2022年北京市中央美术学院附属实验学校高三一诊考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2
375150a a a +-+=，则9S =（ ）
A ．35
B ．36
C ．45
D ．54
2．
“是函数()()1f x ax x =-在区间
内单调递增”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A ．50,6⎛⎤ ⎥ ⎝⎦
B ．5,15⎡⎫
⎪⎢⎪⎣⎭
C ．250,5⎛⎤ ⎥ ⎝⎦
D ．25,15⎡⎫
⎪⎢⎪⎣⎭
5．设i 是虚数单位，复数1i
i
+=（ ） A ．1i -+
B ．-1i -
C ．1i +
D ．1i -
6．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）
A ．()x e x
f x x +=
B ．()2
1x f x x -=
C ．()x e x
f x x
-=
D ．()2
1
x f x x +=
7．设2,(10)()[(6)],(10)
x x f x f f x x -≥⎧=⎨
+<⎩ ,则(5)f =( ) A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
8．设a ，b 是非零向量，若对于任意的R λ∈，都有a b a b λ-≤-成立，则 A ．//a b
B ．a b ⊥
C ．()
-⊥a b a
D ．()
-⊥a b b
9．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( ) A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭
10．已知函数()2
2
cos sin 4f x x x π⎛⎫
=++
⎪⎝
⎭
，则()f x 的最小值为( )
A ．12
+
B ．
12
C ．12
-
D ．14
-
11．己知全集为实数集R ，集合A ={x |x 2 +2x -8>0}，B ={x |log 2x <1}，则(
)R
A B ⋂等于（ ）
A ．[-4,2]
B ．[-4,2)
C ．(-4,2)
D ．(0,2)
12．已知(,)a bi a b R +∈是11i
i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-
B ．12
- C ．12 D ．1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点()1,1对称,()()3
11g x x =-+,若函数()f x 图象与函数()g x 图象的
交点为112220192019,,,,()()(),,x y x y x y ⋯,则
()2019
1
i
j
i x y =+=∑_____．
14．已知点P 是直线l 上的一点，将直线l 绕点P 逆时针方向旋转角02παα⎛
⎫
<< ⎪⎝
⎭
，所得直线方程是20x y --=，若将它继续旋转
2
π
α-角，所得直线方程是210x y +-=，则直线l 的方程是______.
15．从集合{}1,2,3中随机取一个元素，记为a ，从集合{}2,3,4中随机取一个元素，记为b ，则a b ≤的概率为_______． 16．已知函数()eln 2x f x x =，()2
2x g x x m
=-，若函数()()()h x g f x m =+有3个不同的零点x 1，x 2，x 3(x 1＜x 2＜x 3)，则
()()()1232f x f x f x ++的取值范围是_________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2
2181a a =+，公差0d >，1S 、4S 、16S 成等比数列，数列{}
n b 满足(
)22log 1log n
n b a =-（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）已知1
1
n n n c a a +=
，求数列{}n n c b +的前n 项和n T . 18．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
()0,1A .
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）点P 是椭圆上异于短轴端点A ，B 的任意一点，过点P 作PQ y ⊥轴于Q ，线段PQ 的中点为M .直线AM 与直线1y =-交于点N ，D 为线段BN 的中点，设O 为坐标原点，试判断以OD 为直径的圆与点M 的位置关系. 19．（12分）已知函数()()3
2
16f x x x a x =---，()ln g x a x =，a R ∈.函数()()()f x h x g x x
=
-的导函数()
h x '在5,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上存在零点. ()1求实数a 的取值范围；
()2若存在实数a ，当[]0,x b ∈时，函数()f x 在0x =时取得最大值，求正实数b 的最大值； ()3若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为12-，求实数a 的值.
20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线C
的参数方程为sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数），以原点O 为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，直线l
的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
. （1）求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出直线的倾斜角；
（2）记直线l 与y 轴的交点为,Q M 是曲线C 上的动点，求点,M Q 的最大距离. 21．（12分）设函数f (x )=x 2−4x sin x −4cos x ． （1）讨论函数f (x )在[−π，π]上的单调性； （2）证明：函数f (x )在R 上有且仅有两个零点．
22．（10分）已知点P 是抛物线2
1:34
C y x =
-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=-. （1）判断点()0,1D 是否在直线AB 上？说明理由；
（2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，点M 到x 轴的距离为d ，点()1,0N ，求MN d -的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
由等差数列{}n a 通项公式得2
375150a a a +-+=，求出5a ，再利用等差数列前n 项和公式能求出9S .
【详解】
正项等差数列{}n a 的前n 项和n S ，
2
375150a a a +-+=，
2552150a a ∴--=，
解得55a =或53a =-（舍），
()91959
995452
S a a a ∴=
+==⨯=，故选C. 【点睛】
本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质
2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.
2、C 【解析】
()()21f x ax x ax x =-=-，令20,ax x -=解得1210,x x a
==
当0a ≤，()f x 的图像如下图
当0a >，()f x 的图像如下图
由上两图可知，是充要条件
【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法. 3、A 【解析】
设cos {
sin cos sin cos cos sin sin(+)1sin a a b b α
θθθαθαθαα
=⇒+=+=≤= 成立；反之，0a b 满足 sin cos 1a b θθ+≤，但221a b +≠，故选A.
4、C 【解析】
根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围. 【详解】
当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大. 2212665+=，短轴长为6，
所以椭圆离心率2
625165e ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
所以e ⎛∈ ⎝⎦
.
故选：C 【点睛】
本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题. 5、D 【解析】
利用复数的除法运算，化简复数1i
1i i
+=-，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，复数()1i (i)
1i 1i i i (i)
+⋅-+==-⨯-，故选D ． 【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 6、A 【解析】
由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果. 【详解】
对于选项B, ()2
1x f x x -=为 奇函数可判断B 错误;
对于选项C,当1x <-时, ()0x e x
f x x
-=<,可判断C 错误;
对于选项D, ()22111
=+x f x x x x
+=,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D 错误; 故选:A. 【点睛】
本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般. 7、B 【解析】
根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x ≥10内的函数值，代入即可求出其值． 【详解】
∵f （x ）()()()210610x x f f x x ⎧-≥⎪=⎨⎡⎤+⎪⎣
⎦⎩＜，
∴f （5）＝f [f （1）] ＝f （9）＝f [f （15）] ＝f （13）＝1． 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题． 8、D 【解析】
画出a ，b ，根据向量的加减法，分别画出()a b λ-的几种情况，由数形结合可得结果. 【详解】
由题意，得向量()a b -是所有向量()a b λ-中模长最小的向量，如图，
当AC BC ⊥，即()
-⊥a b b 时，||AC 最小，满足a b a b λ-≤-，对于任意的R λ∈， 所以本题答案为D. 【点睛】
本题主要考查了空间向量的加减法，以及点到直线的距离最短问题，解题的关键在于用有向线段正确表示向量，属于基础题. 9、A 【解析】
根据题意，分别求出()()()123P X P X P X ===，，，再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可 【详解】
由题可知()1P X p ==，()()21P X p p ==-，()()()()2
3
2
3111P X p p p p ==-+-=-，则
()()()()()()2
1232131 1.75E X P X P X P X p p p p =====+-+->+2+3
解得5122p p >
<或，由()0,1p ∈可得10,2p ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭
， 答案选A 【点睛】
本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功 10、C 【解析】
利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数，即可容易求得最小值. 【详解】
由于()221cos 21cos 22cos sin 422x x f x x x ππ⎛
⎫-+ ⎪
+⎛⎫⎝⎭=++=+ ⎪⎝
⎭ cos 2sin 2122
x x
=+
+
1sin 224x π⎛
⎫=+
+ ⎪⎝
⎭，
故其最小值为：1. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数，以及求三角函数的最值，属综合基础题. 11、D 【解析】
求解一元二次不等式化简A ，求解对数不等式化简B ，然后利用补集与交集的运算得答案. 【详解】
解：由x 2 +2x -8>0，得x ＜-4或x ＞2， ∴A ={x |x 2 +2x -8>0}＝{x | x ＜-4或x ＞2}， 由log 2x <1，x ＞0，得0＜x ＜2， ∴B ={x |log 2x <1}＝{ x |0＜x ＜2}，
则{}|42R
A x x =-≤≤， ∴
(
)()0,2R
A B =.
故选：D. 【点睛】
本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了对数不等式，二次不等式的求法，是基础题. 12、A 【解析】
先利用复数的除法运算法则求出11i
i
+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ． 【详解】
()()21(1)21112
i i i
i i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ， ∴a ＝0，b ＝﹣1， ∴a +b ＝﹣1， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、4038. 【解析】
由函数图象的对称性得：函数()f x 图象与函数()g x 图象的交点关于点()1,1对称，则
120192201832017101022x x x x x x x +=+=+=⋅⋅⋅==，120192201832017101022y y y y y y y +=+=+=⋅⋅⋅==,即
()20191
4038i
j
i x y =+=∑，得解．
【详解】
由()()3
11g x x =-+知：()()22g x g x +-=
得函数()y g x =的图象关于点()1,1对称 又函数()f x 的图象关于点()1,1对称
则函数()f x 图象与函数()g x 图象的交点关于点()1,1对称 则120192201832017101022x x x x x x x +=+=+=⋅⋅⋅==
120192201832017101022y y y y y y y +=+=+=⋅⋅⋅==
故12201820192019x x x x ++⋅⋅⋅++=，12201820192019y y y y ++⋅⋅⋅++=
即
()2019
1
4038i
j
i x y =+=∑
本题正确结果：4038 【点睛】
本题考查利用函数图象的对称性来求值的问题，关键是能够根据函数解析式判断出函数的对称中心，属中档题． 14、230x y --= 【解析】
求出点P 坐标，由于直线210x y +-=与直线l 垂直，得出直线l 的斜率为1
2
，再由点斜式写出直线l 的方程. 【详解】
()1,120
210
x x y P y -⎧⇒-⎨
--=+⎩= 由于直线210x y +-=可看成直线l 先绕点P 逆时针方向旋转角α，再继续旋转2
π
α-角得到，则直线210
x y +-=与直线l 垂直，即直线l 的斜率为1
2
所以直线l 的方程为1
1(1)2
y x +=-，即230x y --= 故答案为：230x y --= 【点睛】
本题主要考查了求直线的方程，涉及了求直线的交点以及直线与直线的位置关系，属于中档题. 15、
89
【解析】
先求出随机抽取a ,b 的所有事件数，再求出满足a b ≤的事件数，根据古典概型公式求出结果. 【详解】
解：从集合{}1,2,3中随机取一个元素，记为a ，从集合{}2,3,4中随机取一个元素，记为b ， 则(,)a b 的事件数为9个，即为(1,2),(1,3),(1,4)，(2,2),(2,3),(2,4)，(3,2),(3,3),(3,4)，
其中满足a b ≤的有(1,2),(1,3),(1,4)，(2,2),(2,3),(2,4)，(3,3),(3,4)，共有8个， 故a b ≤的概率为89
. 【点睛】
本题考查了古典概型的计算，解题的关键是准确列举出所有事件数.
16、()11002⎛⎫- ⎪⎝⎭，
， 【解析】
先根据题意，求出()()()
h x g f x m =+的解得(),2
m
f x =
或()f x m =-，然后求出f(x)的导函数，求其单调性以及最值，在根据题意求出函数()()()
h x g f x m =+有3个不同的零点x 1，x 2，x 3(x 1＜x 2＜x 3)，分情况讨论求出
()()()1232f x f x f x ++的取值范围.
【详解】
解：令t=f （x ），函数()()()
h x g f x m =+有3个不同的零点，
即()2
2t g t t m =
-+m=0有两个不同的解，解之得12,2m t t m ==- 即(),2m
f x =
或()f x m =- 因为()eln 2x
f x x
=的导函数
()()2
1ln (0)2e x f x x x
'-=
>，令()0f x '<，解得x>e ，()0f x '>，解得0<x<e ，
可得f （x ）在（0，e ）递增，在(),e +∞递减； f(x)的最大值为()1
2
f e = ，且()()0,;,0x f x x f x →→-∞→+∞→ 且f(1)=0；
要使函数()()()
h x g f x m =+有3个不同的零点，
（1）(),2
m
f x =
有两个不同的解，此时()f x m =-有一个解； （2）()f x m =-有两个不同的解，此时(),2
m
f x =有一个解
当(),2m
f x =有两个不同的解，此时()f x m =-有一个解，
此时11
,24
m m -==- ，不符合题意；
或是0,0m m -==不符合题意；
所以只能是01022m m -<⎧⎪
⎨<<⎪⎩
解得01m <<
()1f x m =-，()()23,2
m
f x f x ==
此时()()()1232f x f x f x ++=-m ， 此时10m -<-<
()f x m =-有两个不同的解，此时(),2
m
f x =
有一个解 此时
1
,122m m == ，不符合题意； 或是0,02
m
m ==不符合题意；
所以只能是021
02m
m ⎧<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩解得1
02m -<<
()12
m
f x =
，()()23f x f x m ==- 此时()()()1232f x f x f x ++=m -，
102
m <-<
综上：()()()1232f x f x f x ++的取值范围是(
)11002⎛⎫
-⋃ ⎪⎝⎭，， 故答案为()11002⎛
⎫-⋃ ⎪⎝⎭
，
， 【点睛】
本题主要考查了函数与导函数的综合，考查到了函数的零点，导函数的应用，以及数形结合的思想、分类讨论的思想，属于综合性极强的题目，属于难题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）21n a n =-，1
n n b x -=（0x >）；（2）11112211n
n x T n x
-⎛⎫=-+
⎪+-⎝⎭. 【解析】
（1）根据{}n a 是等差数列，2
2181a a =+，1S 、4S 、16S 成等比数列，列两个方程即可求出1,a d ，从而求得n a ，代
入化简即可求得n b ；（2）化简n c 后求和为裂项相消求和，{}n n c b +分组求和即可，注意讨论公比是否为1. 【详解】
（1）由题意知11S a =，4146S a d =+，16116120S a d =+，
由4
2116S S S =⋅得
()
()2
1114616120a d a a d +=+，
解得120d a =>.
又()2
22
1181a a d a =+=+，得211981a a =+，
解得11a =或11
9
a =-
（舍）. 2d ∴=，21n a n =-.
又(
)1222log 22log log n n
b n x -=-=（0x >）
， 1n n b x -∴=（0x >）.
（2）()()111111212122121n n n c a a n n n n +⎛⎫
=
==- ⎪-+-+⎝⎭
，
①当1x =时，
()()121n n n T c c c b b =++++++
111221n n ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭
. ②当1x ≠时，
11112211n
n x T n x
-⎛⎫=-+
⎪+-⎝⎭. 【点睛】
此题等差数列的通项公式的求解，裂项相消求和等知识点，考查了化归和转化思想，属于一般性题目.
18、（1）2
214
x y +=（2）点M 在以OD 为直径的圆上
【解析】
（1）根据题意列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可得到椭圆C 的标准方程；
（2）设点0(P x ，0)y ，则0
(
2
x M ，0)y ，求出直线AM 的方程，进而求出点N 的坐标，再利用中点坐标公式得到点D 的坐标，下面结合点P 在椭圆C 上证出0OM DM →
→
⋅=，所以点M 在以OD 为直径的圆上． 【详解】
（1
）由题意可知，2221
2b c
a a
b c
=⎧⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎩
，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪
=⎩，
∴椭圆C 的标准方程为：2214
x y +=. （2）设点0(P x ，0)y ，则0
(
2
x M ，0)y ， ∴直线AM 的斜率为0000
12(1)
02
y y x x --=
-， ∴直线AM 的方程为：002(1)
1y y x x -=
+， 令1y =-得，0
1x x y =
-， ∴点N 的坐标为0
(1x y -，1)-， ∴点D 的坐标为0
0(
2(1)
x y -，1)-，
∴0(2
x OM DM →
→
⋅=，222
0000000000)(,1)22(1)444x x x x y y y y y y ⋅-
+=+-+--， 又
点0(P x ，0)y 在椭圆C 上，
∴2
20014
x y +=，220044x y =-，
∴2000004(1)
11(1)04(1)
y OM DM y y y y →
→
-⋅=-
+=-++=-， ∴点M 在以OD 为直径的圆上．
【点睛】
本题主要考查了椭圆方程，考查了中点坐标公式，以及平面向量的基本知识，属于中档题． 19、()1[]
10,28；()24；()312. 【解析】
()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，求导函数()h x '，方程220x x a --=在区间5
,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有实数解，求出实数a 的取值范围；
()2由()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，
得出正实数b 的最大值；
()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率
()2113216k x x a =---，切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ，因为
()a
g x x '=
，所以切线斜率2
a k x =，即切线方程为()222ln a y x x a x x =-+， 整理得22ln a y x a x a x =+-.所以2224ln 12
a
a x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩
，求得257x ≥，设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121
022x G x x x x
-=
-=>'， 所以()G x 在5
,7
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增，最后求出实数a 的值. 【详解】
()1由题意可知，()2
ln 16h x x x a x a =---+，则()2221a x x a
h x x x x
--'=--=
， 即方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有实数解，解得[]
10,28a ∈；
()2因为()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，
①当()412160a ∆=--+≤，即47
103
a ≤≤
时，()0f x '≥恒成立， 所以()f x 在[]0,b 上单调递增，不符题意； ②当
47
163
a <<时，令()232160f x x x a =--+='， 解得：
x =
=
当x ⎛∈ ⎝⎭
时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以不存在0b >，使得()f x 在[]0,b 上的最大值为()0f ，不符题意；
③当1628a ≤≤时，()2
32160f x x x a =--+='，
解得：10x =
<
，20x =>
且当()20,x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，
若20b x <≤，则()f x 在[]0,b 上单调递减，所以()()max 0f x f =， 若2b x >，则()()20,f x x 上单调递减，在()2,x b 上单调递增， 由题意可知，()()0f b f ≤，即()3
2
160b b a b ---≤，
整理得216b b a -≤-，
因为存在[]
16,28a ∈，符合上式，所以212b b -≤，解得04b <≤， 综上，b 的最大值为4；
()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，
因为()()2
3216f x x x a =---'，所以切线斜率()2
113216k x x a =---，
即切线方程()()()2
3
2
111111321616y x x a x x x x a x ⎡⎤=----+---⎣⎦
整理得：()2
3
2
111132162y x x a x x x ⎡⎤=----+⎣⎦
由题意可知，3211212x x -+=-，即32
112120x x --=，
即()()
2
11122360x x x -++=，解得12x =
所以切线方程为()2412y a x =--，
设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ， 因为()a g x x '=
，所以切线斜率2
a k x =，即切线方程为
()222ln a y x x a x x =-+， 整理得22
ln a
y x a x a x =
+-. 所以2224ln 12
a
a x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩
，消去a ，整理得2
211ln 022x x +-=，
且因为[]()22410,28a
a a x =-∈，解得257
x ≥， 设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+
-≥ ⎪⎝⎭，则()221121
022x G x x x x
-=-=>'， 所以()G x 在5,7
⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增，
因为()10G =，所以21x =，所以24a a =-，即12a =. 【点睛】
本题主要考查导数在函数中的研究，导数的几何意义，属于难题.
20、（1）2
216
x y +=，2y x =+，直线l 的倾斜角为4π
（2 【解析】
（1）由公式2
2
sin cos 1αα+=消去参数得普通方程，由公式cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
可得直角坐标方程后可得倾斜角；
（2）求出直线l 与y 轴交点Q ，用参数表示M 点坐标，求出MQ ，利用三角函数的性质可得最大值． 【详解】
（1）由,sin ,
x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去α得C 的普通方程是： 2216x
y +=
由sin 4πρθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，得sin cos 2ρθρθ-=， 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
代入上式，化简得2y x =+
直线l 的倾斜角为
4
π
（2）在曲线C 上任取一点)
,sin M
αα，
直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为()0,2
则MQ =
=
当且仅当2sin 5α=-时，MQ . 【点睛】
本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题．求两点间距离的最值时，用参数方程设点的坐标可把问题转化为三角函数问题． 21、见解析 【解析】
（1）f '(x )=2x −4x cos x −4sin x +4sin x =41
()2
cos x x -，
由f '(x )=1，x ∈[−π，π]得x =1或π3-
或π3
． 当x 变化时，f '(x )和f (x )的变化情况如下表：
所以f (x )在区间[ππ)3--，，(0,π3)上单调递减，在区间()π,03-，(π
,π]3
上单调递增． （2）由（1）得极大值为f (1)=−4；极小值为f (π
3-)=f (π3
)<f (1)<1． 又f (π)=f (−π)=π2+4>1，
所以f (x )在[ππ)3--，，(π
,π]3
上各有一个零点． 显然x ∈(π，2π)时，−4x sin x >1，x 2−4cos x >1，所以f (x )>1； x ∈[2π，+∞)时，f (x )≥x 2−4x −4>62−4×6−4=8>1，
所以f (x )在(π，+∞)上没有零点．因为f (−x )=(−x )2−4(−x )sin(−x )−4cos(−x )=x 2−4x sin x −4cos x =f (x )， 所以f (x )为偶函数，
从而x <−π时，f (x )>1，即f (x )在(−∞，−π)上也没有零点．
故f (x )仅在[ππ)3--，，(π
,π]3
上各有一个零点，即f (x )在R 上有且仅有两个零点．
22、（1）不在，证明见详解；（2）1
8
【解析】
（1）假设直线方程y kx b =+，并于抛物线方程联立，结合韦达定理，计算4PA PB ⋅=-，可得1b =-，然后验证可
得结果.
（2）分别计算线段,PA PB 中垂线的方程，然后联立，根据（1）的条件可得点M 的轨迹方程22y x =，然后可得焦点F ，结合抛物线定义可得1
8
MN d NF -≤+，计算可得结果. 【详解】
（1）设直线方程y kx b =+，()()1122,,,A x y B x y 根据题意可知直线斜率一定存在，()0,3P
-
则()22
4430134y kx b x kx b y x =+⎧⎪
⇒--+=⎨=-⎪⎩
()121243,4x x b x x k =-++= ()2
41648k b ∆=-++
()()1122,3,,3PA x y PB x y =+=+
则()()121233PA PB x x y y ⋅=+++
()12121239PA PB x x y y y y ⋅=++++
()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++ ()1212122y y kx b kx b k x x b +=+++=++
()
()()2212121369PA PB k x x k kb x x b b ⋅=+++++++
由4PA PB ⋅=-
所以()
()()2
2
121213694k x x k kb x x b b +++++++=-
将()121243,4x x b x x k =-++=代入上式 化简可得2210b b ++=，所以1b =- 则直线方程为1y kx =-，
所以直线过定点()0,1-，()2
416480k b ∆=-++>
所以可知点()0,1D 不在直线上. （2）设(),M M M x y
线段PA 的中点为113,22x y E -⎛⎫
⎪⎝⎭
线段PB 的中点为223,2
2x y G -⎛⎫ ⎪⎝⎭
则直线PA 的斜率为11
3
PA y k x +=， 直线PB 的斜率为22
3
PB y k x +=
可知线段PA 的中垂线的方程为11113232y x x y x y -⎛⎫
-
=-- ⎪+⎝⎭
由2
11134y x =-，所以上式化简为2121418x y x x =-+
- 即线段PA 的中垂线的方程为21214
18
x y x x =-+
- 同理可得：
线段PB 的中垂线的方程为22224
18
x y x x =-+
- 则()22121222222
11212214183248
1832M M x x x x x y x x x x x x x x y x y x ⎧⎧+=-+-⎪=-⎪⎪⎪⇒⎨⎨++-⎪⎪=-+-=⎪⎪⎩⎩
由（1）可知：()12124,438x x k x x b +==-+=-
所以()
12122221212322832M M M M x x x x x x k y k x x x x y ⎧+=-⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=++-⎩⎪=⎪⎩
即(
)2
,2M k k
，所以点M 轨迹方程为2
2y x
=
焦点为10,8F ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，
所以1188
MN d MN MF MN MF ⎛⎫-=--=-+ ⎪⎝⎭
当,,M N F 三点共线时，MN d -有最大
所以1188MN d MN MF NF -=-+
≤+= 【点睛】 本题考查直线于抛物线的综合应用，第（1）问中难点在于计算处b ，第（2）问中关键在于得到点M 的轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合常常要联立方程，结合韦达定理，属难题.。