梅州市高中期末考试(2019.7)高二理科数学参考答案(定稿).docx

梅州市高中期末考试(2019.7) 高二数学（理科）参考答案及评分意见
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

三、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（一）必考题：共60分。

17．(本小题满分12分)
解：(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，
222
()x ax f x x a x x
-+'=-+=
. …………………2分
函数()f x 在1x =时取得极值，(1)120f a '∴=-+=，
解得3a =. …… …………4分 经检验3a =满足题意，故a 的值为3. …………………5分
(2) 由(1)知232(1)(2)
()x x x x f x x x
-+--'==
， 令()0f x '=,得121,2x x ==. ........………8分 故,(),()x f x f x '的变化情况如下表：
………………………………………………………10分
由表可知，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(2,)+∞；
减区间为(1,2). ………………12分
18. (本小题满分12分)
解：(1)2112141a a +=
+=，3222192a a +=+=，4332
1163
a a +=+=.………3分 故234,,a a a 的值分别为4,9,16. ……………………4分
(2)由(1)猜想2
n a n =. …………………………6分
用数学归纳法证明如下:
①当1n =时，2
111a ==，猜想显然成立. ………………………7分
②设*
()n k k N =∈时，猜想成立，即2k a k =. ………………………8分
则当1n k =+时，
2
221221121(1)k k k k a a k k k k k k
+++=
+=+=++=+.………………………10分
即当1n k =+时猜想也成立. ……………………………………11分
由①②可知，猜想成立，即2*
()n a n n N =∈.……………………………………12分
19. (本小题满分12分)
解：(1)由表格得
1(12345)35x =++++=，1
(44566)55
y =++++=. …………………2分
因为回归直线ˆˆˆy bx a =+过点(,)x y ，所以ˆˆ50.63 3.2a y bx
=-=-⨯= 故回归直线方程为ˆ0.6 3.2y
x =+. ………………………………………4分 所以6月份生产甲胶囊的产量的估计值为
ˆ0.66 3.2 6.8y
=⨯+=(万盒). .................................. ………………5分 (2)随机变量ξ所有可能的取值分别为0,1,2,3. ……………………………………6分
35395
(0)42C P C ξ===，12453910(1)21C C P C ξ===，21
453
95(2)14C C P C ξ===，34391
(3)21
C P C ξ===. …………………………………………………10分
故随机变量ξ的分布列为：
所以ξ的期望为
510514
()0123422114213
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=. …………………………………12分 20．(本小题满分12分)
解：(1)由列联表中的数据，
可得2
2
200(50405060) 2.020 2.07211090100100
K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯. .........…………3分
故不能在犯错误的概率不超过0．15的前提下认为A 市使用网络外卖情况与性别有关. .............………5分 (2)由22⨯列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为11011
20020
=， 将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人， 恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为
11
20
.………………………………7分 由题意得11~10,
20X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
.…………………………………………………………9分 故随机变量X 的期望1111()10202
E X =⨯
=； 方差为11999()10202040
D X =⨯
⨯=. …………………12分 21. (本题满分12分)
解：(1) 因为函数()f x 在区间[1,)+∞上为减函数，
1
()201
f x ax x '∴=+
≤+对[1,)x ∀∈+∞恒成立， 即1
2(1)
a x x ≤-
+对[1,)x ∀∈+∞恒成立. ……………………………2分
1()2(1)g x x x =-
+在[1,)+∞上单调递增，1
()(1)4
g x g ∴≥=-,
14a ∴≤-，即a 的取值范围是1,4⎛
⎤-∞- ⎥⎝
⎦.………………………………………4分
(2)∵当[0,)x ∈+∞时，不等式()0f x x -≤恒成立，
即2
ln(1)0ax x x ++-≤恒成立.
设2
()ln(1)(0)h x ax x x x =++-≥，
只需[]max ()0h x ≤即可. ………………………………………………5分
1[2(21)]()2111
x ax a h x ax x x +-'=+
-=++， (i)当0a =时，()1
x
h x x '=-
+， 当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 在(0,)+∞上单调递减，
∴()(0)0h x h ≤=恒成立. …………………………………………………6分
(ii)当0a >时，由()0h x '=，解得0x =或1
12x a
=
-. ①当
1102a -<，即1
2
a >时，当(0,)x ∈+∞时，()0h x '>， 则函数()h x 在(0,)+∞上单调递增，且当x →+∞时，()h x →+∞，
∴1
2
a >
不合题设. …………………………………7分 ②当
1102a -≥时，即1
02a <≤时， 当10,
12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝
⎭时，()0h x '<；当11,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭
时，()0h x '>． ∴函数()h x 在区间10,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间11,2a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增， 又当x →+∞时，()h x →+∞，
∴1
02
a <≤
不合题设. ………………………………………9分 (iii )当0a <时，由0x ≥，故2(21)0ax a +-<，
[2(21)]
()01
x ax a h x x +-'∴=
<+，
∴函数()h x 在[0,)+∞上单调递减，∴()(0)0h x g ≤=成立.………………11分
综上所述，实数a 的取值范围是(,0]-∞………………………………………12分
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的
第一题计分。

22.（本小题满分10分）
解：（1）（法一）由1C ，2C 极坐标方程分别为2sin ρθ=
，cos 4πρθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
化为直角坐标方程分为()2
211,20x y x y +-=+-=.……………………2分
由()2211
20x y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩
，解得02x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，
故1C 和2C 交点的直角坐标为()()0,2,1,1. …………………………………4分
从而1C 和2C
交点的极坐标分别为2,
,24ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝
⎭⎭
. ………………………5分 （法二）
由方程组2sin cos 4ρθπρθ=⎧⎪⎨⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎩
，得2
2ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
或4ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩…………4分
所以1C 和2C
交点的极坐表分别为2,
,24ππ⎛
⎫⎫ ⎪⎪⎝
⎭⎭. …………………………5分
（2）设点,A B 所对应的参数分别为12,t t ，
把直线l
的参数方程12
x y t ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩ （t 为参数）
代入()2
211x y +-=整理得：2430t t -+= . …………………………………7分
1212
430t t t t +=⎧∴⎨⋅=>⎩. ……………………………8分
所以12124PA PB t t t t +=+=+=. ………………………………10分
23．（本小题满分10分）
解：(1) 当3m =时，()6f x ≥,即|1||3|6x x ++-≥,
①当1x <-时，得136x x ---+≥，解得2x -≤. …………………1分 ②当13x -≤≤时，得136x x +-+≥，不成立，此时x ∈∅.…………………2分 ③当3x >时，得136x x ++-≥成立，此时4x ≥………………………………3分 综上，不等式()6f x ≥的解集为{|2x x -≤或4}x ≥……………………………4分 (2) 因为|1|+|||1|x m x x m x +-++-≥＝|1|m +，
当且仅当(1)()0x m x +-≥时，等号成立. ……………………………………6分 由题意得18m +≥…………………………………………………………………8分 解得9m -≤或7m ≥………………………………………………………………9分 即m 的取值范围是(9][7)-∞-+∞，
，...................................................................10分。