精选素材,深度教学

教学感悟２０２４年３月上半月
㊀㊀㊀
精选素材,深度教学:
复习备考课堂教学的 三度
◉山东省济南市莱芜第一中学㊀王晓飞
㊀㊀随着«普通高中数学课程标准(２０１７年版)»的颁
布与实施,在复习备考数学课堂上更加突出实现教师
的教育价值,实现以学生为主体的 人 的教育,是高
考复习备考过程中不得不引起思考且高度重视的一
个课题．
而对于学生的学习,有三个关键要素,即学科本
身㊁数学内容㊁教师角色．深度教学就是有机 串联 起
这三个关键要素的纽带,必须从学科本身的深化㊁数
学内容的理解以及教师角度的转化等层面来合理优
化,从而使得教学知识与内容真正达到 教活㊁教透㊁
教深 ,实现课堂教学的深度化尝试与应用．
１素材的恰当选择,让教学有 效度
高中数学教材是 课标 的载体,例(习)题以及一
些相关的栏目是教材的重要内容之一,也是基础知识
的经典载体．这些教材的典型素材,成为历年高考数学
命题的重要场景与依据,同时也给教材的正确使用提
供了更加广泛的空间与应用场景．
近年高考数学真题与最新的高考模拟题,是高三
复习备考课堂教学的典型素材,也是教育专家与一线
教师对课标与教材的各方面视角的解读与展示,对于
课堂教学有很好的 效度 ．
例１㊀ 人民教育出版社２０１９年国家教材委员会
专家委员会审核通过的«数学»(选择性必修第一册)
第三章 圆锥曲线的方程 习题３．１第１３题 已知椭圆
x２
２５＋
y２
９＝１,直线l:４x－５y＋４０＝０．椭圆上是否存在
一点,使得:
(１)它到直线l的距离最小?最小距离是多少?
(２)它到直线l的距离最大最大距离是多少?
变式１㊀ ２０２２年高考数学浙江卷 ２１(１) 已知
椭圆
x２
１２＋y２＝１,求点P(０,１)到椭圆上点的距离的最
大值．(１２１１
１１．)
变式２㊀(２０２１年高考数学新高考Ⅰ卷 ５)已知
F１,F２是椭圆C:x２９＋y２４＝１的两个焦点,点M在C
上,则|M F１| |M F２|的最大值为(㊀㊀)．(C)
A．１３㊀㊀㊀B．１２㊀㊀㊀C．９㊀㊀㊀D．６
变式３㊀(２０２１年高考数学全国乙卷文科 １１)
设B是椭圆C:x２５＋y２＝１的上顶点,点P在C上,则
|P B|的最大值为(㊀㊀)．(A)
A．５２B．６C．５D．２
教师通过课堂的合理创设与剖析,引导学生从特
殊到一般㊁从一般到特殊等视角的探究,从而得以分
析与解决问题,得到相关的性质与结论．探究性学习与
教学实际,必须在教师合理引导下,充分发挥学生的
主体,并通过双方的协同,结合合理的变式与拓展来
开拓知识的 效度 ．
因此,在高考数学复习备考时,一定要回归教材,
让教材的经典例(习)题㊁关于创造的栏目以及历年的
高考真题等,在原来练习的基础上,加以合理变式㊁推
广㊁拓展等,更好地发挥其教学作用．
２学生的创造表现,让教学有 宽度
在高考复习备考课堂教学中,教师要充分备课,
精选素材,合理设置环环相扣的问题,符合学生的认
知规律．在实际教学过程中,学生的主体参与以及深入
学习,这才是教学的根本所在,也是充分体现教师备
课效果㊁学生学习结果的重要过程．
只有充分体现学生的主体性,以及在此过程中不
断提升数学解题能力,才能不断增强学生的积极性与
主动性,也对深度教与学起到促进与增强的作用．
例２㊀(２０２３届江苏省苏锡常镇四市高三教学情
况调研数学试卷 ８)已知数列{a n}的前n项和为S n,
a１＝１,若对任意正整数n,S n＋１＝－３a n＋１＋a n＋３,
S n＋a n＞(－１)n a,则实数a的取值范围是(㊀㊀)．
A．(－１,３２)B．(－１,５２)
４
８
２０２４年３月上半月㊀
教学感悟
㊀
㊀㊀㊀
C ．(－２,５
２
)
D．(－２,３
)层次一:解题思维的创造．
通过教师的合理引导,从破解问题的不同思维视角来分析与解决．
解法１:分层构建法．当n ＝１时,S ２＝－３a ２＋
a １＋３,解得a ２＝３４
;当n ȡ２时,有S n ＝－３a n ＋a n －１＋
３,则有a n ＋１＝－３a n ＋１＋４a n －a n －１,即２(２a n ＋１－a n )＝２a n －a n －１,此时数列{２a n ＋１－a n }是以２a ２－a １＝
１
２为首项,公比为
１２的等比数列,可得２a n ＋１－a n ＝１
２
n ,即２n ＋１a n ＋１－２n a n ＝１,此时数列{２n a n }
是以２１
a １＝２为首项,公差为１的等差数列,所以２n
a n ＝２＋n －１＝
n ＋１,即a n ＝n ＋１
２
n ．
当n ＝１时,上式也成立,则a n ＝n ＋１２
n
,n ɪN ∗
．由于S n ＋１＋a n ＋１＝－２
a n ＋１＋a n ＋３＝－２ˑn ＋２２n ＋１＋n ＋１２n ＋
３＝３－１２n ,又S １＋a １＝２＝３－１
２１－１,则有S n ＋a n ＝３－１２n －１,
n ɪN ∗,所以可知３－１２
n －１＞(－１)n
a 对任意n ɪN ∗都成立．
当n 为奇数时,３－１２n －１＞－a ,
则有３－１
２
１－１＝２＞－a ,解得a ＞－２;当n 为偶数时,３－１
２n －１＞a ,
则有３－１２
２－１＞a ,
解得a ＜５
２．综上分析,实数a 的取值范围是(－２,５
２
)
．
解法２:特殊构建法．当n ＝１时,S ２＝－３a ２＋
a １＋３,
解得a ２＝３
４
,由于对任意正整数n 都有S n ＋a n ＞(－１)n
a ,因此a ＞－２a １,a ＜a １＋２a ２．{
解得a ＞－２,
a ＜５
２．
{
故实数a 的取值范围是(－２,５
２
)
．
层次二:发展思维的创造．
变式１㊀已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a １＝１,
若对任意正整数n ,S n ＋１＝－３a n ＋１＋a n ＋３,
则数列{a n }
的通项公式为．(a n ＝n ＋１
２
n ．
)
变式２㊀已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a １＝１,
若对任意正整数n ,S n ＋１＝－３a n ＋１＋a n ＋３,
则数列{a n }
的前n 项和S n ＝．(S n ＝３－n ＋３
２
n ．
)
变式３㊀已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a １＝１,若对任意正整数n ,S n ＋１＝－３a n ＋１＋a n ＋３,设b n ＝
S n ＋a n ,则数列{b n }
的通项公式为．(
b n ＝
３－１
２
n －１．
)
在教学与学习过程中,借助学生的热情参与,不
断提升实践和探索机会,让学生真正全身心地投入到问题的学习㊁解决㊁应用等过程中,数学知识㊁数学思想与数学能力等方面的发展与应用才能落到实处．
３知识的灵活应用,
让教学有 深度 在教学过程中,对于一些典型知识与教材内容,总结规律,把握技巧,让学生回归基础㊁回归教材,树立夯实基础的意识,使教学与学习更加有 深度 ．
例３㊀ ２０２３届湖北省七市州高考数学调研试卷
(３月份) 已知M (１,２)为抛物线C :y ２
＝２p x (p ＞０)
上一点,过点T (０,１)的直线与抛物线C 交于A ,B 两
点,且直线M A 与M B 的倾斜角互补,则|T A ||T B |＝
．
通过讲解与分析,归纳以下相应的结论,并在此
基础上合理深入应用与变式拓展．
结论㊀过抛物线C :y ２＝２p x (p ＞０)
上一点M
(p ２
,p )作倾斜角互补(或斜率互为相反数)的两条直线,分别与抛物线C 交于A ,B 两点,则直线A B 的
斜率为定值－１．
变式１㊀已知M (１,２)为抛物线C :y ２
＝２p x (p ＞０
)上一点,过点T (０,１)的直线与抛物线C 交于A ,B 两点,
且直线M A 与M B 的倾斜角互补,则直线A B 的方程为．(y ＝－x ＋１．
)变式２㊀抛物线C :y ２
＝２p x (p ＞０)
的焦点为F ,已知斜率存在的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,
若直线F A 与F B 的倾斜角互补(或斜率互为相反数),则直线l 是否会过某个定点?若是,求出该定点坐标;若不是,说明理由．直线l 经过定点(－
p
２
,０)
．在此基础上,借助深入学习与变式拓展,合理体
验解题过程与解题的一般化,迁移解题思路和思想方法,灵活应用数学相关知识,从而进一步迁移到不同的数学问题情境与数学应用中,让学生体验数学思想方法的应用,提高数学解题能力,让数学教学与数学学习更加有 深度 ．Z
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