高中数学人教A版选修4-1阶段质量检测(二) B卷 Word版含解析

阶段质量检测(二) B卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，已知：⊙O的内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，
∠BCD＝120°.过D点的切线PD与BA的延长线交于P点，则∠ADP
的度数是()
A．15°B．30°C．45°D．60°
解析：选B要求弦切角∠ADP，即连接BD，
则∠ADP＝∠ABD，又AB是直径，所以∠ADB＝90°，
而四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
所以∠C＋∠DAB＝180°，即∠DAB＝60°，
所以∠ABD＝30°，故∠ADP＝30°.
2．(北京高考)如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，
延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：
①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；
②AF·AG＝AD·AE；
③△AFB∽△ADG.
其中正确结论的序号是()
A．①②B．②③C．①③D．①②③
解析：选A逐个判断：由切线定理得CE＝CF，BD＝BF，所以AD＋AE＝AB＋BD ＋AC＋CE＝AB＋AC＋BC，即①正确；由切割线定理得AF·AG＝AD2＝AD·AE，即②正确；因为△ADF∽△AGD，所以③错误．
3．点P为⊙O的弦AB上一点，且AP＝9，PB＝4，连接PO，作PC⊥OP交圆于点C，则PC等于()
A．4 B．6 C．8 D．9
解析：选B延长CP交⊙O于点D，则OP垂直平分弦CD，
且CP·PD＝AP·PB＝36，
∴PC2＝36，PC＝6，故选B.
4.如图，在⊙O中，弦AB与半径OC相交于点M，且OM＝MC，AM
＝1.5，BM＝4，则OC＝()
A．2 6 B. 6
C．2 3 D．2 2
解析：选D延长CO交⊙O于D，则DM＝3CM，CM·MD＝MA·MB，所以1.5×4＝
3CM 2，CM ＝2，OC ＝2 2.
5．如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，⊙I 是△ABC 的内切圆，∠A ＝80°，则∠BIC 等于( )
A ．80°
B ．100°
C ．120°
D ．130°
解析：选D ∵∠A ＝80°，
∴∠ABC ＋∠ACB ＝100°.
∵∠IBC ＝12∠ABC ，∠ICB ＝12
∠ACB ， ∴∠IBC ＋∠ICB ＝12
(∠ABC ＋∠ACB )＝50°， ∴∠BIC ＝180°－50°＝130°.
6.如图，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于P 点，∠B ＝30°，∠APD
＝80°，则∠A ＝( )
A ．40°
B ．50°
C ．70°
D ．110° 解析：选B 易知∠A ＝∠D ，
又∵∠APD ＝∠B ＋∠D ，∠B ＝30°，∠APD ＝80°，
∴∠D ＝∠APD －∠B ＝80°－30°＝50°.
∴∠A ＝50°.
7．如图，AB 是⊙O 的直径，C 为半圆上一点，CD ⊥AB 于D ，若
BC ＝3，AC ＝4，则AD ∶CD ∶BD 等于( )
A ．4∶6∶3
B ．6∶4∶3
C ．4∶4∶3
D ．16∶12∶9 解析：选D 由AB 是⊙O 的直径，可得△ABC 是直角三角形．由勾股定理知AB ＝5.
又CD ⊥AB ，根据射影定理就有AC 2＝AD ·AB ，于是AD ＝165.同理，BD ＝95，CD ＝125
，据此即得三条线段的比值．
8．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝6 cm ，则其外接圆的直径为( ) A. 3 cm B ．2 3 cm C ．4 3 cm D ．6 3 cm
解析：选C 作BC 边上的中线AD ，则AD ⊥BC ，延长AD 交△ABC
外接圆于E ，连接CE .
∵AE ⊥BC ，AE 平分BC ，
∴AE 为△ABC 外接圆的直径，
∴∠ACE ＝90°.
在Rt △ACD 中，
∠CAD ＝12∠BAC ＝60°，CD ＝12
BC ＝3 cm ， ∴AC ＝CD sin ∠CAD ＝33
2
＝23(cm)． 在Rt △ACE 中，AE ＝AC cos ∠CAD ＝2312
＝43(cm)． 即△ABC 外接圆的直径为4 3 cm.
9.如图，四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 为BD 的垂直平分线，
∠ACB ＝60°，AB ＝a ，则CD 等于( )
A.33a
B.62
a C.12a D.13
a 解析：选A ∵AC 为BD 的垂直平分线，
∴AB ＝AD ＝a ，AC ⊥BD ，
∵∠ACB ＝60°，∴∠ADB ＝60°，
∴AB ＝AD ＝BD ，
∴∠ACD ＝∠ABD ＝60°，
∴∠CDB ＝30°，
∴∠ADC ＝90°，
∴CD ＝tan 30°·AD ＝33
a . 10．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB ＝10 cm ，点P 由C 出发以每秒2 cm 的速度沿线段CA 向点A 运动(不运动至A 点)，⊙O 的圆心在BP 上，且⊙O 分别与AB 、AC 相切，当点P 运动2 s 时，⊙O 的半径是( )
A.127
cm B.125 cm C.53
cm D ．2 cm 解析：选A ∵PC ＝2×2＝4 cm ，
∴P 是AC 的中点，
∴BC ＝6 cm ，BP ＝213 cm.连接OD ，∵D 为切点，
∴OD ⊥AC ，则OD ∥BC ，
即DP OD ＝PC BC ＝46＝23
.设半径OD ＝3k ，DP ＝2k ， ∴OP ＝(3k )2＋(2k )2＝13k ，
∴OB ＝213－13k .
∵AE 、AD 为⊙O 的切线，
∴AE ＝AD ＝AP ＋PD ＝4＋2k ，
BE ＝10－(4＋2k )＝6－2k .
在Rt △BOE 中，∵OB 2＝BE 2＋OE 2，
∴(213－13k )2＝(6－2k )2＋(3k )2，解得k ＝47
. 故半径OD ＝3k ＝127
. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)
11．如图，过点P 作⊙O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE ，
BE ，∠APE 的平分线分别与AE 、BE 相交于点C ，D ，若∠AEB ＝30°，
则∠PCE ＝________.
解析：由题易得∠PEB ＝∠PAE ，又由三角形外角性质得∠PCE ＝∠
CPA ＋∠PAE ，又△PEC 的内角和为2(∠CPA ＋∠PAE )＋30°＝180°，所
以∠CPA ＋∠PAE ＝75°，即∠PCE ＝75°.
答案：75°
12.如图，已知P 是⊙O 外一点，PD 为⊙O 的切线，D 为切点，
割线PEF 经过圆心O ，若PF ＝12，PD ＝43，则圆O 的半径长为
________、∠EFD 的度数为________．
解析：由切割线定理得，
PD 2＝PE ·PF ，
∴PE ＝PD 2PF ＝16×312
＝4，EF ＝8，OD ＝4. ∵OD ⊥PD ，OD ＝12
PO ， ∴∠P ＝30°，∠POD ＝60°，
∴∠EFD ＝30°.
答案：4 30°
13．如图，⊙O 中的弦AB 与直径CD 相交于P ，M 为DC 延长线上一点，MN 为⊙O 的切线，N 为切点，若AP ＝8，PB ＝6，PD ＝4，MC ＝6，则MN 的长为________．
解析：由相交弦定理得：CP ·PD ＝AP ·PB ，CP ＝AP ·PB PD ＝12，又由切割线定理得：MN 2
＝MC ·MD ＝6×22，所以，MN ＝233.
答案：233
14．(重庆高考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝
20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点
E ，则DE 的长为________．
解析：由题意得BC ＝AB ·sin 60°＝103，由弦切角定理知∠BCD ＝∠A ＝60°，所以CD ＝53，BD ＝15，由切割线定理知，CD 2＝DE ·BD ，则DE ＝5.
答案：5
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)如图，在⊙O 中，半径OA ⊥OB ，弦AC 交OB
于D ，E 是OB 延长线上一点，若∠OAD ＝30°，ED ＝CE .
求证：EC 是⊙O 的切线．
证明：连接OC .
因为OA ⊥OB ，
所以∠CAO ＋∠ADO ＝90°.
因为DE ＝CE ，
所以∠ECD ＝∠EDC ＝∠ADO .
因为OA ＝OC ，
所以∠ACO ＝∠CAO .
所以∠ECD ＋∠ACO ＝90°.
所以EC 是⊙O 的切线．
16．(本小题满分12分)如图，已知AB 为⊙O 的弦，CD 切⊙O 于P ，
AC ⊥CD 于C ，BD ⊥DC 于D ，PQ ⊥AB 于Q .
求证：PQ 2＝AC ·BD .
证明：如图，连接PA 、PB ，
因为CD 切⊙O 于P ，
所以∠1＝∠2.
因为AC ⊥CD 于C ，PQ ⊥AB 于Q ，
所以∠ACP ＝∠PQB ＝90°.
所以△ACP ∽△PQB .
所以AC ∶PQ ＝AP ∶PB .
同理，△BDP ∽△PQA ，
所以PQ ∶BD ＝AP ∶PB .
所以AC ∶PQ ＝PQ ∶BD ，即PQ 2＝AC ·BD .
17．(本小题满分12分)如图，已知AB 切⊙O 于B ，BC 是⊙O 的直
径，AC 交⊙O 于D ，DE 是⊙O 的切线，CE ⊥DE 于E ，DE ＝3，CE ＝4，求AB 的长．
解：因为CE ⊥DE 于E ，DE ＝3，CE ＝4，
所以CD ＝5.
连接BD .因为DE 切⊙O 于点D ，
所以∠EDC ＝∠DBC .
又因为BC 为⊙O 的直径，
所以∠BDC ＝90°.
所以Rt △BDC ∽Rt △DEC .
所以CD BC ＝CE CD ＝DE BD
， 即5BC ＝45
＝3BD . 所以BC ＝254，BD ＝154
. 又因为AB 与⊙O 相切于点B ，
所以AB ⊥BC .
所以AB BC ＝BD CD .
所以AB ＝7516
. 18．(本小题满分14分)如图，已知Rt △ABC ，∠ABC ＝90°，D 是
AC 的中点，⊙O 经过A ，B ，D 三点，CB 的延长线交⊙O 于点E ，过点E 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F .在满足上述条件的情况下，当∠CAB 的大小变化时，图形也随着改变，但在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系．
(1)连接图中已标明字母的某两点，得到一条新线段与线段CE 相等，并说明理由；
(2)若CF ＝CD ，求sin F 的值．
解：(1)连接AE ，则AE ＝CE .
∵∠ABE＝90°，
∴AE为直径，连接DE.
则∠ADE＝90°，
又AD＝CD，
∴AE＝CE.
(2)设CF＝x，
则FA＝3x，FD＝2x，AD＝x. ∵FE为⊙O的切线，
∴AE⊥EF.
∴DE2＝AD·DF＝2x2，
即DE＝2x.
FE2＝FD·FA＝2x·3x＝6x2，即FE＝6x.
∴sin F＝ED
FE＝
2x
6x
＝
3
3.。