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优选高中模拟试卷
丰满区第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________姓名__________分数__________
一、选择题
1．过点M ( 2,a) ，N (a,4)的直线的斜率为1
2
，则| MN | （）
A．10B．180C．63D．65
2．设抛物线C：y
2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（）
A．y
2=4x或y2=8xB．y2=2x或y2=8x
C．y
2=4x或y2=16xD．y2=2x或y2=16x
3．如图，四周体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四周体OABC外一点．给出以下命题．
①不存在点D，使四周体ABCD有三个面是直角三角形
②不存在点D，使四周体ABCD是正三棱锥
③存在点D，使CD与AB垂直而且相等
④存在无数个点D，使点O在四周体ABCD的外接球面上此中
真命题的序号是（）
A．①②B．②③C．③D．③④
4．以下四个命题中，真命题的是（）
A． 2
x R,x x 2
B．“对随意的x R， 2 1 0
x x ”的否认是“存在x0 R，
2
x0 x0 1 0
C．R，函数f(x)sin(2x)都不是偶函数
D．已知m，n表示两条不一样的直线，，表示不一样的平面，而且m，n，则“”是“m//n”的必需不充分条件
【命题企图】此题考察量词、充要条件等基础知识，意在考察逻辑推理能力．
5．已知会合 2
A x|x 1 0 ，则以下式子表示正确的有（）
①1A；②1A；③A；④1,1A．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．若函数y=x 2+bx+3 在[0，+∞）上是单一函数，则有（）
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A．b≥0B．b≤0C．b＞0D．b＜0
7．以下说法正确的选项是（）
A．类比推理是由特别到一般的推理
B．演绎推理是特别到一般的推理
C．概括推理是个别到一般的推理
D．合情推理能够作为证明的步骤
x
8．已知 1
1 i
yi ，此中x, y 是实数，是虚数单位，则x yi 的共轭复数为
A、12i
B、12i
C、2i
D、2i
9．已知f（x）=m?2
x+x2+nx，若{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}≠?，则m+n的取值范围为（）A．（0，4）B．[0，4）C．（0，5]D．[0，5]
10．给出以下各函数值：①sin100°；②cos（﹣100°）；③tan（﹣100°）；④．此中符号为
负的是（）
A．①B．②C．③D．④
11．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是，，，已知8b5c，C2B，则cosC（）
A ．7
25
B．
7
25
C.
7
25
D．
24
25
12．利用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，则不等式ln（3a﹣1）＜0建立的概率是（）
A．B．C．D．
二、填空题
13．已知曲线y=（a﹣3）x
3+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单一递减，则a的范围为．
2
14．函数f（x）=log（x﹣2x﹣3）的单一递加区间为．
15．经过A（﹣3，1），且平行于y轴的直线方程为．
16．抛物线y
2=4x的焦点为F，过F且倾斜角等于的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A，则AF的长
为．
222
17．设p：实数x知足不等式x﹣4ax+3a＜0（a＜0），q：实数x知足不等式x﹣x﹣6≤0，已知￢p是￢q的
必需非充分条件，则实数a的取值范围是．
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18．设函数f（x）=，
①若a=1，则f（x）的最小值为；
②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．
三、解答题
19．已知复数z1知足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2．
20．已知二阶矩阵M有特点值λ1=4及属于特点值4的一个特点向量=并有特点值λ2=﹣1及属于特点值
﹣1的一个特点向量=，=
（Ⅰ）求矩阵M；
5
（Ⅱ）求M
．
21．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin
2B=2sinAsinC．
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．
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22．△ABC 的三个内角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos 2 A= a．
（Ⅰ）求；
2=b2+a2，求B．
（Ⅱ）若c
23．已知全集U=R，函数y= + 的定义域为 A ，B={y|y=2 x ，1≤x≤2} ，求：
（1）会合A，B；
（2）（?U A）∩B．
24．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点．求证：
（I）AB∥平面EFG；
（II）平面EFG⊥平面ABC．
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丰满区第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参照答案）一、选择题
1．【答案】D
【分析】
考点：1.斜率；2.两点间距离.
2．【答案】C
2=2px（p＞0），【分析】解：∵抛物线C方程为y
∴焦点F坐标为（，0），可得|OF|=，
∵以MF为直径的圆过点（0，2），
∴设A（0，2），可得AF⊥AM，
Rt△AOF中，|AF|==，
∴sin∠OAF==，
∵依据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，
∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，
∵|MF|=5，|AF|=
∴=，整理得4+=，解之可得p=2或p=8
2=4x或y2=16x．所以，抛物线C的方程为y
应选：C．
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方法二：
2=2px（p＞0），∴焦点F（，0），
∵抛物线C方程为y
设M（x，y），由抛物线性质|MF|=x+=5，可得x=5﹣，
由于圆心是MF的中点，所以依据中点坐标公式可得，圆心横坐标为=，
由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
2
即M（5﹣，4），代入抛物线方程得p﹣10p+16=0，所以p=2或p=8．
2=4x或y2=16x．所以抛物线C的方程为y
故答案C．
【评论】此题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，侧重考察了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．
3．【答案】D
【分析】
【剖析】关于①可结构四棱锥CABD与四周体OABC同样进行判断；关于②，使AB=AD=BD，此时存在点D，使四周体ABCD是正三棱锥；关于③取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD 与AB垂直而且相等，关于④先找到四周体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只要PD=r，可判断④的真假．
【解答】解：∵四周体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，
∴AC=BC=，AB=
当四棱锥CABD与四周体OABC同样时，即取CD=3，AD=BD=2
此时点D，使四周体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确
使AB=AD=BD，此时存在点D，使四周体ABCD是正三棱锥，故②不正确；
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取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直而且相等，故③正确；
先找到四周体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只要PD=r即可
∴存在无数个点D，使点O在四周体ABCD的外接球面上，故④正确
应选D
4．【答案】D
5．【答案】C
【分析】
A1,1，所以①③④正确.应选C.
试题剖析：
考点：元素与会合关系，会合与会合关系．
6．【答案】A
2+bx+3张口向上，【分析】解：抛物线f（x）=x
以直线x=﹣为对称轴，
若函数y=x 2+bx+3 在[0，+∞）上单一递加函数，
则﹣≤0，解得：b≥0，
应选：A．
【评论】此题考察二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，认真解答．
7．【答案】C
【分析】解：由于概括推理是由部分到整体的推理；类比推理是由特别到特别的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；合情推理的结论不必定正确，不能够作为证明的步骤，
应选C．
【评论】此题考察合情推理与演绎推理，考察学生剖析解决问题的能力，属于基础题．
8．【答案】D
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【分析】
x 1
1 i 2
(x xi) 1 yi, x 2, y 1, 应选 D
9．【答案】B
【分析】解：设x1∈{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}，
∴f（x1）=f（f（x1））=0，
∴f（0）=0，
即f（0）=m=0，
故m=0；
2+nx，故f（x）
=x
f（f（x））=（ x
2+nx）（x2+nx+n）=0，
当n=0时，建立；
2+nx+n=0的根，当n≠0时，0，﹣n不是x
2
故△=n﹣4n＜0，
故0＜n＜4；
综上所述，0≤n+m＜4；
应选B．
【评论】此题考察了函数与会合的关系应用及分类议论的思想应用，同时考察了方程的根的判断，属于中档题．
10．【答案】B
【分析】解：：①sin100°＞0，②cos（﹣100°）=cos100°＜0，③tan（﹣100°）=﹣tan100＞0，
④∵sin＞0，cosπ=﹣1，tan＜0，
∴＞0，
此中符号为负的是②，
应选：B．
【评论】此题主要考察三角函数值的符号的判断，判断角所在的象限是解决此题的重点，比较基础．
11．【答案】A
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【分析】
考点：正弦定理及二倍角公式.
【思路点晴】此题顶用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，
如 2 cos2 1, cos2 cos2 sin2
sin ,这要修业生对基本公式要娴熟掌握解三角形经常借助于正弦定
a b c
理2R sin A sin B sin C 2 2 2
，余弦定理 a b c 2bc cos A ，实现边与角的相互转变. 12．【答案】C
【分析】解：由ln（3a﹣1）＜0得＜a＜，
则用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，不等式ln（3a﹣1）＜0建立的概率是P=，
应选：C．
二、填空题
13．【答案】．
【分析】解：由于y=（a﹣3）x
3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，即
y'=在x＞0时有解，
所以3（a﹣3） x
3+1=0，即a﹣3＜0，所以此时a＜3．
函数f（x）=x 3 2
﹣ax ﹣3x+1 在[1，2]上单一递减，则f'（x）≤0 恒建立，
2
即f'（x）=3x﹣2ax﹣3≤0恒建立，即，
由于函数在[1，2]上单一递加，所以函数的最大值为，
所以，所以．
综上．
故答案为：．
【评论】此题主要考察导数的基本运算和导数的应用，要求娴熟掌握利用导数在研究函数的基本应用．14．【答案】（﹣∞，﹣1）．
【分析】解：函数的定义域为{x|x＞3或x＜﹣1}
令t=x 2 ﹣2x﹣3，则y=
由于y=在（0，+∞）单一递减
2
t=x﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）单一递减，在（3，+∞）单一递加
由复合函数的单一性可知函数的单一增区间为（﹣∞，﹣1）
故答案为：（﹣∞，﹣1）
15．【答案】x=﹣3．
【分析】解：经过A（﹣3，1），且平行于y轴的直线方程为：x=﹣3．
故答案为：x=﹣3．
16．【答案】4．
【分析】解：由已知可得直线AF的方程为y=（x﹣1），
2
联立直线与抛物线方程消元得：3x﹣10x+3=0，解之得：x1=3，x2=（据题意应舍去），
由抛物线定义可得：AF=x1+=3+1=4．
故答案为：4．
【评论】此题考察直线与抛物线的地点关系，考察抛物线的定义，考察学生的计算能力，属于中档题．17．【答案】．
22
【分析】解：∵x﹣4ax+3a＜0（a＜0），
∴（x﹣a）（x﹣3a）＜0，
则3a＜x＜a，（a＜0），
2
由x﹣x﹣6≤0得﹣2≤x≤3，
∵￢p是￢q的必需非充分条件，
∴q是p的必需非充分条件，
即，即≤a＜0，
故答案为：
18．【答案】≤a＜1或a≥2．
【分析】解：①当a=1时，f（x）=，
x
当x＜1时，f（x）=2﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，
2
当x＞1 时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x ﹣3x+2）=4（x﹣）2
﹣1，
当1＜x＜时，函数单一递减，当x＞时，函数单一递加，
故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，
x
②设h（x）=2﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）
若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，
所以a＞0，而且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，
而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，
所以≤a＜1，
x
若函数h（x）=2﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，
则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，
当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不知足题意（舍去），
当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点知足x1=a，x2=2a，都是知足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．
三、解答题
19．【答案】
【分析】解：
∴z1=2﹣i
设z2=a+2i（a∈R）
∴z1z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a） i
∵z1z2是实数
∴4﹣a=0解得a=4
所以z2=4+2i
【评论】此题考察复数的除法、乘法运算法例、考察复数为实数的充要条件是虚部为0．20．【答案】
【分析】解：（Ⅰ）设M=
则=4=，∴①
又=（﹣1）=，∴②
由①②可得a=1，b=2，c=3，d=2，∴M=；
（Ⅱ）易知=0?+（﹣1），
∴M 5=（﹣1）6 = ．
【评论】此题考察矩阵的运算法例，考察学生的计算能力，比较基础．
21．【答案】
2B=2sinAsinC，【分析】解：（I）∵sin
由正弦定理可得：＞0，
代入可得（bk）
2=2ac，
∴b
2=2ak?ck，
∵a=b，∴a=2c，
由余弦定理可得：cosB===．
2=2ac，（II）由（I）可得：b
∵B=90°，且a=，
2
∴a +c 2 2
=b =2ac，解得a=c= ．
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∴S△ABC==1．
22．【答案】
2AsinB+sinBcos2A=sinA，【分析】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin
2A+cos2A）=sinA
即sinB（sin
∴sinB=sinA，=
2=b2+a2，得cosB=
（Ⅱ）由余弦定理和C
2222
由（Ⅰ）知b=2a，故c=（2+）a
，
2B=，又cosB＞0，故cosB=
可得cos
所以B=45°
【评论】此题主要考察了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主假如利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进行了互化．
23．【答案】
【分析】解：（1）由，解得0≤x≤3
A=[0，3]，
由B={y|y=2 x ，1≤x≤2}=[2 ，4]，
（2））?U A=（﹣∞，0）∪[3，+∞），
∴（?U A）∩B=（3，4]
24．【答案】
【分析】证明：（I）在三棱锥A﹣BCD中，E，G分别是AC，BC的中点．
所以AB∥EG⋯
由于EG?平面EFG，AB?平面EFG
所以AB∥平面EFG⋯
（II）由于AB⊥平面BCD，CD?平面BCD
所以AB⊥CD⋯
又BC⊥CD且AB∩BC=B
所以CD⊥平面ABC⋯
又E，F分别是AC，AD，的中点
所以CD∥EF
所以EF⊥平面ABC⋯
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又EF?平面EFG，
所以平面平面EFG⊥平面ABC．⋯
【评论】此题考察线面平行，考察面面垂直，掌握线面平行，面面垂直的判断是重点．
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