【名师版】衡水独家秘笈之2019高中期末复习 专题四 函数单调性的应用面面观

衡水独家秘籍之2019高中期末复习
专题四函数单调性的应用面面观
【方法综述】
函数单调性的应用，主要有比较函数值大小、解不等式、求参数的取值范围（值）、求函数的最值（值域）等，下面举例说明.
一、比较函数值大小
例1.设函数满足，且是上的增函数，则，，的大小关系是（）
A. B. C. D.
解：根据，可得函数的图像关于直线对称，结合是上的增函数，可得函数是的减函数，利用幂函数和指数函数的单调性，可以确定，所以
，即，故选A.
解题策略：(1)利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而变大；
(2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间．
二、解不等式
例2.已知函数，则不等式的解集是__________．
解：当时，，
在上递增，
由，
可得或，
解得或，即为或，
即，即有解集为，故答案为.
解题策略：(1)利用单调性解不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，推出两个变量的大小关系，然后去解不等式．
(2)利用单调性解不等式时应注意函数的定义域，即首先考虑使给出解析式有意义的未知数的取值范围．
(3)利用单调性解不等式时，一定要注意变量的限制条件，以防出错．
三、求参数的取值范围（值）
例3.已知a >0，函数f (x )＝x 3
－ax 是区间[1，＋ )上的单调函数，求实数a 的取值范围． 解：任取x 1，x 2∈[ ，＋ )，且x 1<x 2， 则Δx ＝x 2－x 1>0.
Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝(x 3
2－ax 2)－(x 3
1－ax 1) ＝(x 2－x 1)(x 2
1＋x 1x 2＋x 22－a )． ∵ ≤x 1<x 2，∴x 2
1＋x 1x 2＋x 2
2>3.
显然不存在常数a ，使(x 2
1＋x 1x 2＋x 2
2－a )恒为负值． 又f (x )在[1，＋ )上是单调函数，
∴必有一个常数a ，使x 2
1＋x 1x 2＋x 2
2－a 恒为正数， 即x 2
1＋x 1x 2＋x 2
2>a .
当x 1，x 2∈[ ，＋ )时，x 2
1＋x 1x 2＋x 2
2>3， ∴a ≤ .此时，∵Δx ＝x 2－x 1>0，∴Δy >0， 即函数f (x )在[1，＋ )上是增函数， ∴a 的取值范围是(0,3]．
四、利用函数单调性求函数的最值（值域）
例4．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a
x
，x ∈[ ，＋ )．
(1)当a ＝4时，求f (x )的最小值； (2)当a ＝1
2时，求f (x )的最小值；
(3)若a 为正常数，求f (x )的最小值．
解：(1)当a ＝4时，f (x )＝x ＋4
x
＋2，易知，f (x )在[1,2]上是减函数，在[2，＋ )上是增函数，
∴f (x )min ＝f (2)＝6.
(2)当a ＝12时，f (x )＝x ＋1
2x ＋2.
易知，f (x )在[1，＋ )上为增函数． ∴f (x )min ＝f (1)＝7
2
.
(3)函数f (x )＝x ＋a x
＋2在(0，a ]上是减函数， 在[a ，＋ )上是增函数．
若a >1，即a >1时，f (x )在区间[1，＋ )上先减后增，
∴f (x )min ＝f (a )＝2a ＋2.
若a ≤ ，即0<a ≤ 时，f (x )在区间[1，＋ )上是增函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.
例5.
函数y x =( )
A. )
1⎡++∞⎣
B. )+∞
C. )
+∞ D. (1,)+∞
解：由()2
22312x x x -+=-+， 得x R ∈ ，
当1x ≥
时，函数y x =
1y x ≥=当1x ≤
时，由y x =
0y x =-≥
两边平方整理得得2
223y x y -=-（）， 从而1y ≠ 且23
22
y x y --＝ ．
由22123y x y -≤-＝，得y R ∈ ，由223233
0022232
y y y y x y y y y --+--≥⇒≥⇒>--＝．
所以3
2
y >
． 综上，所求函数的值域为(1,)+∞.选D
【针对训练】
1.函数()()2
11f x mx m x =+-+在区间上为减函数，则的取值范围（ ）
A ．⎥⎦
⎤ ⎝
⎛31,0B ． C ． D.⎪⎭
⎫ ⎝
⎛31,0
【答案】C 【解析】
当0m =时，()1f x x =-，满足在区间(],1-∞上为减函数，当0m ≠时，由于
()()211f x mx m x =+-+的图象对称轴为12m
x m
-=，且函数在区间(],1-∞上为减函数，0
112m m
m
>⎧⎪
∴-⎨≥⎪⎩，求得103m <≤，故选C. 2.已知函数()22,1
{ 2,1
a x f x x
x x x +>=-+≤在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） ]1,(-∞m ⎪⎭
⎫⎢⎣⎡31,010,3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
A . [)1,-+∞
B . ()1,-+∞
C . [)1,0-
D . ()1,0-
【答案】C
【解析】根据题意,函数()22,1
{ 2,1
a x x x
x x x +>=-+≤在R 上单调递增,且f (1)=−(−1)2+2x =1， 则有0{
21
a a <+…，解可得−1⩽a <0；
故选：C .
3．已知 是定义在 上的减函数，则 的取值范围是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
因为 为定义在 上的减函数，
∴
， 解得
∴ 的取值范围为
．
故答案为： ．
4.定义新运算⊕ ：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，则函数
()()()[]12,2,2f x x x x x =⊕-⊕∈-的最大值等于（ ）
A. 1-
B. 1
C. 6
D. 12 【答案】C
【解析】解：由题意知
当- ≤x≤ 时，f （x ）=x-2，当1＜x≤ 时，32f x x =-（
）， 又∵f （x ）=x-2，32f x x =-（
）在定义域上都为增函数，∴f （x ）的最大值为f （2）=322-=6． 故选C ．
5. 定义一种运算，令t x x x x f -⊗-+=)23()(2
(t 为常数) ,且[]3,3-∈x ，则
使函数)(x f 的最大值为3的t 的集合是 ( )
A ．{}3,3-
B ．{}5,1-
C ．{}1,3-
D ．{}5,3,1,3--
⎩⎨⎧>≤=⊗b
a b b a a b a ,,
【答案】C 【解析】
函数[]2
32,3,3y x x x =+-∈-的图像开口向下,对称轴为1x =.当[]2
32,3,3y x x x =+-∈-最大
值为3时,即2323x x +-=解得2x =或0x =． 根据定义可知,要使函数()f x 最大值为3,
2x =时,223,1t t t -=-=∴=-;当0x =时,003t t t -=-==.所以1t =-或3t =.
6.已知定义在 上的函数 满足① 在 上为增函数;若
时， 成立，则实数 的取值范围为__________． 【答案】 . 【解析】
根据题意，可知函数 的图像关于直线 对称， 因为其在 上为增函数，则在 上是减函数， 并且距离自变量离1越近，则函数值越小，
由 可得， ，化简得 ， 因为
，所以 ，
所以该不等式可以化为 ， 即不等式组
在 上恒成立，
从而有
，解得 ，故答案为 . 7.定义：函数 在区间 上的最大值与最小值的差为 在区间 上的极差，记作 . ①若 ，则 ________；
②若
，且 ，则实数 的取值范围是________. 【答案】 1 ，
【解析】①由题意知f(x)= ， ，所以 ，所以 .
②当 时，函数f(x)在区间（0， ）单调递减，在区间 上单调递增，要满足 ，只需 ，所以
当m 时，函数f(x)在区间 上单调递增，不满足. 综上所述， .填 ， .
8.已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是增函数，且f (t －1)<f (1－2t )，求实数t 的取值范围．
【答案】0<t <2
3
【解析】依题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧
－1<t －1<1，－1<1－2t <1，
t －1<1－2t ，
解得0<t <2
3
.
9.函数
的定义域为 （ 为实数）.
（1）若函数 在定义域上是减函数，求 的取值范围； （2）若 在定义域上恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 【解析】
（1）任取 且 ， 则有
，
即 恒成立，所以
（2）
恒成立
∵
，∴函数 在（ ， 上单调减，
∴ 时，函数取得最小值 ，即 .
10.已知函数 ，满足① ；② ． （ ）求 ， 的值．
（ ）设 ，求 的最小值． 【答案】（ ） ， ；（ ）
． 【解析】
（ ） ，
，
又 ， ∴ ， ∴
， 又 ， ∴ ， ． （ ） ， ∴
，
时，，
此时在上单调递增，
∴，
时，，
在上单调递减，在上单调递增，∴，又，
∴．。