2018-2019学年江苏省常州市14校联盟高二上学期期中考试数学试题 Word版

常州市“14校合作联盟” 2018学年度第一学期期中质量调研
高二 数学试题
注意事项：
1.本试卷共4页,包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两 部分。

本试卷满分160分，考试时间120分钟。

2.答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡指定位 置。

3.答题时，必须用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一 律无效。

4.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并加黑加粗，描写清楚。

5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。

一律不准使用胶带纸、修正液及可擦 洗的圆珠笔。

参考公式：
锥体的体积公式：1
3
V Sh =
，其中S 表示底面积，h 表示高； 球体的表面积公式：24S R π=，体积公式：3
43
V R π=
，其中R 表示球的半径． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1.若直线l 的倾斜角为60，则直线l 的斜率为 ▲ . 2.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，面对角线1A D 与
AC 所在直线的位置关系为 ▲ ．(填“平行”、“相
交”、“异面”)
3.如图，若线段AB 的端点,A B 到平面α的距离分 别为2,4，且,A B 在平面α的同侧，则线段AB 的中点M 到平面α的距离为 ▲ .
4.若直线422x ay a +=+与直线22x y a +=+ 平行，则实数a 的值为 ▲ .
5.如果用半径为2的半圆形铁皮卷成一个无底圆锥筒，那么此圆锥筒的高为 ▲ .
6.
函数y x 轴旋转360所得几何体的体积为 ▲ . 7.下列三个命题在“_____”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成
M
B
A α
第3题
B
A
C A 1
C 1
D 1 B 1
D 第2题
真命题（其中,l m 为直线，,αβ为平面），则此条件是 ▲ .
①
____l m l m β
αβ⎫
⎪
=⇒⎬⎪⎭
；②____m m l α⊥⎫⇒⊥⎬⎭；③____l αββ⎫
⇒⎬⎭.
8.已知三点(1,2)A -，(1,0)B ，(2,1)C ，那么ABC ∆外接 圆的方程为 ▲ .
9.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，6cm AB =,
3cm AD =，12cm AA =，则三棱锥11C A BC -的体积
为 ▲ 3cm ．
10.若圆O :2210x y +=与圆M :22()90x a y -+=(a ∈R )相交于,A B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 ▲ ． 11.如图，一个实心六角螺帽毛坯(正六棱柱)的底边长为4，高为3，若在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为 ▲ . 12.设点(1,0)A ，(3,2)B ，如果直线10ax by +-=与线段
AB 有
一个公共点，那么
22
1
a b
+的最大值为 ▲ . 13.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 点E 是棱BC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点， 若平面11A B CD ⊥平面AEP ，则线段AP 长度的取值范 围是 ▲ .
14.在ABC ∆中，3BC =，A ∠的平分线交BC 于点D ,且2BD =, 则ABC ∆面积 的最大值是 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．(本小题满分14分)
如图，在三棱锥O AEF -中， 侧棱OA OE ⊥，
OA OF ⊥，M ，N 分别为,EF OF 的中点.
第11题
1 A 第13题
A
C
A 1
B 1
C 1
D 1 D B 第9题
求证: （1）MN 平面AOE ;
（2）平面AOE ⊥平面OEF .
16.(本小题满分14分)
已知三条直线1:30l x y +-=，2:310l x y --=，3:280l x my +-=经过 同一点M .
（1）求实数m 的值；
（2）求点M 关于直线l :350x y --=的对称点N 的坐标． 17.(本小题满分14分)
如图，已知三棱柱1
11A B C A B C -
中，
A B A C =
，D 为BC 上一点，1A B 平面1AC D ．
（1）求证：D 为BC 的中点; （2）若平面ABC ⊥平面11BCC B ， 求证：1AC D ∆为直角三角形. 18.(本小题满分16分)
已知圆C 的方程为2222480x y ax y a a +--++-=(a ∈R ).
（1）若1a =，过点(2,3)的直线l 交圆C 于N M ,两点，且MN =
求直线l 的方程；
（2）直线20x y ++=与圆C 相交于B A ,两点，问是否存在实数a ，使得以
AB 为直径的圆经过原点？若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由.
19.(本小题满分16分)
如图，某市有相交于点O 的一条东西走向的公路l ，与 南北走向的公路m ，这两条公路都与一块半径为1(单位：千米)的圆形商城A 相切.根据市民建议，欲再新建一条公路PQ ，点P 、Q 分别在公路l 、m 上，且要求PQ 与圆形商城A 也相切． （1）当P 距O 处4千米时，求OQ 的长； （2）当公路PQ 长最短时，求OQ 的长．
A
A 1
B 1
B C 1
D C
第17题
20.(本小题满分16分)
已知圆C ：22(1)x y a ++=(0a >)，定点(,0)A m ，(0,)B n ，其中,m n 为正实数. （1）当3a m n ===时，判断直线AB 与圆C 的位置关系；
（2）当4a =时，若对于圆C 上任意一点P 均有PA PO λ=成立(O 为坐标原点)，求实数,m λ的值；
（3）当2,4m n ==时，对于线段AB 上的任意一点P ，若在圆C 上都存在不同的两点
,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，求实数a 的取值范围．
常州市“14校合作联盟” 2018学年度第一学期期中质量调研 高二数学参考答案及评分标准 2018.11
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比
照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和
难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
异面 3. 3 4. 2
43
π
7.l α⊂ 8.2
2
30x y x y +--= 9. 6 10.6 11.3 12.13
13.
⎤⎦
14.3 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．证明：(1) ∵M ，N 分别为,EF OF 的中点，∴MN OE .……………………3分 ∵MN ⊄平面AOE ，OE ⊂面AOE ，
∴MN 面AOE .………………………………………………………7分
(2) ∵侧棱OA OE ⊥，OA OF ⊥，,OE OF ⊂平面OEF ，且OE
OF O =，
∴AO ⊥面OEF .……………………………………………………10分 ∵AO ⊂面AOE ，∴面AOE ⊥面OEF .…………………………14分
16.解：（1）解方程组30,
310,
x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得交点(1,2)M ． ……………………………3分
将点(1,2)M 的坐标代入直线3:280l x my +-=的方程，得=3m ．…………6分
（2）法一:设点N 的坐标为(,)m n ，则由题意可21
1,13
12350,22
n m m n -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪-⨯-=⎪⎩………9分
解得3,
4,
m n =⎧⎨
=-⎩…………………………………………………………………………12分
所以，所求对称点N 的坐标(3,4)-.………………………………………………14分
法二:由(1)知(1,2)M ,所以,过M 且与350x y --=垂直的直线方程为:23(1)y x -=--,
即350x y +-=.…………………………………………………………………8分
解方程组350,
350,x y x y +-=⎧⎨--=⎩
得交点为(2,1)H -………………………………………10分
因为,M N 的中点为H ,所以,2213N x =⨯-=, 2(1)24N y =⨯--=-.……13分 所以，所求对称点N 的坐标(3,4)-.………………………………………………14分 17. 证明:(1) 联结1AC 交1AC 于O ，联结OD .…………………………………………2分 ∵四边形11ACC A 是棱柱的侧面， ∴四边形11ACC A 是平行四边形.
∵O 为平行四边形11ACC A 对角线的交点， ∴O 为1AC 的中点. …………………………………………………………4分 ∵1A B 平面1AC D ，平面1A BC
平面1AC D OD =，
1A B ⊂平面1A BC ，∴1A B OD .………………………6分
∴OD 为1A BC ∆的中位线， ∴D 为BC 的中点. ……7分 （2）∵AB AC =，D 为BC 的中点，
∴AD BC ⊥.………………………………………………8分 ∵平面ABC ⊥平面11BCC B ,AD ⊂平面ABC ，平面
ABC
平面11BCC B BC =，
∴AD ⊥平面11BCC B .……………………………………………………………………11分 ∵1C D ⊂平面11BCC B ，∴AD ⊥1C D ，………………………………………………13分 ∴1AC D ∆为直角三角形. ………………………………………………………………14分 18.解：(1)∵1a =，∴圆C 为22
(1)(2)11x y -+-=，
设圆心C 到直线l 的距离为d
，∵MN =
=，得1=d …2分
︒1若l 的斜率不存在，则2:=x l 符合题意；………………………………………………3分 ︒2若l 的斜率存在，设为k ，则)2(3:-=-x k y l ，即032=+--k y kx
A
A 1
B 1
B C 1
D
C
第17题
O
∴1d =
=，解得0k =，可得:3l y = ……………………………………4分
综上，直线l 的方程为2=x 或3y =. …………………………………………………5分 （2）法一:将2
2
2
2480x y ax y a a +--++-=配方得， 2
2
()(2)12x a y a -+-=-.
∵直线20x y ++=与圆C
相交，∴120,a ->⎧<…………………………………7分
∴55a -<-………………………………………………………………8分
设()11,A x y ，()22,B x y ，则其坐标是方程组2222480,
,
20x y ax y a a x y ⎧⎨+++--=++-=⎩的解，
消去y 得到关于x 的一元二次方程为
22
2(82)40x a x a a +-+++=，…………10分 由韦达定理得，124x x a +=-， 2
1211222
x x a a =++……………………………12分
∵以AB 为直径的圆过原点，∴0OA OB ⋅=，………………………………………13分 ∴12120x x y y +=，()()1212220x x x x +++=，()()1212220x x x x +++=，
121220x x x x +++=，∴211242022
a a a +++-+=，
解得，0a =或3a =-.……………………………………………………………………14分
满足55a -<<-15分 ∴0a =或3a =-.…………………………………………………………………………16分 法二: 将2
2
2
2480x y ax y a a +--++-=配方得， 2
2
()(2)12x a y a -+-=-. 所以圆C 的圆心为(,2)C a ,
…………………………………………………6分 因为AB 为圆C 的弦,所以,其中垂线为2y x a -=-,即2y x a =-+.……………………8分
解方程组2,20,y x a x y =-+⎧⎨
++=⎩
得AB 中点坐标为4,22a a M -⎛⎫
- ⎪⎝⎭.……………………………9分
所以
, MO =
=
.……………………………………10分
因为圆心C 到直线AB
的距离为d =
,
所以,
12AB =
=.…………………………………………12分
因为, 以AB 为直径的圆过原点,所以,
1
2
AB MO =, 所以,
=
,………………………………………………14分 解得, 0a =或3a =-.……………………………………………………………………16分 法三:
设过B A ,两点的圆的方程为()222
42280x y x y ax y a a λ+--++++-+=(0λ≠)
∴ ()()2
2
2
24820x y a x y a a λλλ++-+-++-+=……………………………8分
∴圆心为,22
2a λ
λ⎛⎫
-
-
⎪⎝
⎭
.………………………………………………………………10分 ∵该圆过原点，且圆心在直线上20x y ++=，
∴2820,
220,22
a a a λλ
λ+⎧-+--+=+=⎪⎨⎪⎩2
8204,0,
a a a λλ+-+=+-=⎧⎨⎩
………………………………………14分 解得，得4,0,a λ==⎧⎨⎩ 或,
1,3a λ==-⎧⎨⎩
∴0a =或3a =-.………………………………16分
19.解：(1)以O 为原点，直线l 、m 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系． ………………1分 设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB ，以1千米为单位长度，则圆A 的方程为2
2
(1)(1)1x y -+-=，…………………………………………2分 由题意可设直线PQ 的方程为
14x y
b
+=，即440b x y b +-=，(2)b > ，……………………………………………………………3分
∵PQ 与圆A
1=，解得3b = ，
故当P 距O 处4千米时，OQ 的长为3千米．……………………5分
(2)设(,0),(0,)P a Q b (2,2a b >>)，………………………………6分 则直线PQ 方程为
1x y
a b
+=，即0bx ay ab +-=. 因为PQ 与圆A
1=.……………………8分
化简得2()20ab a b -++=，即2()2ab a b =+-.……………………10分 法一:
因此PQ =
=
=
=因为2,2a b >>，所以4a b +>，于是()2PQ a b =+-．……………………12分
又2
2()22a b ab a b +⎛⎫
=+-≤ ⎪⎝⎭
，解得04a b <+≤-
4a b +≥+因为4a b +>
，所以4a b +≥+14分
()2PQ a b =+
-2≥+
2a b ==时取等号，
所以PQ
最小值为2+
，此时2a b ==.……………………15分
答：当P 、Q 两点距离两公路的交点O
都为2+ (千米)时，新建公路PQ 最短．……………16分
法二:化简得2()20ab a b -++=，即2(1)2a b a -=
-2
22
a =+
-.……………………10分
因此PQ =
=
=
=
=
=2(2)22a a =-+
+-.………………12分 因
为
2a >，所以
2
(2)22PQ a a =-+
+
-22≥=．………………14分 当且仅当2
22
a a -=
-,
即2a b ==时取到等号，………………15分 答：当P 、Q 两点距离两公路的交点O
都为2+ (千米)时，新建公路PQ 最短．……………16分
法三：解：2（）设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB 、AP 、AQ ,设OPA θ∠=，
则
,,APB APO BQA OQA ∠=∠∠=∠且
2
OPQ OQP π
∠+∠=
，
,4
AQB π
θ∴∠=
-…………………8分
又
11
,,tan tan()4
AB PQ PB BQ πθθ⊥∴=
=
-04πθ∈（，）……………………………………………10分
11tan tan()4PQ πθθ∴=
+-1111tan =1tan tan tan 1tan 1tan θ
θθθθ
θ
++=+
--+…………………………………12分
1212
=
1()(tan 1tan )1tan 1tan tan 1tan θθθθθθ
+-=++---
-1-tan 2tan 1+
2122tan 1tan θθθθ=++-≥+=+-…………………………14分
（当且仅当tan θ取等号）……………………………………………………………………15分
答：当P 、Q 两点距离两公路的交点O 都
为2(千米)时，新建公路PQ 最短．………………16分 法
四
：
设
PQ 与
A
相切于点
B
，设
B P
=，
BQ y =(0,0)x y >>，……………………………6分
则
1
OP x =+，1OQ y =+，
PQ x y =+………………………………………………………………8分
在RT OPQ ∆中，由222OP OQ PQ +=得：222
()(1)(1)x y x y +=+++，………………………
10分 化简得：1xy x y =++， ∴212x y x y +⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭
， 解得
：222x y +≥+
或2x y +≤-（舍）………………………………………………………13分
（当且仅当1x y =时等号成立）
∴
当2OP OQ ==时，PQ 有最小
值222
+15分 答：当P 、Q 两点距离公路交点O 都
为2+（千米）时，新建公路PQ 最短. ……………16分
20.解: (1) 当3a =时,圆心为(1,0)-,
当3m n ==时,直线AB 方程为30x y +-=,
所以,
圆心到直线距离为d ==……………………………2分
<所以,直线与圆相离. ……………………………………………3分
（2）设点(,)P x y
，则PO =
PA =
∵PA PO λ=，∴()
22222()x m y x y λ-+=+， ()()222221120x y mx m λλ-+-+-=，………………………………………………5分
由22(1)4x y ++=得，22230x y x ++-=， ∴2232x y x +=-，
代入得， ()
()2213220x mx m λ--+-=， 化简得()()
22221310m x m λλ-+-+-=，………………………………………7分
因为P 为圆C 上任意一点，所以，()22210,310,
m m λλ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩……………………………9分 又,0m λ>，解得3m =，2λ=．…………………………………………………………10分
(3)法一:直线AB 的方程为124
x y +=，设(,42)P t t -(02t ≤≤)，(,)N x y ， 因为点M 是线段PN 的中点，所以,22
2x t y M t +⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 又,M N 都在圆C ：22(1)x y a ++=上，所以2222(1),12,22x y a x t y t a ⎧++=⎪⎨+⎛⎫⎛⎫++-+=⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎩ 即()()2222(1),2424,
x y a x t y t a ⎧++=⎪⎨++++-=⎪⎩……………………………………………12分 因为该关于,x y 的方程组有解，即以(1,0)-为圆心
，为半径的圆与以()2,24t t ---
为圆心， 所以，()()221249a t t a ≤++-≤，………………………………13分
又P 为线段AB 上的任意一点，所以()()221249a t t a ≤++-≤对所有02t ≤≤成立．
而()()22()124f t t t =++-2
736555t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在[0,2]上的值域为36,175⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以36,5917,
a a ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩所以173695a ≤≤．……………………………………15分 又线段AB 与圆C
，∴365
a <. 故实数a 的取值范围为1736,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭
． …………………………………………16分
法二:过圆心C 作直线MN 的垂线，垂足为H ，设CH d =，=MN l ，则222221()23
()2d l a d l PC ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩则消去l 得， [)2290,88
PC d a a =-∈，∴(]2,9PC a a ∈…………11分 直线AB 方程为240x y +-=∴点C 到直线AB
= 且3,CA CB ==P 为线段AB 上的任意一点，∴236,175PC ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ……13分
(]36
,17,95a a ⎡⎤∴⊆⎢⎥⎣⎦，36
1795a a ∴<<≤，…………15分
故实数a 的取值范围为17
36,95⎡⎫
⎪⎢⎣⎭．……………………………………………16分。