高考数学各地模拟卷专辑文理共10_1 2

澄海区2021－2021学年度第一(d ìy ī)学期高三期末考试
数学试卷(理科(l ǐk ē))
本套试卷(sh ìju àn)分选择题和非选择题两局部，满分是150分．考试(k ǎosh ì)时间是是120分钟． 考前须知：
1. 答第I 卷前，必须将本人的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2. 每一小题在选出答案以后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
3. 考试过程不得使用计算器．
第一局部〔选择题，一共50分〕
一、选择题：本大题一一共有8小题，每一小题5分，一共40分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑．
1．设全集I={-2,-1,-, ,2
1,1,2,3}，A={31, 2
1,1,2,3}, B={-2,2}，那么集合{-2}等于 ( ) A. A ∩B
B. I A ∩B
C. I A ∩ I B ∪ I B
2 原命题：“设
＞bc 〞以及它的逆命题，否命题、逆否命题
中，真命题一共有〔 〕个.
A 、0
B 、1
C 、2
D 、4 3. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰
直角三角形，假如直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为〔 〕.
A. 1
B. C.
D.
4. 函数(h ánsh ù)的最大值是４，最小值是０，
左视图
主视图
俯视图
最小正周期(zhōuqī)是，直线(zhíxiàn)是其图象(tú xiànɡ)的一条对称轴，那么下面各式中符合条件的解析式是〔〕
A. B.
C. D.
5. 直线平分圆的周长，那么〔〕
A．3 B．5 C．－3
D．－5
6. =10，=12，且〔3〕·〔〕=－36，那么a与b的夹角是〔〕
A. 150°
B. 135°
C. 120°
D. 60°
7. a, b∈R, m=, n=b2-b+，那么以下结论正确的选项是〔〕。

A . m≤n B. m≥n C. m>n D.m<n
8. △ABC内有任意三点不一共线的2021个点，加上三个顶点，一共2021个点，把这2021个点连线形成互不重叠〔即任意两个三角形之间互不覆盖〕的小三角形，那么一一共可以形成小三角形的个数为〔〕
A
二、填空题：本大题一一共有7小题，其中第9-12题是必做题，第13-15题是选做题〔考生必须从13-15题中选做其中两题，假设三题都做，只按前两题评分〕。

每一小题5分，满分是30分。

把各题之答案填在答题卷中规定的位置上，答错位置不给分。

9. 函数(hánshù),那么(nà me)f(-2)= , _______.
10. 如图，测量(cèliáng)河对岸的塔高时，可以(kěyǐ)选与塔底在
同一程度面内的两个测点与．测得
米，并在点C 测得塔顶
的仰
角为, 那么BC= 米, 塔高AB= 米。

11. 经过抛物线y 2=4x 的焦点F 作与轴垂直的直线, 交抛物线于A 、B 两点, O 是抛物线的顶点,再将直角坐标平面沿轴折成直二面角, 此时A 、B 两点之间的间隔 = , ∠AOB 的余弦值是 ． 12. 等比数列{
}的各项均为不等于1的正数，数列
满足
，那
么数列}{n b 前n 项和的最大值为______________. 以下为选做题： 13. 抛物线C ：
，〔为参数〕设为坐标原点，点
在C 上运动，点
是线段
的中点，那么点
的轨迹普通方程为 。

14. 假设不等式
无实数解, 那么a 的取值范围是 . 15. 如图，圆内的两条弦
、
相交于圆内一点P ，
，那么
三、解答(ji ěd á)题：本大题一一共6小题(xi ǎo t í)，一共80分。

解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤
16. 〔本小题满分(m ǎn f ēn)是12分〕函数f(x)=4sin 2(+x)-2
cos2x-1〔
〕
〔1〕求
的最大值及最小值；
〔2〕假设(ji ǎsh è)不等式|f(x)－m|<2恒成立， 务实数m 的取值范围
C B
A p
17. 〔本小题满分是14分〕如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底
面边长AB＝2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱
CC1于点E，交B1C于点F，
〔1〕求证：A1C⊥平面BDE；
〔2〕求A1B与平面BDE所成角的正弦值。

〔3〕设P是CC1上的动点(不包括端点C)，求证：△DBP是锐角三角形。

18. 〔本小题满分是14分〕通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的承受才能依赖于教师引入概念和描绘问题所用的时间是。

讲座开场时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间是，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开场分散。

分析结果和实验说明，用f(x)表示学生掌握和承受概念的才能，x表示提出概念和讲授概念的时间是〔单位：分钟〕，可有以下的关系式：
（1）开讲后多少(duōshǎo)分钟，学生的承受才能最强？能维持多少时间是？
（2）一个数学难题，需要55(或者以上(yǐshàng))的承受才能，上课开场30分钟内, 求能到达该承受才能要求的时间是一共有多少分钟?
（3）假如每隔5分钟测量一次学生(xué sheng)的承受才能，再计算平均值M=，它能高于45吗？
19. 〔本小题满分(mǎn fēn)是12分〕二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为
，数列的前n项和为，点均在函数()
=的图像
y f x 上。

〔Ⅰ〕求数列{}
a的通项公式；
n
〔Ⅱ〕设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；
20. 〔本小题满分(mǎn fēn)是14分〕椭圆的离心率(xīn lǜ)为
，F为椭圆(tuǒyuán)在x轴正半轴上的焦点(jiāodiǎn)，M、N两点在椭圆C上，且
，定点A〔－4，0〕.
〔1〕求证：当时，；
λ时有，求椭圆C的方程；
〔2〕假设当1
=
〔3〕在〔2〕的条件下，当M、N两点在椭圆C运动时，当的值是3, 求出直线MN的方程.
21. 〔本小题满分是14分〕函数f(x)=
（1）假设h(x)=f(x)-g(x)存在单调增区间，求a的取值范围；
（2）是否存在实数a>0，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？假设存在，求出a的取值范围？假设不存在，请说明理由。

澄海区2021－2021学年度第一学期高三期末考试 数学试卷(理科(l ǐk ē))参考答案与评分(p íng f ēn)HY
一、选择题(每一小(y ī xi ǎo)题5分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
B
C
D
B
D
C
A
D
二、填空题〔每一小题5分， 13至15题为选做题， 只选做其中两题， 三题都做者只把第14、15题的得分计入(j ì r ù)。

但凡有两空的，第一空2分，第二空3分〕 9. ， 8 10. 15, 15
11. 22, 12. 132
13. y 2=x 14.
〔写成集合或者不等式的形式答案正确的都给分〕15.
16. 〔本小题满分是12分〕函数f(x)=4sin 2(4
π
+x)-23cos2x-1〔42x ππ≤≤〕
〔1〕求)(x f 的最大值及最小值；
〔2〕假设不等式|f(x)－m|<2恒成立， 务实数m 的取值范围
解：〔Ⅰ〕∵
〔3分〕
又∵ 〔5分〕
即
∴y max =5， y min =3 〔7分〕 〔Ⅱ〕∵
〔9分〕
∴
解得
〔11分〕
即所求的m 的取值范围是〔3, 5〕 〔12分〕
17. 〔本小题满分是14分〕如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底
面边长AB ＝2，侧棱BB 1的长为4，过点B 作B 1C 的垂线交侧棱CC 1于点E ，交B 1C 于点F ，
〔1〕求证(qiúzhèng)：A1C⊥平面(píngmiàn)BDE；
〔2〕求A1B与平面(píngmiàn)BDE所成角的正弦(zhèngxián)值。

〔3〕设F是CC1上的动点(不包括端点C)，求证：△DBF是锐角三角形。

〔1〕证明：由正四棱柱性质知A1B1⊥平面BCC1B1，A1A⊥平面ABCD，所以B1C、AC分别是A1C在平面CC1B1B、平面ABCD上的射影
∵ B1C⊥BE, AC⊥BD, ∴A1C⊥BE , A1C⊥BD，〔2分〕
∴ A1C⊥平面BDE (4分)。

〔直接指出根据三垂线定理得“A1C⊥BE , A1C⊥BD〞而推出结论的不扣分)
〔2〕解：以DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴，建立坐标系，那么，，，∴， (6分)
∴ (7分)
设A 1C平面BDE＝K，
由(1)可知，∠A1BK为A1B与平面BDE所成角，(8分)
∴ (9分)
（1）证明：设点F的坐标为〔0, 2, z〕(0<z≤4), 那么，
又|DB|=，故△DBF是等腰三角形，要证明它为锐角三角形，只需证明其顶角∠DFB 为锐角那么可。

(11分)
由余弦定理得cos∠DFB=
∴∠DFB为锐角, (13分)
即不管点F为CC1上C点除外的任意一点, △DFB总是锐角三角形.(14分)
说明: 假设没有(méi yǒu)说明三角形为等腰三角形而只证明一个角是锐角,或者只证明底角是锐角的“以偏概全(yǐ piān gài quán)〞情况应扣2分〕
18. 〔本小题满分是14分〕通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的承受才能依赖于教师引入概念和描绘问题所用的时间是。

讲座开场时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间是，学生的兴趣保持较理想(l ǐxi ǎng)的状态，随后学生的注意力开场分散。

分析结果和实验说明，用f(x)表示学生掌握和承受概念的才能，x 表示提出概念和讲授概念的时间是〔单位：分〕，可有以下的关系式：
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<+-≤<≤<++-=).3016(,1073)
1610(,59)100(,436.21.0)(2x x x x x x x f
（4） 开讲后多少分钟，学生的承受(ch éngsh òu)才能最强？能维持多少时间是？ （5） 一个数学难题，需要55(或者以上)的承受才能，上课开场30分钟内, 求能到达该承
受才能要求的时间是一共有多少分钟?
（6） 假如每隔5分钟测量一次学生的承受才能，再计算平均值
M=
(5)(10)(30)
6
f f f ++
+，它能高于45吗？
解：〔1〕0<x ≤2+2.6x+43=-0.1(x-13)2 故当0<x ≤×(-3)2+59.9=59;
显然，当16<x ≤30时，f(x)递减，f(x)<-3×16+107=59.
因此，开讲后10分钟，学生到达最强的承受才能〔值为59〕， 并维持6分钟； 〔5分〕
(2) 依题意, 当0<x ≤10时，令f(x)≥55,那么(x-13)2≤49,
∴6≤x ≤10; 〔7分〕
当10<x ≤16时，f(x)=59符合要求；〔8分〕
当16<x ≤30时，令f(x)≥55,那么(n à me)x ≤173
1
〔9分〕
因此，学生(xu é sheng)到达〔或者超过〕55的承受才能的时间是为1731－6＝113
1
(分
钟)；〔11分〕
(3)f(5)=53.5, f(10)=59, f(15)=59, f(20)=47，f(25)=32, f(30)=17 所以(su ǒy ǐ)M=
≈44.6<45. 〔13分〕
故知(gùzh ī)平均值不能高于45. 〔14分〕
19. 〔本小题满分是12分〕二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为
'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像
上。

〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕设13+=
n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20
n m
T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；
解：〔Ⅰ〕设这二次函数为f(x)＝ax 2+bx (a ≠0) ,那么 f`(x)=2ax+b, 由于f`(x)=6x －2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x. 〔2分〕
又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n. 〔3分〕 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝〔3n 2－2n 〕－＝6n －5. 〔4分〕
当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5， 〔5分〕 所以，a n ＝6n －5 〔n N *∈〕 〔6分〕 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得知1
3
+=
n n n a a b ＝＝，〔8分〕
故T n ＝
＝
＝2
1
〔1－〕. 〔10分〕
因此(y īnc ǐ)，要使
21〔1－161+n 〕<〔n N *∈〕成立(chénglì)的m, 必须(b ìx ū)且仅须满足21≤20
m
，即m ≥10，所以(su ǒy ǐ)满足要求的最小正整数m 为
10. 〔12分〕
20. 〔本小题满分是14分〕椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 的离心率为36
，F 为椭圆在x 轴
正半轴上的焦点，M 、N 两点在椭圆C 上，且)0(>=λλFN MF ，定点A 〔－4，0〕. 〔1〕求证：当1=λ时.，AF MN ⊥； 〔2〕假设当1=λ时有3
106
=
⋅AN AM ，求椭圆C 的方程； 〔3〕在〔2〕的条件下，当M 、N 两点在椭圆C 运动时，当MAN AN AM ∠⨯⋅tan 的值是
63时, 求出直线MN 的方程.
20．解：〔1〕设
，那么
，
当1=λ时，
， 〔2分〕
由M ，N 两点在椭圆上，
假设
，那么
〔舍去〕，
〔4分〕。

〔5分〕
〔2〕当1=λ时，不妨设
〔6分〕
又
，
， 〔8分〕
椭圆C 的方程为。

〔9分〕
〔3〕因为(y īn wèi)
=63, 〔10分〕
由(2)知点F(2,0), 所以(su ǒy ǐ)|AF|=6, 即得|y M -y N |=3 〔11分〕
当MN ⊥x 轴时, |y M -y N |=|MN|=
, 故直线(zh íxi àn)MN 的斜率存在, 〔12
分〕
不妨设直线(zh íxi àn)MN 的方程为
联立
，得
，
=3, 解得k=±1。

此时，直线的MN 方程为
，或者。

〔14分〕
21. 〔本小题满分是14分〕函数f(x)=21
2(0),()ln ,2
ax x a g x x +≠=
（3） 假设h(x)=f(x)-g(x)存在单调增区间，求a 的取值范围； （4） 是否存在实数a>0，使得方程
()()(21)g x f x a x '=-+在区间1
(,)e e
内有且只有两个不相等的实数根？假设存在，求出a 的取值范围？假设不存在，请说明理由。

解：〔1〕由，得h(x)= 且x>0, 那么h ˊ(x)=ax+2-=, 〔2分〕
∵函数h(x)存在单调递增区间,
∴hˊ(x)≥0有解, 即不等式ax 2+2x-1≥0有x>0的解. 〔3分〕
① 当a<0时, y=ax 2+2x-1的图象为开口向下的抛物线, 要使ax 2+2x-1≥0总有x>0的解, 那么方程ax 2+2x-1=0至少有一个不重复正根, 而方程ax 2+2x-1=0总有两个不相等的根时, 那么必定是两个不相等的正根. 故只需Δ=4+4a>0, 即a>-1. 即-1<a<0〔5分〕
② 当a>0 时, y= ax 2+2x-1的图象为开口向上的抛物线, ax 2+2x-1≥0 一定有x>0的解. 〔6分〕
综上, a 的取值范围是(-1, 0)∪(0, +∞) 〔7分〕 〔2〕方程(f āngchéng)
()
()(21)g x f x a x
'=-+
即为
等价(děngjià)于方程ax2+(1-2a)x-lnx=0 . 〔8分〕
设H(x)= ax2+(1-2a)x-lnx, 于是(yúshì)原方程在区间()内根的问题, 转化为函数(há
nshù)H(x)在区间(1
,e
e
)内的零点问题. 〔9分〕
Hˊ(x)=2ax+(1-2a)-1
x
=〔10分〕
当x∈(0, 1)时, Hˊ(x)<0, H(x)是减函数；
当x∈(1, +∞)时, Hˊ(x)>0, H(x)是增函数；
假设H(x)在(1
,e
e
)内有且只有两个不相等的零点, 只须
〔13分〕
解得, 所以a的取值范围是(1, ) 〔14分〕
内容总结
（1）〔14分〕
21. 〔本小题满分是14分〕函数f(x)=
假设h(x)=f(x)-g(x)存在单调增区间，求a的取值范围。