2022届高考数学 评估2配套训练 新人教A版必修2

章末质量评估二
时间：100分钟满分：120分
一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是．
A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直
B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直
C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行
D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直
解析画图或在正方体模型中观察可得．
答案 B
2．2022·聊城二中高一检测如图，α∩β＝，A∈α，B∈α，AB∩＝D，C∈β，C∉，则平面ABC与平面β的交线是．
A．直线AC B．直线AB
C．直线CD D．直线BC
解析D∈，⊂β，∴D∈∈β，
∴CD⊂⊂平面ABC，∴平面ABC∩平面β＝CD
答案 C
3．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得．
A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥α
C．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α
解析因为已知两条不相交的空间直线a和b，所以可以在直线a上任取一点A，则A∉∥b，则过a，c必存在平面α且使得a⊂α，b∥α
答案 B
4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝，点A∈α，A∉，直线AB∥，直线AC⊥，直线m∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是．
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥βD．AC⊥β
解析容易判断A、B、C三个答案都是正确的，对于D，虽然AC⊥，但AC不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，但不一定垂直．
答案 D
5．设直线⊂平面α，过平面α外一点A与，α都成30°角的直线有且只有．
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
解析如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当
∠ABC＝∠ACB＝30°，直线AC，AB都满足条件，故选B
答案 B
6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，直线过点A且垂直于平面ABC，动点、n 表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列结论中正确的是．
A．若m∥α，m∥n，则n∥α
B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β
C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β
D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β
解析A选项不正确，n还有可能在平面α内，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β内，选项D正确．
答案 D
8．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为．
解析由题意知三棱锥A1-ABC为正四面体，设棱长为a，则AB1＝错误!a，
棱柱的高A1O＝错误!＝错误!＝错误!a即点B1到底面ABC的距离，故AB1与底面ABC所成角的正弦值为错误!＝错误!
答案 C
9．在四面体A-BCD中，已知棱AC的长为错误!，其余各棱长都为1，则二面角A-CD-B的平面角的余弦值为．
解析取AC的中点E，CD的中点F，连接EF，BF，BE，
∵AC＝错误!，其余各棱长都为1，
∴AD⊥CD∴EF⊥CD
又∵BF⊥CD，∴∠BFE是二面角A-CD-B的平面角．
∵EF＝错误!，BE＝错误!，BF＝错误!，
∴EF2＋BE2＝BF2
∴∠BEF＝90°，∴co∠BFE＝错误!＝错误!
答案 C
10．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与直线A1D1，EF，CD都相交的直线．
A．不存在
B．有且只有两条
C．有且只有三条
D．有无数条
解析在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点，如下图，故选D
答案 D
二、填空题本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上11．2022·成都高一检测`已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥时，有m⊥β填所选条件的序号
解析若m⊥α，α∥β，则m⊥β故填②④
答案②④
12．如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点
E满足条件：________时，SC∥平面EBD
解析E为SA中点，连接AC交BD于O，连接OE，
则OE∥SC，∴SC∥平面EBD
答案E为SA中点
13．已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝a，若
，连接AM，
∵G是AF的中点，
∴AM∥GE，
∴∠MAC是异面直线GE与AC所成角或其补角．
连接BD交AC于点O，连接MO
∵AM＝CM＝错误!＝错误!a，
O是AC的中点，
∴MO⊥AC，
∴co∠MAC＝错误!＝错误!＝错误!，
∴异面直线GE与AC所成角的余弦值为错误!
18．12分如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中即侧棱垂直于底面的三棱柱，
∠ACB＝90°，AA1＝BC＝2AC＝2
1若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；
2在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1-CD-C1的大小为60°
1证明∵∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，
∴B1C1⊥A1C1
又由直三棱柱性质知B1C1⊥CC1，
∴B1C1⊥平面ACC1A1
∴B1C1⊥CD，
由AA1＝BC＝2AC＝2，D为AA1中点，
可知DC＝DC1＝错误!，
∴DC2＋DC错误!＝CC错误!＝4，即CD⊥DC1，
又B1C1⊥CD，
∴CD⊥平面B1C1D，
又CD⊂平面B1CD，故平面B1CD⊥平面B1C1D
2解当AD＝错误!AA1时二面角B1CDC1的大小为60°
假设在AA1上存在一点D满足题意，
由1可知B1C1⊥平面ACC1A1，
如图，在平面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD，
交CD或延长线或于E，连EB1，则EB1⊥CD，
所以∠B1EC1为二面角B1－CD－C1的平面角，
∴∠B1EC1＝60°，
由B1C1＝2知，C1E＝错误!，
设AD＝，则DC＝错误!，
∵△DCC1的面积为1，∴错误!错误!·错误!＝1，
解得＝错误!，即AD＝错误!＝错误!AA1，
∴在AA1上存在一点D满足题意．
19．12分2022·济南高一期中测试如右图，在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，斜边AB＝4，Rt △AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC是直二面角．动点D在斜边AB上．
1求证：平面COD⊥平面AOB；
2当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的正切值；3求CD与平面AOB所成角的正切值的最大值．
1证明由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，
∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角，
又∵二面角BAOC是直二面角．
∴CO⊥BO
又∵AO∩BO＝O，
∴CO⊥平面AOB
又CO⊂平面COD，
∴平面COD⊥平面AOB
2解作DE⊥OB，垂足为E，连接CE如右图，则DE∥AO
∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角．
在Rt△OCB中，CO＝BO＝2，
OE＝错误!BO＝1，
∴CE＝错误!＝错误!
又DE＝错误!AO＝错误!，
∴在Rt△CDE中，tan∠CDE＝错误!＝错误!＝错误!
即异面直线AO与CD所成的角的正切值是错误!
3解由1知，CO⊥平面AOB，
∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角，
且tan∠CDO＝错误!＝错误!
∴当OD最小时，∠CDO最大，
这时，OD⊥AB，垂足为D，
OD＝错误!＝错误!，tan∠CDO＝错误!，
即CD与平面AOB所成角的正切值的最大值是错误!。