中考数学压轴题复习讲义：动点问题详细分层解析一

2018年中考数学复习讲义
动点问题详尽分层分析（一）
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决
这种问题的重点是动中求静,灵巧运用相关数学知识解决问题.
重点:动中求静.
数学思想：分类思想函数思想方程思想数形联合思想转变思想着重对几何图形运动变化能力的观察
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，经过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来研究与发现图形性质及图形变化，在解
题过程中浸透空间看法和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历研究的过程，以能力立意，观察学生的自主
研究能力，促使培育学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中察看图形的变化状况，需要理解图形在不一样
地点的状况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”研究题的基本思路,这也是动向几何数学识题中最中心的数学实质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐渐转向数形联合、动向几何、着手操作、实验研究等方向发展．这些压轴
题题型众多、题意创新，目的是观察学生
的剖析问题、解决问题的能力，内容包含空间看法、应意图识、推理能力等．从
数学思想的层面上讲：（1）运动看法；（2）方程思想；（3）数形联合思想；（4）分类思想；（5）转变思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考
数学试题的热门的形成和命题的动向，它有益于我们教师在教课中研究对策，掌握方向．只的这样，才能更好的培
育学生解题修养，在素质教育的背景下更明确地表现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和划分度丈量点
的存在性和划分度小题办理手法提出自己的看法．
专题一：成立动点问题的函数分析式
函数揭露了运动变化过程中量与量之间的变化规律 ,是初中数学的重要内容 .动点问题
反应的是一种函数思想,因为某一个点或某图形的有条件地运动变化,惹起未知量与已知量间
的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们如何成立这种函数解
析式呢?下边联合中考试题举例剖析.
一、应用勾股定理成立函数分析式
例1)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.
当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?假如有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.
(2)设PH x,GP y,求y对于x的函数分析式，并写出函数的定义域 (即自变量x的
取值范围).
假如△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.
解:(1
)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,于是线段GO、GP、GH
中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=2NH=21
B OP=2.
332P
N y
G x
O M H A
图1
(2) 在 Rt △ POH 中,
OHOP 2
PH 2
36x 2
,
∴
MH
1
OH
1 36 x
2 .
2
在Rt △MPH 中,
MPPH
2
MH
2
x
2
9 1x 2
1
363x
2
.
4 2
∴y =GP=2MP=1
36 3x 2 (0< x <6). (3) 3
△PGH 是等腰三角形有三种可能状况:
①GP=PH 时,1
36 3x 2
x ,解得x
6. 经查验,
3
合题意.
②GP=GH 时,1
36 3x 2
2,解得x
0. 经查验,
3
合题意.
③PH=GH 时,x
2.
6是原方程的根,且符
0是原方程的根,但不符
综上所述,假如△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为
6或2.
二、应用比率式成立函数分析式
例2如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=x,CE=y .
假如∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确立y 与x 之间的函数分析式；
(2)假如∠BAC 的度数为 ,∠DAE 的度数为 ,当,
知足如何的关系式时 ,(1)中y
与x 之间的函数分析式还成立 ?试说明原因.
A
解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,
∴∠ABC=∠ACB=75°,∴∠ABD=∠ACE=105°.
∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°,
又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, D
E
∴∠CAE=∠ADB, B
C
∴△ADB ∽△EAC,∴
AB
BD , 图2
CE
AC
∴
1
x , ∴y 1 .
y
1
x
(2)因为∠DAB+∠CAE=
,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=
,
90
2
F
且函数关系式成立,
∴90
= , 整理得
2
90 .
B
2
1
当
90时,函数分析式y
P
2
成立.
x
例 3(2005
年·上海) 如图 3(1), 在△ABC 中,∠
D
C
●
A
EO
3(1)
ABC=90°,AB=4,BC=3.点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点
D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.
(1)求证: △ADE ∽△AEP.
P
B
(2)设OA=x ,AP=y ,求y 对于x 的函数分析式,并写出它的定
义域.
F
(3)当BF=1时,求线段AP 的长.
D
解:(1)连接OD.
依据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.
C
●
A
又由 OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP,∴△ADE ∽△
EO
AEP.
3(2)
(2)
∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3,
∴AC=5. ∵∠ABC=∠
ADO=90°,
∴OD ∥BC,∴
OD
x , AD x ,
3
5 4
5
∴OD=3
x ,AD=4
x .∴AE=x
3
x = 8
x .
5 5
5 5
∵△ADE ∽△AEP,∴
AE
AD ,
8x
4x
16
x (0x
25
∴5
5
.∴y
).
AP
AE
y
8
5
8
x
5
(3)当BF=1时，
①若EP 交线段∵∠ADE=∠AEP,∴∠F=∠PDE,
CB 的延伸线于点 F,如图3(1)，则CF=4.
∴∠PDE=∠PEC.∵∠FBP=∠DEP=90°,∠FPB=∠DPE,∴∠F=∠FEC,∴CF=CE.
∴5-8
x =4,得x
5 .可求得y 2,即AP=2. 5
8
②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2.
近似①,可得CF=CE.
∴5-8
x =2,得x
15 . 5
8
可求得y
6,即AP=6.
综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6.
三、应用求图形面积的方法成立函数关系式
2 2
,⊙A 的半径为1. 若点O 在BC 边上运
动
例4如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=
x
(与点B 、C 不重合),设BO=,△AOC 的面积为y .
(1)求y 对于x 的函数分析式,并写出函数的定义域.
A
以点
O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时,
△AOC 的面积.
解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.
∵∠BAC=90°,AB=AC=2 2
1
BC=2.
∴OC=4-x .
,∴BC=4,AH=
C
1
OCAH ,
2
B
OH
∵S
AOC
∴yx4( 0x
4).
图8
2
(2)①当⊙O与⊙A外切时,
在Rt△AOH中,OA=x1,OH=2x,∴(x1)222(2x)2.解得x7.
6
717
此时,△AOC的面积y=4.
66
②当⊙O与⊙A内切时,
在Rt△AOH中,OA=x1,OH=x2,∴(x1)222(x2)2.解得x7.
71
2此时,△AOC的面积y=4.
22
综上所述,当⊙O与⊙A相切时,△AOC的面积为17
或
1
.
62
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