=n2-n+10.
当n=2时,满足此式.
综上,S n=
等差数列性质的应用
考向
高考热点内容,多以选择、填空形式考查等差数列的性质,难度低档,分值占5分左右聚焦
12.(2012年重庆卷,理1,5分)在等差数列{a n}中,a2=1,a4=5,则{a n}的前5项和S5等于( )
(A)7 (B)15 (C)20 (D)25
解析:S5====15.故选B.
答案:B.
13.(2012年福建卷,理2,5分)等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:∵a1+a5=2a3=10,
∴a3=5,∴d=a4-a3=2.故选B.
答案:B.
14.(2012年浙江卷,理7,5分)设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和,则下列命题错误的是( )
(A)若d<0,则数列{S n}有最大项
(B)若数列{S n}有最大项,则d<0
(C)若数列{S n}是递增数列,则对任意n∈N*,均有S n>0
(D)若对任意n∈N*,均有S n>0,则数列{S n}是递增数列
解析:C项错误,因为{S n}是递增数列时,数列{a n}的第一项可以是负值,第二项是正值,此时S1<0,故选C.
答案:C.
15.(2010年大纲全国卷Ⅱ,理4)如果等差数列{a n}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于( )
(A)14 (B)21 (C)28 (D)35
解析:∵a3+a4+a5=12,
∴a4=4,则a1+a2+…+a7=7a4=28,故选C.
答案:C.
16.(2012年江西卷,理12,5分)设数列{a n},{b n}都是等差数列.若a1+b1=7,a3+b3=21,则
a5+b5= .
解析:本题考查等差数列的性质及整体代换的数学思想.
设数列{a n},{b n}的公差分别为d1,d2,
因为a3+b3=(a1+2d1)+(b1+2d2)
=(a1+b1)+2(d1+d2)=7+2(d1+d2)=21,
所以d1+d2=7,
所以a5+b5=(a3+b3)+2(d1+d2)=21+2×7=35.
答案:35
17.(2012年北京卷,理10,5分)已知{a n}为等差数列,S n为其前n项和,若a1=,S2=a3,则
a2= ;S n= .
解析:设公差为d,则由S2=a3,
∴2a1+d=a1+2d,
∴a1=d.
又∵a1=,∴d=.
∴a2=a1+d=1.
S n=n+n(n-1)·==.
答案:1
18.(2011年重庆卷,理11)在等差数列{a n}中,a3+a7=37,则a2+a4+a6+a 8= . 解析:由等差数列性质得
a2+a4+a6+a8=2(a3+a7)=2×37=74.
答案:74
与等差数列有关的综合问题
考
向聚焦一般围绕等差数列的通项公式、前n项和公式和有关性质的基本运算,结合函数、方程及不等式等知识综合命题,多以解答题形式出现,难度中低档,分值一般为12分
19.(2011年湖北卷,理13)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升.下面3节的容积共4升.则第5节的容积为升.
解析:设自上而下各节容积成等差数列的公差为d,首节容积为a1,则由已知得
,
∴解得.
∴第5节容积为a1+4d=.
答案:
20.(2011年陕西卷,理14)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为米.
解析:将20个树坑依次编号为1,2,…,20,将树苗集中放在n号树坑旁,其中1≤n≤20(n∈N*),由m号(1≤m≤20)(m∈N*),树坑到n号树坑的往返路程为2×10×|n-m|,所以总路程
S=20[(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+2+1+0+1+2+…+(20-n)]
=20[+]
=20(n2-21n+210),
当且仅当n=10或n=11时有S min=20×100=2000(米)
答案:2000
本题实质是在一个新背景下的数列求和问题.
21.(2011年大纲全国卷,理20)设数列{a n}满足a1=0且-=1.
(1)求{a n}的通项公式;
(2)设b n=,记S n=b k,证明:S n<1.
(1)解:∵-=1,
∴{}为等差数列且首项为=1,公差d=1,
∴=1+(n-1)·1=n,∴a n=1-.
(2)证明:∵a n=1-,
∴b n===
=-,
∴S n=b k=(-)+(-)+…+(-)
=1-<1,
∴S n<1.
22.(2010年山东卷,理18)已知等差数列{a n}满足:a3=7,a5+a7=26,{a n}的前n项和为S n.
(1)求a n及S n;
(2)令b n=(n∈N*),求数列{b n}的前n项和T n.
解:(1)设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d.
由于a3=7,a5+a7=26.
所以a1+2d=7,2a1+10d=26.解得a1=3,d=2.
所以a n=a1+(n-1)d=2n+1,
S n=na1+d=n2+2n.
(2)因为a n=2n+1.
所以-1=(a n-1)(a n+1)=4n(n+1),
因此b n==(-).
故T n=b1+b2+…+b n
=[(1-)+(-)+…+(-)]
=(1-)=.
所以数列{b n}的前n项和T n=.。