2019九年级数学上册 第22章 22.2 的解法 22.2.4 根的判别式导学案
九年级数学上册 第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 22.2.4 一元二次方程根的判别式
22.2.4 一元二次方程根的判别式知识点 1 不解方程，判断一元二次方程的根的情况1， 因为关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋2＝0中，a ＝________，b ＝________，c ＝________，故Δ＝____________＝________，所以方程的根的情况是______________．2．［2017·宜宾］一元二次方程4x 2－2x ＋14＝0的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断3．不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：(1)16x 2＋8x ＝－3; (2)9x 2＋6x ＋1＝0；(3)3(x 2－1)－5x ＝0; (4)x (2x ＋3)＝4x ＋6.知识点 2 根据方程根的情况确定未知字母的值或取值范围4．［2017·安顺］若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的值可以是( )A ．0B ．－1C ．2D ．－35．如果关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0(c 是常数)没有实数根，那么c 的取值范围是________．知识点 3 证明含有字母的一元二次方程根的情况6．［2016·临夏州］已知关于x 的方程x 2＋mx ＋m －2＝0.(1)若此方程的一个根为1，求m 的值；(2)求证：不论m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．7．［2017·包头］若关于x 的不等式x －a 2＜1的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程x2＋ax＋1＝0根的情况是( )A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．无法确定8．［2016·枣庄］若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( )图22－2－39．［教材练习第2题变式］［2017·大庆模拟］关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，给出下列说法：①若a＋c＝0，则方程必有两个实数根；②若a＋b＋c＝0，则方程必有两个实数根；③若b＝2a＋3c，则方程有两个不相等的实数根；④若b2－5ac<0，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是( )A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④10．已知a，b，c为三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(b－c)x2＋2(a－b)x＋b－a ＝0有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状，并说明理由．1．1 1 2 12－4×1×2 －7 没有实数根2．B3．解：(1)将一元二次方程化为一般形式，得16x 2＋8x ＋3＝0.∵a ＝16，b ＝8，c ＝3，∴b 2－4ac ＝64－4×16×3＝－128<0，∴此方程没有实数根．(2)∵a ＝9，b ＝6，c ＝1，∴b 2－4ac ＝36－36＝0，∴此方程有两个相等的实数根．(3)将一元二次方程化为一般形式，得3x 2－5x －3＝0.∵a ＝3，b ＝－5，c ＝－3，∴b 2－4ac ＝(－5)2－4×3×(－3)＝25＋36＝61>0，∴此方程有两个不相等的实数根．(4)将一元二次方程化为一般形式，得2x 2－x －6＝0.∵a ＝2，b ＝－1，c ＝－6，∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×2×(－6)＝49＞0，∴此方程有两个不相等的实数根．4．D5．c ＞9 6．解：(1)根据题意，将x ＝1代入方程x 2＋mx ＋m －2＝0，得1＋m ＋m －2＝0，解得m ＝12. (2)证明：∵Δ＝m 2－4×1×(m －2)＝m 2－4m ＋8＝(m －2)2＋4＞0，∴不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．7．C 8． B9．A10．这个三角形是等腰三角形．理由：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴b －c ≠0，[2(a －b )]2－4(b －c )(b －a )＝0，∴a 2－2ab ＋b 2－(b 2－bc －ab ＋ac )＝0，∴a 2－ab ＋bc －ac ＝0，从而a (a －b )－c (a －b )＝0，∴(a －b )(a －c )＝0，∴a －b ＝0或a －c ＝0，∴a ＝b 或a ＝c ，∴这个三角形是等腰三角形．。
华师大版九年级数学上册22.2.4 一元二次方程根的判别式
A．4
B．－4
C．1
D．－1
9．(2014·益阳)一元二次方程x2－2x＋m＝0总有实数根，则m应
满足的条件是( )D A．m>1 B．m＝1
C．m<1 D．m≤1
10．对于方程x2＋5x＋m＝0，其判别式Δ＝__2_5_－__4_m____，当 m有_两<_2_4个5__相时等，的方实程数有根两；个当不m相_>_等2_45_的__实时数，根方；程当没m有_＝_实_24_5数_时根，．方程 11．如果关于x的方程x2－x＋k＝0(k为常数)有两个实数根，那 么k的取值范围是___k_≤_14_____．
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
4．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是( B )
A．x2＋6＝0
B．4x2－4x＋1＝0
C．x2－x＋2＝0 D．x2－2x－3＝0
5．一元二次方程x2－3x－5＝0的根的情况为
______有__两__个__不__相__等__的__实__数__根________________．
6．不解方程，判定下列一元二次方程根的情况． (1)9x2＋6x＋1＝0； 解：∵a＝9，b＝6，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝36－36＝0.∴此方程有 两个相等的实数根 (2)16x2＋8x＝－3； 解：化为一般形式为：16x2＋8x＋3＝0.∵a＝16，b＝8，c＝3， ∴Δ＝b2－4ac＝64－4×16×3＝－128<0.∴此方程没有实数根 (3)3(x2－1)－5x＝0. 解：化为一般形式为：3x2－5x－3＝0.∵a＝3，b＝－5，c＝－3， ∴Δ＝(－5)2－4×3×(－3)＝25＋36＝61>0.∴此方程有两个不相等 的实数根
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 根的判别式》精品课件_1
根的判别式情况
写出根
根的情况
△＞0 △＝0 △＜0
x1 = -b +
b 2 - 4ac 2a
x2 = -b -
b 2 - 4ac 2a
-b? 0 b
x1 =x2 =
2a
=2a
方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根
b 2 - 4ac ＜0 x1,x2不存在 方程没有实数根
你能迅速判断下列方程根的情况吗？ （1）x2 + 3x +2=0 （2）x2 - 4x + 4=0 （3）x2 + 2x + 3=0
判断方没程有化根成一的般形情式况： 3x2 + 5x =4
解：化为一般形式，得
解：∵a=3，b=5，c=4 3x2 + 5x -4=0
∴ △=52-4×3×4 = 25-48 =-24＜0
∵a=3，b=5，c=-4 ∴ △=52-4×3×（-4）
= 25+48 =73＞0
∴方程没有实数根 ∴方程有两个不相等的实数根
选做题：
说明不论ｋ取何值，关于x的方程x2＋(2ｋ＋１)x＋ｋ－１＝0.
总有两个不相等的实根
A．x2＋1＝0
B. x2+x-1＝0
C. x2+2x＋3＝0 D. 4x2-4x＋1＝0
2、关于x的一元二次方程kx2-6x+1=0有两个
不相等的实数根，则k的取值范围是( D )
A.k＜9 C. k≤9且且k≠0
B.k ＞9 D. k<9且k≠0
必做题：
1、不解方程判定下列方程根的情况 （1）2x-x2-2=0 （2）4（y2－y）+1＝0 2、当k取何值时，关于x的方程x2-（2k+1）x+k2=2没有实数根？
22.2.4根的判别式
2.确定a、b、c
３.求出 b 看
4ac 2 b 4ac 是否大于等于０
2
４.代入求根公式求解
温故而知新
一元二次方程 ax bx c 0 a 0
2
的求根公式是：
b b 4ac x 2a
2
b b 4ac (a 0) x 2 2a 4a
a x 2 + b x 不等的实数根，那么
b 4ac 0;
2
2
如果方程有两个相等的实数根，那么
b 4ac 0;
如果方程没有实数根，那么
b 4ac 0.
2
1：按要求完成下列表格：
方程
2 y 2 4 y 2( x 1) x 0 2 x 3x 1 0
一 1、化为一般式，确定 a、b、c的值. 般
步
所以，方程有两个相等的实数根。
2、计算 的值，确定 的符号.
骤： 3、判别根的情况，得出结论.
你会了吗？来练一下吧！ 我相信你肯定行！
练习：不解方程，判别下列方程的根的情况：
1 2 (1) x 3x 8； 4 2 (2)5 t 1 7t 0.
2 2
2
Δ的值
0
15 0
17 0
根的 有两个相等 没有实 有两个不相 等的实数根 情况 的实数根 数根
2 : 不解方程，判别方程
的根的情况.
2
4 y 1 4 y
2
(4) 4 4 1 0
2
a 4, b 4, c 1
解：4 y 4 y 1 0
系数 含有 字母 的方 程
4.不解方程，判别关于 x 的方程
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 根的判别式》公开课教案_3
一元二次方程根与系数的关系55号教学目标：（一）知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。
（二）过程与方法：经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。
（三）情感态度：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。
教学重点：根与系数关系及运用教学难点：定理的发现及运用。
教学过程：一、 创设情境，激发探究欲望我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理。
那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？探究规律 先填空，再找规律：思考：观察表中1x +2x 与1x .2x 的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？ 二、 得出定理并证明（韦达定理）若一元二次方程a 2x +bx+c=0（a ≠0）的两根为1x 、2x ，则1x +2x = -b a 1x . 2x =ca特殊的：若一元二次方程2x +px+q=0的两根为1x 、2x ，则1x +2x =-p 1x . 2x =q证明此处略（师生合作完成） 三、 运用定理解决问题练习：不解方程说出下列方程的两根的和与两根的积各是多少？⑴ X 2－3X+1=0 ⑵ 3X 2－2X=2 ⑶ 2X 2+3X=0 ⑷ 3X 2=1 1.已知方程x 2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值.2.方程2x 2-3x+1=0的两根记作x 1,x 2，不解方程，求：进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用。
3.（2013•荆州）已知：关于x 的方程kx 2－(3k －1)x +2(k －1)=0（1）求证：无论k 为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x 1，x 2, 且│x 1－x 2│=2,求k 的值. 四、 课堂小结：让学生谈谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？等，教师可适当引导和点拨。
华东师大版九年级数学上册22.2.4一元二次方程根的判别式
华东师大版九年级数学上册22.2.4一元二次方程根的判别式 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．因为关于x 的一元二次方程220x x =＋＋中，a = ________，b = ________，c = ________，故∆=____________＝________，所以方程的根的情况是______________． 2．如果关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+c=0（c 是常数）没有实根，那么c 的取值范围是 ．二、单选题3．一元二次方程4x 2﹣2x+14=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断 4．若关于 x 的方程 x 2+mx+1＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可以是（ ） A ．0 B ．﹣1 C ．2 D ．﹣3 5．若关于x 的不等式12a x -<的解集为1x <，则关于x 的一元二次方程210x ax =＋＋根的情况是( ) A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定6．若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根，则一次函数 y kx b =+的图象可能是:A ．B ．C ．D ．7．关于x 的一元二次方程()200ax bx c a =≠＋＋，给出下列说法：①若0a c =＋，则方程必有两个实数根；②若0a b c =＋＋，则方程必有两个实数根；③若23b a c =＋，则方程有两个不相等的实数根；④若250b ac <－，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④三、解答题8．不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：(1)21683x x =-＋; (2)29610x x =＋＋；(3)2()3150x x =－－; (4)()2346x x x =＋＋.9．已知关于x 的方程x 2+mx+m-2=0.(1)若此方程的一个根为1,求m 的值；(2)求证：不论m 取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.10．已知a b c ，，为三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程2()2(0)b c x a b x b a -+-+-=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状，并说明理由．参考答案1．1 1 2 21412⨯⨯－ －7 没有实数根【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式直接填空即可．根据判别式△=b 2-4ac 进行计算即可解得．【详解】解：关于x 的一元二次方程220x x =＋＋中，二次项系数a =1，一次项系数b =1，常数项c =2，故24b ac ∆=-=21412⨯⨯－=-7，因为0∆＜，所以方程没有实数根.故答案为：1；1；2；21412⨯⨯－；-7；没有实数根.【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根的判别式△=b 2-4ac ．也考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的定义．一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c =0（a ，b ，c 是常数且a ≠0）特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2．c ＞9【分析】根据关于x 的一元二次方程没有实数根时△＜0，得出△=（-6）2-4c ＜0，再解不等式即可．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2-6x+c=0（c 是常数）没有实根，∴△=（-6）2-4c ＜0，即36-4c ＜0，解得：c ＞9．故答案为c ＞9．3．B【详解】试题解析：在方程4x 2﹣2x+ =0中，△=（﹣2）2﹣4×4×14 =0， ∴一元二次方程4x 2﹣2x+14=0有两个相等的实数根． 故选B ．考点：根的判别式．4．D【解析】试题解析：∵a=1，b=m ，c=1，∴△=b 2﹣4ac=m 2﹣4×1×1=m 2﹣4，∵关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根，∴m 2﹣4＞0，则m 的值可以是：﹣3，故选D ．考点：根的判别式．5．C【解析】试题解析：解不等式12a x -<得x ＜12a +，而不等式12a x -<的解集为x ＜1，所以12a +=1，解得a =0，又因为△=24a -=﹣4，所以关于x 的一元二次方程210x ax ++=没有实数根．故选C ．点睛：本题考查了根的判别式：一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的根与△=24b ac -有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．6．B【详解】由方程2210x x kb ++=-有两个不相等的实数根,可得()4410kb =-+＞，解得0kb ＜，即k b 、异号，当00k b ＞，＜时，一次函数y kx b =+的图象过一三四象限，当00k b ＜，＞时，一次函数y kx b =+的图象过一二四象限，故答案选B.7．A【解析】【分析】利用c =-a 可判断△=b 2+4a 2＞0，从而根据判别式的意义可对①进行判断；利用c =-（a +b ）得到△=b 2-4ac =（2a +b ）2≥0，则可根据判别式的意义对②进行判断；利用b =2a +3c 得到△=4（a +c ）2+5c 2＞0，则可根据判别式的意义对③进行判断；由于b 2-5ac ＜0，不能判断△=b 2-4ac =b 2-5ac +ac 与0的大小关系，则可根据判别式的意义对④进行判断．【详解】解：①当a +c =0，即c =-a ，则△=b 2-4ac =b 2+4a 2＞0，方程必有两个不相等的实数根，所以①正确；②当a +b +c =0，即c =-（a +b ），则△=b 2-4ac =b 2+4a （a +b ）=（2a +b ）2≥0，方程必有两个实数根，所以②正确；③当b =2a +3c ，则△=b 2-4ac =（2a +3c ）2-4ac =4（a +c ）2+5c 2＞0，方程必有两个不相等的实数根，所以③正确；④当b 2-5ac ＜0，△=b 2-4ac =b 2-5ac +ac 可能大于0，所以不能判断方程根的情况，所以④错误．故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．8．（1）此方程没有实数根；（2）此方程有两个相等的实数根；（3）此方程有两个不相等的实数根；（4）此方程有两个不相等的实数根．【解析】【分析】（2）直接计算根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况；（1）、（3）、（4）先把方程整理为一般式，再计算根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况．【详解】解：(1)将一元二次方程化为一般形式，得216830x x =＋＋.∵1683a b c ===，，，∴△=246441631280b ac =-⨯⨯=-<-，∴此方程没有实数根．(2)∵961a b c ===，，，∴△=2436360b ac =-=-，∴此方程有两个相等的实数根．(3)将一元二次方程化为一般形式，得23530x x -=-.∵353a b c ==-=-，，，∴△=224543325366()(1)0b ac =⨯⨯==>－－－－＋，∴此方程有两个不相等的实数根．(4)将一元二次方程化为一般形式，得2260x x =－－.∵216a b c ==-=-，，，∴△=22414264)()9(0b ac =⨯⨯-=-->-，∴此方程有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 9．（1）12；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． （1）直接把x=1代入方程x 2+mx+m ﹣2=0求出m 的值；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．解：（1）根据题意，将x=1代入方程x 2+mx+m ﹣2=0，得：1+m+m ﹣2=0，解得：m=12； （2）∵△=m 2﹣4×1×（m ﹣2）=m 2﹣4m+8=（m ﹣2）2+4＞0，∴不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．考点：根的判别式；一元二次方程的解．10．等腰三角形.【解析】【分析】由方程有两个相等的实数根可得其判别式等于0，整理可求得a 、b 、c 的关系，则可判断三角形的形状．【详解】解：这个三角形是等腰三角形．理由：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴2[()](24)()0a b b c b a ----=，0b c -≠，∴222()20a ab b b bc ab ac +-+--=-，∴20a ab bc ac +-=-，从而(()0)a a b c a b ---=，∴()0()a b a c --=，∴0a b -=或0a c -=，∴a b =或a c =，∴这个三角形是等腰三角形．【点睛】本题主要考查根的判别式，由根的情况求得判别式为0，从而求得a 、b 、c 的关系是解题的关键．。
22.2.4 一元二次方程根的判别式-2021-2022学年九年级数学上(华师大版)
22.2.4一元二次方程根的判别式基础知识1.一元二次方程根的判别式△=b 2-4ac 叫做一元二次方程02=++c bx ax （c b a a 、、,0≠是常数）的根的判别式。
2、△>0⇔有两个不相等的实数根; △=0⇔有两个相等的实数根; △<0⇔没有实数根; △≥0⇔有实数根.【提醒】应用根的判别式时,其前提条件为二次系数不为0.不解方程，判断方程根的情况时，须做到：(1)明确方程是常数系数方程还是字母系数；(2)确定二次方程中的a ，b ，c ；(3)求出b 2－4ac 的值，利用判别式的性质进行判断． 例题例1．已知：关于x 的方程2230x kx k ++-=．（1）试说明无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根： （2）若5k =，请解此方程． 【答案】见解析；（2）x 1＝12-，x 2=-2【分析】（1）由△=k 2-4×2（k -3）=k 2-8k +24=（k -4）2+8＞0可得结论； （2）将k =5代入方程得2x 2+5x +2=0，利用配方法解方程即可． 【详解】解：（1）∵△=k 2-4×2（k -3）=k 2-8k +24=（k -4）2+8＞0， ∴无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）当k =5时，原方程为：2x 2+5x +2=0， ∴（2x +1）（x +2）=0， ∴x 1=12-，x 2=-2．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根；也考查了配方法．例2．关于x 的一元二次方程2320mx x -+=有两个实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此时方程的根．【答案】（1）98m ≤且0m ≠；（2）11x =，22x =【分析】（1）根据一元二次方程的定义及根的判别式列不等式组求解即可； （2）根据（1）得到m 的值，求出方程的解． 【详解】解：（1）∵2=(3)42m ∆--⨯=98m -，依题意，得0980m m ≠⎧⎨-≥⎩，解得98m ≤且0m ≠． （2）∵m 为正整数， ∴1m =．∴原方程为2320x x -+=． 解得11x =，22x =．【点睛】此题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握本章知识并应用解决问题是解题的关键． 练习1．下列一元二次方程中,没有实数根的是（ ） A ．2210x x -+= B ．2210x x -+= C ．2210x x --=D ．220x x -=2．已知关于x 的方程2230ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．13a >-B ．13a <-C ．13a >-且0a ≠D ．13a ≥-且0a ≠3．如果关于x 的一元二次方程()222110k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．14k >-B ．14k >-且0k ≠C ．14k <-D ．14k ≥-且0k ≠4．一元二次方程4x 2＋1＝﹣4x 的根的情况是（ ） A ．只有一个实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根5．关于x 的一元二次方程()2220x p x p -++=的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个实数根D ．无实数根6．一元二次方程2414x x +=的根的情况是______．7．如果关于x 的一元二次方程()21230k x kx k -+++=有实数根，则k 的取值范围是______________．8．若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x 的方程260x x n -+=的两个根，则n 的值为______．9．已知m 、n 、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m 、n 是关于x 的一元二次方程2620x x k -++=的两个根，则k 的值等于______________．10．若关于x 的方程221(56)(3)04m m x m x -+--+=无解，则m 的取值范围是______． 11．已知关于x 的一元二次方程210x x m -+-=有两个实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若此方程的一个实数根为1，求m 的值及方程的另一个实数根．12．已知关于x 的一元二次方程0222=++-k x x ． （1）若6k =-，求此方程的解；（2）若该方程无实数根，求k 的取值范围．13．已知：关于x 的一元二次方程2(1)210(1)m x mx m m --++=>． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m 为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数．14．已知关于x 的方程x 2﹣2mx +m 2﹣1＝0．（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根； （2）若x ＝2是该方程的一个根，求代数式﹣3m 2+12m +2021的值．15．已知正方形ABCD 的对角线AC ，BD 的长是关于x 的方程202m x mx的两个实数根．（1）求m 的值； （2）求正方形的面积．参考答案1．A 【分析】根据一元二次方程根的判别式24b ac ∆=- 逐个求解即可． 【详解】A ､224(1)42170b ac ∆=-=--⨯⨯=-<,没有实数根,故A 正确;B ､224(2)4110b ac ∆=-=--⨯⨯=,有两个相等的实数根,故B 不正确;C ､224(1)42(1)90b ac ∆=-=--⨯⨯-=>,有两个不相等的实数根,故C 不正确;D ､224(2)41040b ac ∆=-=--⨯⨯=>,有两个不相等的实数根,故D 不正确． 故选:A ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式24b ac ∆=-,解题的关键是熟练运用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况． 2．C 【分析】根据一元二次方程解的情况利用根的判别式可求出a 的取值范围，同时必须考虑0a ≠的情况． 【详解】解：关于x 的方程2230ax x +-= 有两个不相等的实数根，240b ac ∴->，即224(3)0a -⨯⨯->， 解得：13a >-，又a 是二次项系数，0a ∴≠，综上：a 的取值范围为：13a >-且0a ≠，故选：C ． 【点睛】本题主要考查根据一元二次方程根的情况运用根的判别式求参，熟知（1）240b ac ->，方程有两个不相等的实数根；（2）24=0b ac -，方程有两个相等的实数根；（3）24＜0b ac ，方程无根，是解题关键．3．B 【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b 2-4ac ＞0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围． 【详解】解：关于x 的一元二次方程()222110k x k x -++=有两个不相等的实数根，∴△＞0，△=b 2-4ac =（2k +1）2-4k 2=4k +1＞0．又∵方程是一元二次方程， ∴k ≠0，∴k ＞14-且k ≠0．故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 4．C 【分析】把方程化为一般形式，计算其判别式，即可求得答案． 【详解】解：方程4x 2+1=-4x 化为一般形式为4x 2+4x +1=0， ∴Δ=42-4×4×1=0， ∴该方程有两个相等的实数根， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． 5．C 【分析】先计算根的判别式得到△＝[﹣（p +2）]2﹣4×2p ＝（p ﹣2）2，再利用非负数的性质得到△≥0，然后可判断方程根的情况．【详解】解：△＝[﹣（p +2）]2﹣4×2p ＝（p ﹣2）2， ∵（p ﹣2）2≥0， 即△≥0，∴方程有两个实数根． 故选：C ． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 6．有两个相等的实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：由一元二次方程2414x x +=可得：24410x x -+=， ∴24164410b ac ∆=-=-⨯⨯=，∴一元二次方程2414x x +=的根的情况是有两个相等的实数根； 故答案为：有两个相等的实数根． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 7．32k ≤且1k ≠ 【分析】当0≥时，一元二次方程有实数根，结合二次项系数不为0，列出不等式求解即可． 【详解】由题意得2(2)4(1)(3)010k k k k ⎧--+≥⎨-≠⎩，解得32k ≤且1k ≠， 故填：32k ≤且1k ≠． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数取值范围，熟记0≥时，一元二次方程有实数根是解题的关键，注意一元二次方程的二次项系数不等于0． 8．8或9 【分析】分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况：（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于x 的方程260x x n -+=的一个根， 因此有24640-⨯+=n ， 解得8n =，则方程为2680x x -+=，解得另一个根为2x =，此时等腰三角形的三边长分别为2,4,4，满足三角形的三边关系定理；（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于x 的方程260x x n -+=有两个相等的实数根，因此，根的判别式3640n ∆=-=， 解得9n =，则方程为2690x x -+=，解得方程的根为123x x ==，此时等腰三角形的三边长分别为3,3,4，满足三角形的三边关系定理； 综上，n 的值为8或9， 故答案为：8或9． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理． 9．6或7． 【分析】当m ＝4或n ＝4时，即x ＝4，代入方程即可得到结论，当m ＝n 时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k +2）＝0，解方程即可得到结论． 【详解】解：∵m 、n 、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长， ∴当m ＝4或n ＝4时，即x ＝4， ∴方程为42﹣6×4+k +2＝0， 解得：k ＝6，此时该方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝4，x 2＝2，此时三角形的三边为4，4，2，符合题意； 当m ＝n 时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k +2）＝0， 解得：k ＝7，此时该方程为x 2﹣6x +9＝0， 解得：x 1＝x 2＝3，此时三角形的三边为3，3，4，符合题意， 综上所述，k 的值等于6或7， 故答案为：6或7． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，正确的理解题意是解题的关键． 10．3m ≥ 【分析】根据题意，可分为两种情况进行分析：①2560m m -+=时，有(3)0m --=此时方程无解，可求出m 的值；②2560m m -+≠时，由根的判别式∆<0，即可求出m 的取值范围． 【详解】 解：根据题意，∵关于x 的方程221(56)(3)04m m x m x -+--+=无解， ①当2560m m -+=时，则原方程是一元一次方程，即1(3)04m x --+=； 则有：2560(3)0m m m ⎧-+=⎨--=⎩，解得：3m =；②当2560m m -+≠时，则原方程为一元二次方程， ∴3m ≠，2m ≠，∴221[(3)]4(56)04m m m ∆=---⨯-+⨯<，解得：3m >；综合上述，m 的取值范围是3m ≥； 故答案为：3m ≥．【点睛】本题考查了方程无解问题，根的判别式求参数的取值范围，以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握方程无解问题，注意运用分类讨论的思想进行解题． 11．（1）54m ≤；（2）1m =，0x = 【分析】（1）根据判别式的意义得到△2(1)4(1)0m =--->，然后解不等式即可；（2）先根据方程的解的定义把1x =代入原方程求出m 的值，则可确定原方程变为20x x -=，然后利用因式分解法解方程得到方程的另一根．【详解】解：（1）根据题意得△2(1)4(1)0m =---≥， 解得54m ≤； （2）把1x =代入原方程得10m -=， 解得1m =，∴原方程变为20x x -=解方程得10x =，21x =， ∴方程的另一个根为0x =．【点睛】本题考查了一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根的判别式△=-24b ac ：当△0>，方程有两个不相等的实数根；当△0=，方程有两个相等的实数根；当△0<，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．12．（1）121,1x x ==；（2）1k >- 【分析】（1）把6k =-代入方程得2240x x --=，然后求解即可； （2）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解． 【详解】解：（1）把6k =-代入方程得2240x x --=， ∴2215x x -+=，即()215x -=，解得：121,1x x = （2）∵该方程无实数根，∴()244420b ac k ∆=-=-+<，解得：1k >-．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法及根的判别式是解题的关键．13．（1）见解析；（2）m =2或m =3【分析】（1）根据根的判别式求出△的值，再进行判断即可；（2）利用公式法求出方程的两个根，再根据方程的两个实数根都为正整数，即可求出m 的值．【详解】解：（1）∵△=（-2m ）2-4（m +1）（m -1）=4＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△=（-2m ）2-4（m +1）（m -1）=4＞0，m -1≠0，∴x =()2221m m ±-，∴()1221212111m m x m m m ++===+---，()221221m x m -==-， ∵方程的两个实数根都为正整数，且m ＞1， ∴21m -是正整数， ∴m =2或m =3．【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．14．（1）见详解；（2）2030【分析】（1）根据a ＝1，b ＝-2m ，c ＝m 2−1，求出△＝b 2−4ac 的值，进而作出判断； （2）把x ＝2代入方程列出m 的一元二次方程，再整体代入求值，即可．【详解】（1）证明：∵a ＝1，b ＝-2m ，c ＝m 2−1，∴△＝b 2−4ac ＝（-2m ）2−4（m 2−1）×1＝4＞0， ∴对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x ＝2是该方程的一个根，∴22﹣2×2m +m 2﹣1＝0，即： m 2-4m =-3， ∴﹣3m 2+12m +2021=-3 (m 2-4m )+2021=9+2021=2030．【点睛】本题主要考查了根的判别式以及代数式求值，解答本题的关键是掌握根的判别式与根个数的关系以及整体代入思想方法，此题难度不大．15．（1）2；（2）12．【分析】（1）先根据正方形的性质可得AC BD =，再利用一元二次方程根的判别式即可得； （2）先解一元二次方程可得1AC BD ==，再利用正方形的面积公式即可得．【详解】解：（1）在正方形ABCD 中，AC BD =，由题意得：关于x 的方程202m xmx 的根的判别式等于0，即220m m -=，解得122,0m m ==，0AC BD =>， 20m ∴=舍去，故m 的值为2；（2）由（1）得：方程为2210x x -+=，解得121x x ==，1AC BD ∴==，则正方形的面积为11111222AC BD ⋅=⨯⨯=． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的几何应用、正方形的性质等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．。
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 根的判别式》公开课课件_19
①本节课你学到了那些知识？ ②本节课你还有什么疑问?
作业：
课本第53面第1，2 ，3，5题
有两个相等的实数根，且 a ，b，c
满足 b 3a 2c。试判断ABC的
形状。
解 原方程有两个相等的实数根
a 41 1 (2b c) 0 4
a 2b c 0 b 3a 2c
a 2 (3a 2c) c 0 a 6a 4c c 0 5a 5c 0 a c 又 b 3a 2c c a b c
一元二次方程的根 的判别式
利用公式法解下列方程
15x2 3x 2 0 2 25y2 4 20 y 3 2x2 3x 1 0
想一想
对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
你能谈论一下它的根的情况吗? 在什么情况下，一元二次方程有解?有什 么样的解? 什么情况下一元二次方程无解?
解：原方程可变形为 25y2 20 y 4 0
（ 20）2 4 25 4 0 原方程有两个相等的实数根。
3 2x2 3x 1 0
解： （ 3）2 4 21 5＜0
原方程没有实数根。
练一练
1.不解方程，判别下列方程的根的情况。
1 2x2 5x 4 0 2 7t2 5t 2 0 3 x(x 1) 3 43y2 25 10 3y
2.在一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)中
若a与c异号,则方程 （ A ） A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
例1. 不解方程，判别下列方程 的根的情况。
15x2 3x 2 0 2 25y2 4 20 y 3 2x2 3x 1 0
华东师大版九年级上册数学22.2.4一元二次方程的解法——根的判别式
那么 的值与0的关系是否会影响方程的根 的求解呢？
新课导入
• 利用公式法解下列方程： 1
（1） 4 x 2 2 x 0; 4 （2） 3x 2 5 x 2 0; （3） 2 x 2 3x 2 0.
解：
（ 1）b2 4ac 0, （2）b2 4ac 1,
• 我们把 叫做一元二次方程根的判别 ax bx c 0(a 0) 式，通常用符号 “ ”表示，用它可以直接判断一元二次 方程 △>0方程有两个不相等的实 的实数根情况： 根． 当： △＝0方程有两个相等的实
2
b2 4ac
数根．
△<0方程没有实数根．
掌握新知
例1.利用根的判别式判断下列方程根的情况.
2
(2m 1) 4m m 0. 1 4m 1 , 解得 m . 4
1 综上， m的取值范围为 m , 且m 0. 4
例 已知关于x的方程2 x 2 (3 4k ) x 2k 2 k 0. 3： (1)当k取何值时，方程有两个 不相等的实数根？
20 x , 2 4 1 1 即x1 , x2 . 4 4
x 5 1 , 23 2 即x1 1, x2 . 3
（3）b2 4ac 7,
b 2 4ac 7, 不能进行开方，所以我 们 无法在实数范围内找到 符合 方程的解.
你发现了什么？
知识梳理（概括）
（3）原式化为4 y 2 4 y 1 0, 则 : a 4, b 4, c 1. 42 4 4 1 0. 有两个相等的实数根 .
（2）a 3, b 2, c 1, 4 4 3 1 8 0. 不存在实数根.
人教版数学九年级上册22.2.4《一元二次方程解法》(公式法1)说课稿
人教版数学九年级上册22.2.4《一元二次方程解法》（公式法1）说课稿一. 教材分析《一元二次方程解法》是人教版数学九年级上册第22.2.4节的内容，属于初中数学的代数部分。
本节内容是在学生已经掌握了方程的解法、一元二次方程的定义和性质等知识的基础上进行教学的。
本节课的主要内容是一元二次方程的公式法求解，是解决一元二次方程问题的重要方法之一。
教材通过具体的例子引导学生掌握公式法的步骤和应用，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元二次方程的概念和性质有一定的了解。
但是，学生对于公式法的理解和运用可能还存在一些困难。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的学习需求，针对学生的实际情况进行教学设计和调整。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握一元二次方程的公式法，能够熟练运用公式法求解一元二次方程。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探索一元二次方程的解法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的公式法及其应用。
2.教学难点：理解一元二次方程的公式法，能够灵活运用公式法解决实际问题。
五.说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动参与课堂，提高学生的学习兴趣和参与度。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片、黑板等辅助教学，使教学内容更加直观和生动。
六.说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考如何解决一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
2.讲解新课：介绍一元二次方程的公式法，通过具体的例子解释公式法的步骤和应用。
3.实践操作：学生分组进行练习，运用公式法求解一元二次方程，教师巡回指导。
4.总结提升：引导学生总结公式法的解题步骤和注意事项，归纳一元二次方程的解法。
22.2 第4课时 一元二次方程根的判别式 华师大版数学九年级上册课件
22.2 一元二次方程的解法
第4课时 一元二次方程根的判别式
学习目标
1. 了解一元二次方程根的判别式； (重点) 2. 会判断一元二次方程根的情况； (难点) 3. 掌握一元二次方程根的判别式的应用. (难点)
回忆
我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到
(x＋2ba)2
Байду номын сангаас
=
b2−4ac 4a2
（*）
只有当b²－4ac ≥ 0时，才能直接开平方，得
x＋2ba =±
b² −4ac 4a²
也就是说，只有当一元二次方程ax²+bx +c=0 (a≠0)的系数
a、b、c满足条件b²－4ac ≥ 0时才有实数根，因此，我们可以
根据一元二次方程的系数直接判定根的情况。
如果b²－4ac＜0会怎么样? 如果b²－4ac＜0，则不能直接开平方，因为负数没有平方根。
解：(3)原方程可变形为 4y2－y＋4 = 0. 因为Δ =(-1)2－4×4×4 = 1－64 = -63＜0， 所以方程没有实数根。
练习
1. 不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1) 3x²＋5x = 4； (2) 2x²－x²－2 = 0
解：(1)原方程可变形为 3x2 ＋ 5x＋4 = 0. ∵b²－4ac =52－4×3×(-4) = 73＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根。
解：(4)原方程可化为 2x2 － x＋2 = 0. ∵b²－4ac =(-1)2－4×2×2= -15＜0， ∴原方程无实数根。
2.小明告诉同学，他发现了判断一类方程有无实数根的简易方法：
若一元二次方程ax²+bx +c=0 (a≠0) 的系数a、c异号(即两数为一正
22.2.3 公式法+22.2.4 一元二次方程根的判别式(课件)华师大版数学九年级上册
A. －9
B. －94
C.
9 4
D. 9
课堂小结
一元二次方程根的判别式
用公式法 关键 根的判
解方程
别式
有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根
A. ①直接开平方法，②因式分解法，③公式法 B. ①因式分解法，②公式法，③配方法 C. ①公式法，②配方法，③因式分解法 D. ①直接开平方法，②公式法，③因式分解法
课堂小结
公式法
选择合适 的方法解 一元二次 方程
最直接的方法 公式法 最灵活的方法 因式分解法 硬规定的方法
知2－讲
(1)若方程具有(mx＋n)2＝p(p ≥ 0)的形式，可用直接开平
方法求解；
(2)若一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一
次式的乘积，可用因式分解法求解；
(3)公式法是一种常用的方法，用公式法解方程时一定要
把一元二次方程化为一般形式，确定 a，b，c的值，
在b2－4ac ≥ 0 的条件下代入公式求解 .
④若b2－4ac ≥ 0，则把a，b及b2－4ac的值代入求根公式
求解 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒 1. 公式法是解一元二次方程的通用解法(也称万能法)，它
适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法. 2. 只有当方程ax2＋bx＋c＝0中的a≠0，b2－4ac ≥0时，才
能使用求根公式 .
感悟新知
活用巧记
知2－讲
先考虑用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种
方法时，再用公式法；没有特殊要求的，尽量少用配方法 .
可巧用口诀记为
观察方程选解法，先看能否开平方，
再看是否能分解，左分降次右化零，
人教版数学九年级上册22.2.4《根与系数关系》教学设计
人教版数学九年级上册22.2.4《根与系数关系》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.2.4《根与系数关系》是二次函数部分的一个重要内容。
这部分内容主要让学生了解一元二次方程的根与系数之间的关系，掌握求解一元二次方程的方法，并能够运用到实际问题中。
教材通过实例和探究活动，引导学生发现根与系数之间的关系，从而达到理解并掌握二次方程的解法。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二次函数的图像和性质，对二次函数有一定的认识。
但是，对于根与系数之间的关系，他们可能还没有直观的理解。
因此，在教学过程中，需要通过实例和活动，让学生直观地感受到根与系数之间的关系，从而达到理解并掌握二次方程的解法。
三. 教学目标1.了解一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.掌握求解一元二次方程的方法。
3.能够运用根与系数的关系解决实际问题。
四. 教学重难点1.重难点：根与系数之间的关系。
2.难点：如何引导学生发现并理解根与系数之间的关系。
五. 教学方法1.实例教学：通过具体的实例，让学生直观地感受到根与系数之间的关系。
2.活动教学：通过小组合作、讨论等活动，让学生主动探究根与系数之间的关系。
3.问题驱动：提出问题，引导学生思考，从而达到理解并掌握二次方程的解法。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示实例和活动。
2.实例材料：准备一些具体的实例，用于教学。
3.活动材料：准备一些活动材料，用于小组合作、讨论等活动。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的一元二次方程实例，引导学生思考如何求解方程的根。
例如，给出方程x^2 - 5x + 6 = 0，让学生尝试求解。
2.呈现（10分钟）呈现教材中的实例，引导学生观察方程的根与系数之间的关系。
通过计算和观察，引导学生发现根与系数之间的关系。
3.操练（10分钟）让学生分组进行活动，每组选择一个一元二次方程，计算其根与系数之间的关系。
然后，各组汇报结果，进行交流和讨论。
九年级数学上第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法4一元二次方程根的判别式课华东师大
(3)4x－x2＝x2＋2; 方程整理为x2－2x＋1＝0，∵Δ＝(－2)2－4×1×1＝0， ∴方程有两个相等的实数根．
(4)3x－1＝2x2.
方程整理为2x2－3x＋1＝0，∵Δ＝(－3)2－4×2×1＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．
9．【中考·陇南】关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两 个实数根，则k的取值范围是( C )
A．k≤－4 B．k＜－4 C．k≤4 D．k＜4
10．【2020·攀枝花】若关于x的方程x2－x－m＝0没有实数
1．已知关于x的方程x2＋mx－1＝0的根的判别式的值为5， 则m的值为( D )
A．±3 B．3 C．1 D．±1
2．【2021·长春师大附中新城校区期末】一元二次方程x2 －x－3＝0根的判别式的值是___1_3____．
3．已知关于x的一元二次方程mx2－(3m－1)x＝1－2m，其 根的判别式的值为4，求m的值．
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
4．一元二次方程根的判别式
提示：点击 进入习题
新知笔记 1 b2－4ac；一般形式 2 (1)> (2)＝ (3)<
1D 2 13 3 见习题
4C
5A
答案显示
6B 7C 8 见习题 9C 10 A
11 1
16 B
答案显示
12 见习题 17 4
13 D
(2)若a、b、c为△ABC的三边长，方程有两个相等的实数根 ，求证：△ABC为等边三角形． ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝8[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0. ∵a、b、c为三角形的三边长， ∴a＝b≠0，b＝c≠0，a＝c≠0， ∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形．
第22章 22.2.4.一元二次方程根的判别式
9．已知关于 x 的方程14x2＋(m－3)x＋m2＝0 有两个不相等的实数根，那么 m
可取的最大整数为( D )
A．2
B．－1
C．0
D．1
10．等腰△ABC 中，BC＝8cm，AB、AC 的长是关于 x 的方程 x2－10x＋m ＝0 两根，则 m 的值为 16或25 .
11．如果关于 x 的一元二次方程 kx2－3x－1＝0 有两个不相等的实根，那么 k
4．关于 x 的一元二次方程 x2＋4x＋k＝0 有两个相等的实数根，则 k 的值为( B )
A．k＝－4
B．k＝4
C．k≥－4
D．k≥4
5．已知关于 x 的方程 kx2＋(1－k)x－1 k＝0 时，方程无解
B．当 k＝1 时，方程有一个实数解
C．当 k＝－1 时，方程有两个相等的实数解
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/32021/9/32021/9/32021/9/39/3/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月3日星期五2021/9/32021/9/32021/9/3 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/32021/9/32021/9/39/3/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/32021/9/3September 3, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/32021/9/32021/9/32021/9/3
人教版数学九年级上册22.2.4《根与系数关系》说课稿
人教版数学九年级上册22.2.4《根与系数关系》说课稿一. 教材分析《根与系数关系》是人教版数学九年级上册第22章的一节内容。
本节课主要介绍了二次方程的根与系数之间的关系。
通过本节课的学习，学生能够理解二次方程的根与系数之间的内在联系，掌握求解二次方程的方法，并能够运用根与系数的关系解决实际问题。
教材中通过实例引导学生探究二次方程的根与系数之间的关系，并通过练习题巩固所学知识。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次方程的基本概念和解法，对二次方程有一定的认识。
但是，学生可能对根与系数之间的关系理解不够深入，需要通过实例和练习来进一步巩固。
此外，学生可能对数学符号和表达式的理解还不够熟练，需要教师在教学中进行引导和帮助。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次方程的根与系数之间的关系，掌握求解二次方程的方法，并能够运用根与系数的关系解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过探究二次方程的根与系数之间的关系，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次方程的根与系数之间的关系。
2.教学难点：理解和运用二次方程的根与系数之间的关系解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型和练习题进行教学。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题引入二次方程的根与系数之间的关系，激发学生的兴趣和好奇心。
2.探究：引导学生通过观察和分析实例，发现二次方程的根与系数之间的关系，并总结出规律。
3.讲解：教师对二次方程的根与系数之间的关系进行解释和讲解，引导学生理解和掌握。
4.练习：学生进行练习题，巩固对二次方程的根与系数之间关系的理解和运用。
5.应用：学生分组讨论和解决实际问题，运用二次方程的根与系数之间的关系进行分析和解答。
2022九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法22.2.4一元二次方程根的判别
9．(8分)关于x的一元二次方程2x2＋(m－2)x＋2＝0有两个相等的实数根，求m的
值及方程的根．
解：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝m2－4m－12＝0，解得m1＝6， m2＝－2，当m＝6时，x1＝x2＝－1；当m＝－2时，x3) 10．若关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2(k＋1)x＋k－2＝0有实数根，则k的取值 范围在数轴上表示正确的是( A )
A．1 B．0 C．－1 D．－2
7．(4分)关于x的一元二次方程x2＋2x－(m－2)＝0的根的判别式Δ＝__4_m_－__4___，
若方程有两个不相等的实数根，则m____；＞1若方程有两个相等的实数根，则m______；
若方＝程1没有实数根，则m____．
＜1
8．(3分)(南阳一模)关于x的一元二次方程(a－1)x2＋3x－2＝0有实数根，则a的取 值范围是___a_≥__－__且__a_≠_1_______．
由方程根的个数求未知数的值或字母的取值
5．(3 分)(河南中考改)如果一元二次方程 2x2＋3x＋m＝0 有两个相等的实数根，那
么实数 m 的取值为( C )
A．m＞98
B．m＞89
C．m＝98
D．m＝89
6．(3 分)(梁园区一模)若方程 x2－2x－k＝0 没有实数根，则 k 的值可以为( D )
解：(1)证明：∵Δ＝(k＋3)2－4(2k＋1)＝k2－2k＋5＝(k－1)2＋4≥4>0，∴ 方程有两个不相等的实数根
(2)把 x＝4 代入方程，得 16－4(k＋3)＋2k＋1＝0，解得 k＝52 ，即方程为 x2－121 x＋6＝0，解得 x1＝4，x2＝32 ，∴另一根为32
15．(12分)关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0. (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
九年级数学上册 第22章 22.2 的解法 22.2.4 根的判别式
根的判别式1．k 为何值时，一元二次方程kx 2－6x ＋9＝0①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．2．关于x 的一元二次方程－x 2＋(2k ＋1)x ＋2－k 2＝0有实数根，求k 的取值范围．3．求证：不论m 取任何实数，方程02)1(2=++-m x m x 都有两个不相等的实数根．4．已知方程mx 2＋mx ＋5＝m 有两个相等的实数根，求方程的解．5．求证：不论k 取何实数，方程(k 2＋1)x 2－2kx ＋(k 2＋4)＝0都没有实根．6．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三边，其中a ＝1，c ＝4，且关于x 的方程x 2－4x ＋b＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．7．已知关于x的一元二次方程x2＋2(k－1)x＋k2－1＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k的取值范围：(2)0可能是方程的一个根吗?若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．参考答案1．①k ＜1且k ≠0；②k ＝1；③k ＞1．2．⋅-≥49k 3．＝m 2＋1＞0，则方程有两个不相等的实数根．4．m ＝4，2121-==x x ． 5．证明＝－4(k 2＋2)2＜0．6．∵b ＝c ＝4 ∴△ABC 是等腰三角形．7．(1)＝[2 (k －1)]2－4(k 2－1)＝4k 2－8k ＋4－4k 2＋4＝－8k ＋8． ∵原方程有两个不相等的实数根，∴－8k ＋8＞0，解得k ＜1，即实数k 的取值范围是k ＜1.(2)假设0是方程的一个根，则代入得02＋2(k －1)·0＋k 2－1＝0，解得k ＝－1或k ＝1(舍去)．即当k ＝－1时，0就为原方程的一个根． 此时，原方程变为x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝4，所以它的另一个根是4．。
九年级数学上册 第22章 一元二次方程22.2 一元二次方程的解法22.2.4 一元二次方程根的判别
22．2.4 一元二次方程根的判别式1．能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证．2．会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值X 围．重点根的判别式的正确理解与应用．难点含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用．一、情境引入教师多媒体展示，回顾已有知识．用公式法解下列一元二次方程：(1)x 2＋5x ＋6＝0；(2)9x 2－6x ＋1＝0；(3)x 2－2x ＋3＝0.解：(1)x 1＝－2，x 2＝－3；(2)x 1＝x 2＝13； (3)无解．二、探究新知教师课件展示，提出问题，引导学生解决问题．观察解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，需先确定a ，b ，c 的值，然后求出b 2－4ac 的值，它能决定方程是否有解，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ＝b 2－4ac.我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现：(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a2. 【归纳结论】(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根：x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a； (2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根：x 1＝x 2＝－b 2a； (3)当Δ<0时，方程没有实数根． 例1 利用根的判别式判定下列方程的根的情况：(1)2x 2－3x －32＝0； (2)16x 2－24x ＋9＝0； (3)x 2－42＋9＝0; (4)3x 2＋10x ＝2x 2＋8x.解：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根．三、练习巩固教师多媒体展示问题，引导学生灵活运用知识，学生小组内交流．1．方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有一个实数根D ．没有实数根2．已知x 2＋2x ＝m －1没有实数根，求证：x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根．四、小结与作业小结1．用判别式判定一元二次方程根的情况：(1)Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；(2)Δ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0时，一元二次方程无实数根．2．运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为0这一隐含条件．布置作业从教材相应练习和“习题22.2”中选取．本课时创设情境，启发引导，让学生充分感受理解知识的产生和发展过程，在教师适时点拨下，学生在发现归纳的过程中积极主动地去探索，发现数学规律，培养了学生的创新意识、创新精神及思维能力．。
九年级数学上册 第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方
22.2.4 一元二次方程根的判别式【学习目标】1.理解一元二次方程根的判别式取值范围对根的情况的影响；2.会运用根的判别式判断根的情况及进行相关计算【学习重难点】会运用根的判别式判断根的情况及进行相关计算理解根的判别式取值范围对根的情况的影响【学习过程】一、课前准备一元二次方程的求根公式是：=x ________________。
公式成立的条件是_____________。
分别写出两个根的表达式：___________________________。
二、学习新知自主学习：分类探究根的判别式(24bac -)取值范围对方程的根的情况的影响 1. 240b ac ->推理分析：(1)当4b ac -2﹥0时，两根的表达式2b a-和2b a -都有意义，方程的两根都存在；即有两个实数根。
(2)(因为1122b b x x a a -+--==，所以，两根的差12x x a -=；又因为4b ac -2﹥0，所以0，0a ≠，所以，120x x a-=≠，即120x x -≠，所以12x x ≠，方程有两个不相 等的实数根。
概括：1.ac b 42-的取值决定着一元二次方程根的情况，因此把ac b 42-作为根的判别式，用“△”来表示。
(1)当△＞0时，方程有 实数根；(2)当△＝0时，方程有 实数根；(3)当△＜0时，方程 实数根。
（注意：判别式只适用于一元二次方程，当无法判定方程是否是一元二次方程时，应适当分类讨论。
）实例分析：例7、不解方程，判断下列方程根的情况：(1)3x 2=5x-2 (2)4x 2-2x+41=0 (3)4(y 2+1)-y=0解：【随堂练习】1、方程x 2-4x ＋4＝0的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；C.有一个实数根；D.没有实数根.2、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．x 2＋1＝0 B. x 2+x-1＝0 C. x 2+2x ＋3＝0 D. 4x 2-4x ＋1＝03、若关于x 的方程x 2-x ＋k ＝0没有实数根，则（ ）A.k ＜41B.k ＞41C. k ≤41D. k ≥41 4、关于x 的一元二次方程x 2-2x ＋2k ＝0有实数根，则k 得范围是（ ）A.k ＜21B.k ＞21C. k ≤21D. k ≥21 5、ｋ取什么值时，关于x 的方程4x 2-(ｋ＋2)x ＋ｋ－１＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.【中考连线】说明不论ｋ取何值，关于x 的方程x 2＋(2ｋ＋１)x ＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根.【参考答案】随堂练习1．B 2.B 3.B 4.C5.k=2或k=10 ；当k=2时，x 1=x 2=21,当k=10时，x 1=x 2=23. 中考连线b 2－4 ac=4k 2+5＞0.。
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22.2.4 一元二次方程根的判别式
【学习目标】
1.理解一元二次方程根的判别式取值范围对根的情况的影响；
2.会运用根的判别式判断根的情况及进行相关计算
【学习重难点】
会运用根的判别式判断根的情况及进行相关计算
理解根的判别式取值范围对根的情况的影响
【学习过程】
一、课前准备
一元二次方程的求根公式是：=x ________________。
公式成立的条件是_____________。
分别写出两个根的表达式：___________________________。
二、学习新知
自主学习：
分类探究根的判别式(24b
ac -)取值范围对方程的根的情况的影响 1. 240b ac ->
推理分析：(1)当4b ac -2﹥0
时，两根的表达式2b a
-+和
2b a --都有意义，方程的两根都存在；即有两个实数根。
(2)(
因为1122b b x x a a -+--==，所以，两根的差
12x x a -=；又因为4b ac -2﹥0，所
以0，0a ≠，所以
，
120x x a
-=≠，即120x x -≠，所以12x x ≠，方程有两个不相 等的实数根。
概括：
1.ac b
42-的取值决定着一元二次方程根的情况，因此把ac b 42
-作为根的判别式，用“△”来表示。
(1)当△＞0时，方程有 实数根；
(2)当△＝0时，方程有 实数根；
(3)当△＜0时，方程 实数根。
（注意：判别式只适用于一元二次方程，当无法判定方程是否是一元二次方程时，应适当分类讨论。
） 实例分析：
例7、不解方程，判断下列方程根的情况：
(1)3x 2=5x-2 (2)4x 2-2x+
41=0 (3)4(y 2+1)-y=0
解：
【随堂练习】
1、方程x 2-4x ＋4＝0的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根；
B.有两个相等的实数根；
C.有一个实数根；
D.没有实数根.
2、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A ．x 2＋1＝0 B. x 2+x-1＝0 C. x 2+2x ＋3＝0 D. 4x 2-4x ＋1＝0
3、若关于x 的方程x 2-x ＋k ＝0没有实数根，则（ ）
A.k ＜41
B.k ＞41
C. k ≤41
D. k ≥4
1 4、关于x 的一元二次方程x 2-2x ＋2k ＝0有实数根，则k 得范围是（ ）
A.k ＜21
B.k ＞21
C. k ≤21
D. k ≥2
1 5、ｋ取什么值时，关于x 的方程4x 2-(ｋ＋2)x ＋ｋ－１＝0
有两个相等的实数根？求出这时方程的根.
【中考连线】
说明不论ｋ取何值，关于x 的方程x 2
＋(2ｋ＋１)x ＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根.
【参考答案】
随堂练习
1．B 2.B 3.B 4.C
5.k=2或k=10 ；当k=2时，x 1=x 2=21,当k=10时，x 1=x 2=2
3. 中考连线
b 2－4 ac=4k 2+5＞0.。