安徽省名校联盟2021-2022学年高三上学期开学考试理科数学试题

数学（理科）
本试卷共4页，23题（含选考题）．全卷满分150分，考试时间120分钟． 考生注意事项：
1.答题前、先将自己的性名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知函数ln y x =的定义域分别为M ，N ，则M N ⋂=（ ） A .∅ B .M C .N D .R
2.已知两条直线a ，b 分别在两个不同的平面,αβ内，则“直线a ，b 不相交”是“平面α与平面β平行”的（ ）
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
3.对于任意复数z 和其共轭复数z ，下列叙述错误的是（ ） A .|1||1|z z +=- B .||||z i z i +=- C .|(1)||(1)|z i z i ++=+- D .|(1)||(1)|z i z i +=-
4. 已知x ，y 满足不等式组3
202x y x y x +⎧⎪
-⎨⎪⎩
，则z ＝2x ＋y －1的最大值与最小值的差为（ ）
A .2
B .3
C .4
D .5 5. 设2()ln 1f x a x ⎛⎫
=+
⎪-⎝⎭
是奇函数，则实数a ＝（ ） A .－1 B .1 C .0 D .－1或1
6.若平面向量,,a b c 两两的夹角相等，且||||1,||3a b c ===，则||a b c ++=（ ）
A .2
B .5
C .2或5
D 7. 等腰三角形的底与腰之比是黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形．如图五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，其中一个黄金△ABC 中，
BC AC =
．由上面可得sin l 26°＝（ ）
A B C D 8.袋子中有6个相同的球，分別标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，则取出球的数字之和是8的概率为（ ） A .
16 B .5
36
C .115
D .215 9.已知四面体ABCD 的体积为3，三条棱AB ，BC ，CD 两两垂直，若AB ＝4，则该四面体外接球半径的最小值为（ ）
A .5
B .
5
2
C .
D .10.如图是函数()sin()(0,02)f x x ωϕωϕπ=+><<在一个周期内的图象，将f （x ）的图象上所有的点向右平行移动
4
π
个单位长度可得g （x ）的图象，则g （x ）＝（ ）
A .sin 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭
B .cos 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭
C .sin 24x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭ D .
cos 24x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
11.已知函数2()21,()log 1x
f x x
g x x x =++=++的零点分别为a ，b ，则（ ）
A .a ＋b ＝－1
B .a ＋b ＝0
C .a ＋b ＝1
D .a ＋b ＝2
12.已知12,F F 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点，椭圆上一点M 满足：
1260F MF ∠=，则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A .10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
B .1,12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭ C
.⎛ ⎝⎦
D
.⎫⎪⎪⎣⎭ 二、填空题：本题共4小题，毎小题5分，共20分．
13.抛物线y ＝4x 2的焦点坐标为 ．
14.已知曲线e 1x y x =-+在0x x =处的切线斜率大于1，则0x 的取值范围是 ． 15.已知下面四种几何体：①圆锥，②圆台，③三棱锥，④四棱锥，如图所示，某几何体的正视图与侧视图均是等腰三角形，则该几何体可能是 （将符合条件的几何体编号都填上）．
16.某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E 点和看台的坡脚A 点，分别测得旗杆顶部的仰角分別为30°和60°，量得看台坡脚A 点到E 点在水平线上的射影B 点的距离为10m ，则旗杆的高是 m ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.（12分）
已知数列{}n a 满足：112,2n
n n a a a +==+．
（1）求{}n a 的通项公式； （2）若
，求n T ． 18.（12分）
为预防某种疾病发生，某团队研发一种药物进行提前干预，现进入临床试验阶段．为了考察
21223
1
111
log ,n n n n n b a T b b b b b b +==+++
这种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表．
（2）现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只作为样本，从该样本中随机抽取4只动物，设其中未服用药的动物为ξ只，求ξ的分布与列与期望． 19.（12分）
如图在三棱锥P －ABC 中，平面P AB ⊥平面PBC ，PB ⊥BC ，PD ＝DB ＝BC ＝AB ＝AD ＝2． （1）证明：P A ⊥平面ABC ； （2）求二面角B －AD －C 的余弦值．
20.（12分）
已知双曲线C 与椭圆22193
x y +=有相同的焦点，P 是C 上一点．
（1）求双曲线C 的方程；
（2）记C 的右顶点为M ，与x 轴平行的直线l 与C 交于A ，B 两点，求证：以AB 为直径的圆过点M ． 21.（12分）
已知函数()ln ,f x x mx m =+∈R ． （1）求函数f （x ）的单调区间；
（2）是否存在实数a ，使得2
1()()2
g x f x x =+
的两个极值点恰为函数2()2ln h x x ax x =--的零点，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22.【选修4－4：坐标系与参数方程】（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐
标方程为2cos ρθ=．
（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若过点P （3，1）倾斜角为6
π
的直线l 与C 交于A ，B 两点，记线段AB 的中点为M ，求||PM ．
23.【选修4－5：不等式选讲】（10分） 已知函数()|||1|f x x a x =--+．
（1）当a ＝2时，求不等式()2f x 的解集； （2）若f （x ）≥2a －1，求实数a 的取值范围．
2022 届高三第一次联考理数参考答案
2.【解析】若“直线a ，b 不相交”不能推出“平面α与平面β平行”，若“平面α 与平面
β平行”能推出“直线a ，b 不相交”，故选 B ．
3.
【
解
析
】
设
(,)
z a bi a b R =+∈，则
,|1|1|z a bi z z =-+=-=．
4.【解析】做出不等式组的可行域，可知21z x y =+-的最大值为7，最小值为3，故选C ．
5.【解析】由f （x ）是奇函数可得 a = -1，经验证符合题意，故选A ．
6.【解析】当,,a b c 两两的夹角均为0°时，显然||5a b c ++=；当,,a b c 两两的夹角均为
120°时，||2a b c ++=，故选C ． 7.【解析】由已知得：5115
sin18,sin126cos3612sin18-+=
==-=
，故选C ． 8.【解析】基本事件共有：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，
(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15种，其中数字和为8的基本事件有2种，概率为
2
15
，故选D ． 9.【解析】四面体ABCD 的体积13,46V AB BC CD AB =⋅⋅==，故9
2
BC CD ⋅=，设其外
接球的半径为R ，则5
25,2
R R =
≥=≥
，故B ．
10.【解析】由已知5()sin 2,()cos 24
44f x x g x f x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+
=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
，故选D ．
11.【解析】由已知得22,log x
y y x ==的图象与直线y ＝－x －1的交点横坐标分别为a ，b ，又22,
log x y y x ==的图象关于直线y ＝x 对称，且y ＝－x －1与y ＝x 交点横坐标为1
2
-
，故a ＋b ＝－1，所以选A ．
12. 【解析】设1122,MF r MF r ==，由余弦定理得：222
12124r r r r c +-=，又122r r a +=，
即2
22
1
2
1224r r r r a ++=，解得22222212
124848,33
a c a c r r r r +-+==
，因为22
12122r r r r +≥，得224c a ≥，故12e ≥
．又01e <<，所以1,12e ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
．故选B ． 13.【解析】抛物线方程化为2
14x y =，故焦点坐标为10,16⎛⎫
⎪⎝⎭
． 14.【解析】由已知切点为(
)0
0,,x x
x e
y e
x =-'，切线斜率为01x k e =-，故 011x e ->，解
得0ln 2x >，故0x 的取值范围是(ln 2,)∞+．
15.【解析】由三视图可知，几何体为圆锥、三棱锥和四棱锥，故①③④． 16.【解析】由题意得∠DEA ＝45°，∠ADE ＝30°，AE ＝
cos15
AB
，所以
sin 452sin 30cos15
AE AB
AD =
=
，因此
210
sin 60sin 60
cos
4530
CD AD ⨯==
⨯-10(3=．
17.【解析】（1）由已知得12n
n n a a +-=，
当n ≥2时，()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-………………2分
2122222n n -=++++=……………………4分
又12a =，也满足上式，
故2n
n a =………………6分
（2）由（1）可知：211111
log ,
(1)1
n n n n b a n b
b n n n n +====-++，………………9分
1223
11111111
1111223111n n n n T b b b b b b n n n n +⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=
+++
=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪
+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故1
n n
T n =
+．………………12分 18.【解析】（1）列联表补充如下
（2）根据题意，10 只未患病动物中，有 6 只服药，4 只未服药；所以ξ的值可能为0，1，2，3，4，
4
641015
(0)210C P C ξ===，
316441080
(1)210C C P C ξ===，
226441090
(2)210C C P C ξ===，
136441024
(3)210
C C P C ξ===，
444101
(4)210
C P C ξ=
==，………………10分
ξ分布列如下：
则01234 1.62102102102102105
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯==………………12分 19.【解析】（1）侧面P AB ⊥底面PBC ，PB ⊥BC ，所以BC ⊥侧面P AB 又P A ⊂侧面P AB ，所以P A ⊥BC ……………………3分 又PD ＝DB ＝DA ，所以P A ⊥AB
又AB ⋂BC ＝B ，所以P A ⊥平面ABC ………………5分
（2）以A 为原点，过点A 作BC 的平行线为x 轴，AB ，AP 所在直线分别y 、z 轴，建立空
间直角坐标第，如图所示．在直角三角形P AB
中，PA ==
(0,0,0),(0,2,0),(2,2,0),(0,0,A B C P D ．
(0,1,3),(2,2,0)AD AC ==，………………7分
设平面ACD 的法向量为(,,)m x y z =，
则00
m AC m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪
⎩，即00x y y +=⎧⎪⎨+
=⎪⎩
，取x =1y z ==，
故(3,m =
设平面ABD 的法向量为(2,0,0)n BC ==，………………10分
23cos ,||||27m n m n m n ⋅<>=
==
⋅ 又二面角A －PD －C 为锐角，故二面角A －PD －C 的余弦值为
7
…………12分
20.【解析】（1）由己知设双曲线C 的方程为：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
由已知得226a b +=，且
2
296
1a b
-=………………3分 解得223a b ==，故双曲线C 的方程为2
2
3x y -=． (5)
分 （2）设直线l 的方程为：y ＝m （m
≠0）
与2
2
3x y -=联立解得：
x
x =7分 不妨设(
))
,A m B m
．
由（1）值点
M
AM ，BM
的斜率分别为：AM BM
k k =………………9分
1
AM BM
k k==-
所以AM⊥BM，故以AB为直径的圆过点M．………………12分
21.【解析】（1）
1
()ln,,(),0
f x x mx m R f x m x
x
=+=
'
∈+>…………2分
当0
m≥时，f（x）递増区间为(0,)
∞
+；
当m＜0时，f（x）递增区间为
1
0,
m
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，通减区间是
1
,
m
∞
⎛⎫
-+
⎪
⎝⎭
………………4分（2）
2
2
11
()(),()
2
x mx
g x f x x g x
x
++
=+=
'
当－2≤m≤2时，()0,()
g x g x
>
'在(0,)
∞
+递增，无极值点；………………6分当m＜－2或m＞2时，由()0
g x
'=
，得
12
,
22
m m
x x
---+
==
若m＞2，则120
x x
<<，g（x）在(0,)
∞
+递增，无极值点；
若m＜－2，则1212
,1
x x m x x
+=-=，不妨设
12
01
x x
<<<．
此时g（x）有两个极值点12
,x x．………………8分
假设12
,x x恰为2
()2ln
h x x ax x
=--的两个零点，()()
12
0,0
h x h x
==
故12
12
12
2ln2ln
x x
a x x
x x
=-=-，
则
111
11
11
2ln0
x x x
x x
⎛⎫
++-=
⎪
⎝⎭
，即12
1
2
2ln10
1
x
x
-+=
+…………………
10分
令
()
()
4
2
22
21
2
()2ln1,(0,1),()0,(0,1)
11
x
h x x x h x x
x x x
+
=-+∈=
'>∈
++．
故()(1)0
h x h
<=，所以满足条件的a不存在．………………12分
22.【解析】（1）由已知得22cos
ρρθ
=，又222,cos
x y x
ρρθ
=+=…………2分故222
x y x
+=，曲线C的直角坐标方程为：22
(1)1
x y
-+=．…………4分
（2）由已知直线l
的参数方程为：
3
2
1
1
2
x
y t
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
（t为参数）…………6分
代入22
(1)1
x y
-+=
整理得21)40
t t
++=
设上方程两根为12,t t
，则121)t t +=-………………8分 故点M
对应的参数为：120122t t t +⎫=
=-⎪⎭， 由参数0t
的几何意义可知：01
||2
PM t ==．………………10分 23.【解析】（1）当a ＝2时，3,1()|2||1|12,123,2x f x x x x x x <-⎧⎪
=--+=--≤≤⎨⎪->⎩
…………2分
所以()3f x ≤等价于132x <-⎧⎨≤⎩①或12
122x x -≤≤⎧⎨-≤⎩
②或232x >⎧⎨-≤⎩③
解①得∅；解②得1
22
x -
≤≤；解③x ＞2………………4分 所以，原不等式的解集为1,2∞⎡⎫
-+⎪⎢⎣⎭
………………5分
（2）由（1）()|||1|f x x a x =--+，几何意义可知，min ()|1|f x a =-+………………7分 故|1|21a a -+≥-，即|1|210a a ++-≤………………8分 当a ≥－1时，解得a ≤0，故－1≤a ≤0； 当a ＜－1时，解得a ≤2，故a ＜－1；
综合上述，实数a 的取值范围是(,0]∞-．………………10分。